高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用免费达标测试

6.4　平面向量的应用

6.4.1　平面几何中的向量方法

6.4.2　向量在物理中的应用举例

基础过关练

题组一　平面几何中的向量方法　　 　　　　　

1.已知A,B,C是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则△ABC的形状为(　　)

A.直角(非等腰)三角形

B.等腰(非等边)三角形

C.等腰直角三角形

D.以上均不正确

2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(　　)

A.2 B.4 C.5 D.10

3.已知O是△ABC所在平面内的一点,若(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O是△ABC的(　　)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

4.已知点P在△ABC所在的平面内,若2+3+4=3, 则△PAB与△PBC的面积的比值为　　　　. 

5.已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:

(1)BE⊥CF;

(2)AP=AB.

题组二　向量在物理中的应用举例

6.某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　)

A.v1-v2 B.v1+v2

C.|v1|-|v2| D.

7.(2020山东济南高三下模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10 N/kg,≈1.732)(　　)

A.63 kg B.69 kg C.75 kg D.81 kg

8.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为(　　)

A.2 km/h B.2 km/h

C. km/h D.3 km/h

9.一个物体同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8 m,已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为(　　)

A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J

10.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.

(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;

(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.

能力提升练

题组一　平面几何中的向量方法　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()已知P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

2.(2019湖南岳阳一中高一期末,)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE⊥EF于E,CF⊥EF于F,且++=0,则点M是△ABC的(　　)

A.三条高的交点

B.三条中线的交点

C.三边中垂线的交点

D.三个内角平分线的交点

3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a=,=a-b,=a+b.若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积是　　　　. 

4.()如图,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE,CD交于点P,则△APC的面积为　　　　cm2. 

5.(2020河南新乡高一上期末,)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=,∠B=30°,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且=,则·的取值范围为　　　　. 

6.()如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:

(1)AD的长;

(2)∠DAC的大小.

题组二　向量在物理中的应用举例

7.(2019广东惠州高一期中,)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速率为(　　)

A. m/s B. m/s

C. m/s D. m/s

8.()一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝　　　　的方向行驶. 

9.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为　　　　,力F做的功为　　　　. 

10.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).

(1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸?

(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题意,得=(3,-1),=(-1,-3),∴·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,且||=||=,∴△ABC为等腰直角三角形.

2.D　==

=

==-6=42-6=10.

3.A　由已知得(+)·(-)=(+)·(-)=(+)·(-)=0,即-=-=-=0,所以||=||=||,所以点O是△ABC的外心.故选A.

4.答案　

解析　∵2+3+4=3,

∴2+3+4=3(-),

∴5=-4,

∴点P在线段AC上,且||=||.

∵△PAB与△PBC分别以PA,PC为底时,高相同,

∴△PAB与△PBC的面积的比值为=.

5.证明　如图,建立平面直角坐标系xOy,

不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)∵=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∴·=-1×(-2)+2×(-1)=0,

∴⊥,即BE⊥CF.

(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(x-2,y),由(1)知=(-2,-1),=(-1,2),∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.①

同理,由∥,得y=-2x+4.②

联立①②,解得即P,.

∴=2+2=4=,

∴||=||,即AP=AB.

6.B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.

7.B　设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为m kg,

则mg=|F1+F2|

=

=

=400≈692.8,可得m≈69 kg.故选B.

8.A　如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4 km,实际航程AC=8 km,则∠BCA=30°,又|vAB|=2 km/h,∴|vAC|=4 km/h,

∴|vBC|=2 km/h,故选A.

9.D　如图,以正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,

则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),

所以合力F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).

由题意得,位移s=(4,4),

故合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=6×4=24(J).

故选D.

10.解析　画出物体的受力分析图,如图.

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=,|F2|=|G|·tan θ.

当角θ从0°趋向于90°时,|F1|、|F2|都逐渐增大.

(2)由|F1|=≤2|G|,得cos θ≥.

∵0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°,

∴角θ的取值范围是0°≤θ≤60°.

能力提升练

1.B　∵P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0,

∴||-|(-)+(-)|=0,

即||=|+|,∴|-|=|+|,

两边平方并化简得·=0,∴⊥,

∴A=90°,即△ABC是直角三角形.无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选B.

2.B　根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0,即+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,当EF经过B点时,EF是AC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.

3.答案　1

解析　∵⊥,∴·=(a-b)·(a+b)=0,∴a2-b2=0,∴|a|=|b|,

∵||=||,∴|a-b|=|a+b|,∴a2+b2-2a·b=a2+b2+2a·b,∴a·b=0,

又|a|=1,

∴a、b是互相垂直的单位向量,∴||=||=,∴S△OAB=||×||=1.

4.答案　4

解析　设=a,=b,以a,b为一组基底,则=+=a+b,=+=a+b.

∵点A,P,E与点D,P,C分别共线,

∴存在实数λ和μ,使=λ=λa+λb,=μ=μa+μb.

又∵=+=a+μb,

∴解得

∴S△PAB=S△ABC=14×=8 cm2,S△PBC=14×=2 cm2,∴S△APC=14-8-2=4 cm2.

5.答案　-,1

解析　以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(,1).

由=可设BE=tBC=t,CF=tCD=2t(0<t<1),

则E(t,0),F(+t,t),

∴=(t-,-1),=(t,t-1),

∴·=t·(t-)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-2-,

∵0<t<1,

∴当t=时,·有最小值,为-;当t无限趋近于0时,·无限趋近于1.

故·的取值范围为-,1.

6.解析　(1)设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b.

∴||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,∴AD=(负值舍去).

(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角.

∴cos θ=====0,∴θ=90°,即∠DAC=90°.

7.C　如图所示,设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成30°角向下,所以|v1|== m/s.

8.答案　与水速成120°角

解析　如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又|v水|=||=1,|v船|=||=2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.

9.答案　25e;1 000 J

解析　∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,

∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°e=25e.

∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,

∴力F做的功W=25×40=1 000(J).

10.解析　(1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0.

所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos θ+|v2|2=0,所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-.

(2)设船航行到对岸所需的时间为t,

则t===(h).

故当θ=90°时,船的航行时间最短,为 h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.