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人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角，共24页。试卷主要包含了如图，圆M和圆N与直线l，已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
1．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且AC→=2CB→，则实数k的值为（ ）
A．1B．34C．3D．43
2．设M是△ABC所在平面内一点，AC→+AB→=2AM→则（ ）
A．MC→+MB→=0→B．MC→+AB→=0→C．AM→+BC→=0→D．MA→+MB→+MC→=0→
3．P是△ABC内的一点，AP→=13(AB→+AC→)，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（ ）
A．2B．3C．32D．6
4．已知向量a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a→−3b→|等于（ ）
A．7B．10C．13D．4
5．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，那么a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
6．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA→+OB→=OC→，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±2
7．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且AB→+AC→=AD→，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．4C．33D．43
8．已知|a→|＝1，|b→|=2，且（a→−b→）和a→垂直，则a→与b→的夹角为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．135°
9．已知向量a→=（1，2），b→=（3，1），则向量a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．55B．1313C．26565D．2626
10．已知两个单位向量a→，b→的夹角为120°，则下列向量是单位向量的是（ ）
A．a→+b→B．a→−12b→C．a→−b→D．a→+12b→
二．填空题（共16小题）
11．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为 ．
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ→=λMN→的实数λ有 个．
13．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB=2π3，OC→=12OA→+14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 ．
14．已知向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，则cs＜a→，a→+b→＞= ．
15．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，则a→与b→的夹角为 ．
16．设非零向量a→，b→满足(a→−b→)⊥a→，|b|=2|a→|，则a→与b→的夹角为 ．
17．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→，则λ﹣μ＝ ．
18．已知平面单位向量a→，b→满足|a→−b→|≤1．设向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角为θ，则csθ的最大值为 ．
19．已知向量AB→=(12，32)，AC→=(32，12)，则∠BAC＝ ．
20．已知A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，则x＝ ，AB→与AC→的夹角为 ．
21．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC→=λDB→+μAP→，则λ+μ的最大值为
22．已知向量a⟶=(1，−2)，b⟶=(1，λ)，若a⟶与b⟶的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ．
23．已知△ABC的面积是4，∠BAC＝120°，点P满足BP→=3PC→，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则PM→•PN→= ．
24．设向量a→=（1，2），b→=（2，1），则a→与b→的夹角的大小为 .（结果用反三角函数值表示）
25．若向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 ．
26．已知向量a→，b→满足，|a→|=1，|b→|=2，a→⊥(a→−b→)，则a→与b→夹角的大小是 ．
三．解答题（共7小题）
27．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示向量OC→，DC→；
（2）若OE→=λOA→，求实数λ的值．
28．设向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1及|3a→−2b→|=7．
（1）求a→，b→夹角的大小；
（2）求|3a→+2b→|的值．
29．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE＝2EB，CF＝2FB．
（1）若DE→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）求A→B•DE→的值；
（3）求cs∠BEF．
30．已知向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）若a→∥b→，求θ的值；
（Ⅱ）若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．
31．设向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，且|3a→−2b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+3b→|的大小．
32．已知空间中三点A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），设a→=AB→，b→=AC→．
（1）求向量a→与b→夹角的余弦值；
（2）若a→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
33．已知正三角形ABC的边长为1，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）求|2a→+b→|；
（2）求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角．
人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且AC→=2CB→，则实数k的值为（ ）
A．1B．34C．3D．43
【分析】根据切线的性质可得OM⊥ON，利用相似三角形得出两圆半径比为2：1，在根据三角形相似即可得出tan∠NOX，根据二倍角公式计算k．
【解答】解：过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，
设圆M，圆N的半径分别为R，r，
∵AC→=2CB→，∴AC＝2BC．
∵OB是圆M，圆N的垂线，
∴AM⊥OB，BN⊥OB，
∴△MAC∽△NBC，
∴AMBN=ACBC=2，即R＝2r．
∵x轴是两圆的切线，且OB是两圆的切线，
∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，
∴∠NOQ+∠POM＝90°，
∴∠NOQ＝∠PMO，又OM＝ON，
∴△MPO≌△OQN，
∴OQ＝MP＝R，
∴tan∠NOQ=NQOQ=rR=12，
∴tan∠BOQ＝tan2∠NOQ=11−14=43，
∴k=43．
故选：D．
2．设M是△ABC所在平面内一点，AC→+AB→=2AM→则（ ）
A．MC→+MB→=0→B．MC→+AB→=0→C．AM→+BC→=0→D．MA→+MB→+MC→=0→
【分析】可以将AC→=MC→−MA→，AB→=MB→−MA→，AM→=−MA→带入AC→+AB→=2AM→，然后整理便可得到MC→+MB→=0→，这样便可找出正确选项．
【解答】解：AC→=MC→−MA→，AB→=MB→−MA→，AM→=−MA→；
∴由AC→+AB→=2AM→得，MC→−MA→+MB→−MA→=−2MA→；
∴MC→+MB→=0→．
故选：A．
3．P是△ABC内的一点，AP→=13(AB→+AC→)，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（ ）
A．2B．3C．32D．6
【分析】可取BC的中点为D，并连接AD，从而可得出AP→=23AD→，这样便可画出图形，进而得出PD=13AD，这样便可根据三角形的面积公式求出S△BCP=13S△ABC，即得出△ABC的面积与△BCP的面积之比．
【解答】解：取BC中点D，连接AD，则AB→+AC→=2AD→；
∴AP→=23AD→，如图所示：
∴|PD→|=13|AD→|；
∴S△BCP=13S△ABC；
∴△ABC的面积与△BCP的面积之比为3．
故选：B．
4．已知向量a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a→−3b→|等于（ ）
A．7B．10C．13D．4
【分析】由题意代入向量的模长公式，化简可得．
【解答】解：∵向量a→，b→均为单位向量，且夹角是60°，
∴|a→−3b→|=(a→−3b→)2=a→2−6a→⋅b→+9b→2
=12−6×1×1×12+9×12=7
故选：A．
5．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，那么a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】由向量的模的运算得：a→2+2a→⋅b→+b→2＝3，由向量的夹角公式得：a→2+2|a→||b→|csθ+b→2＝3，即csθ=−12，又θ∈[0，π]，所以θ=2π3，得解．
【解答】解：由|a→+b→|=3，得：a→2+2a→⋅b→+b→2＝3，
即a→2+2|a→||b→|csθ+b→2＝3，
又|a→|＝1，|b→|＝2，
所以csθ=−12，
又θ∈[0，π]，
所以θ=2π3，
故选：C．
6．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA→+OB→=OC→，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±2
【分析】由A，B，C均在圆上可得|OA→|＝|OB→|＝|OC→|=2，结合OA→+OB→=OC→，利用平方法，可得∠AOB＝120°，则圆心O到直线AB的距离d=2•cs60°，再由点到直线距离公式，可得a的方程，解得答案．
【解答】解：∵A，B，C均为圆x2+y2＝2上的点，
故|OA→|＝|OB→|＝|OC→|=2，
∵OA→+OB→=OC→，
∴（OA→+OB→）2=OC→2，
即OA→2+2OA→•OB→+OB→2=OC→2，
即4+4cs∠AOB＝2
故∠AOB＝120°
则圆心O到直线AB的距离d=2•cs60°=22=|a|2
即|a|＝1
即a＝±1
故选：A．
7．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且AB→+AC→=AD→，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．4C．33D．43
【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．
【解答】解：由AB→+AC→=AD→ 知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，
∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，
∴ 当AB＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值12×2×4=4．
故选：B．
8．已知|a→|＝1，|b→|=2，且（a→−b→）和a→垂直，则a→与b→的夹角为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．135°
【分析】设向量a→与b→的夹角为α，0°≤α≤180°，由垂直关系可得a→•（a→−b→）＝0，代入数据可解csα，可得结论．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为α，0°≤α≤180°，
∵（a→−b→）和a→垂直，∴a→•（a→−b→）＝0，
∴a→2−a→⋅b→=1﹣1×2×csα＝0，
解得csα=22，α＝45°
故选：C．
9．已知向量a→=（1，2），b→=（3，1），则向量a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．55B．1313C．26565D．2626
【分析】可求出向量a→+2b→和2a→−b→的坐标，进而可求出(a→+2b→)⋅(2a→−b→)，|a→+2b→|和|2a→−b→|的值，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值．
【解答】解：∵a→+2b→=(7，4)，2a→−b→=(−1，3)，
∴cs＜a→+2b→，2a→−b→＞=(a→+2b→)⋅(2a→−b→)|a→+2b→||2a→−b→|=7×(−1)+4×365×10=5526=2626．
故选：D．
10．已知两个单位向量a→，b→的夹角为120°，则下列向量是单位向量的是（ ）
A．a→+b→B．a→−12b→C．a→−b→D．a→+12b→
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a→•b→，再求出向量的模，结合单位向量的定义，得出结论．
【解答】解：∵两个单位向量a→，b→的夹角为120°，∴a→•b→=1×1×cs120°=−12，
∴|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1+1−1=1，∴a→+b→是单位向量；
∵|a→−12b→|=(a→−12b→)2=a→2+b→24−a→⋅b→=1+14+12=72≠1；
|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=1+1+1=3≠1；
∵|a→+12b→|=(a→+b→2)2=a→2+b→24+a→⋅b→=1+14−12=32≠1，
故选：A．
二．填空题（共16小题）
11．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a→•（a→+b→）＝3可得a→2+a→⋅b→=3，代入数据可得关于csθ的方程，解之结合θ的范围可得．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]
由a→•（a→+b→）＝3可得a→2+a→⋅b→=3，
代入数据可得22+2×1×csθ＝3，
解之可得csθ=−12，
故可得θ=2π3
故答案为：2π3
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ→=λMN→的实数λ有 2 个．
【分析】根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出λ的值，即可得出结论．
【解答】解：∵线段D1Q与OP互相平分，且MQ→=λMN→，
∴Q∈MN，
∴只有当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，
此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，
此时λ＝0或1
故答案为：2．
13．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB=2π3，OC→=12OA→+14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 60° ．
【分析】由题意，先求出两个向量OA→与OC→模与两向量的数量积，再代入公式求出两向量的夹角余弦值即可
【解答】解：由题意得
|OC→|＝|12OA→+14OB→|=(12OA→+14OB→)2=(12OA→)2+(14OB→)2+14OB→⋅OA→=14+14−14=12，
OC→•OA→=12OA→•OA→+14OB→•OA→=12−14=14
∴cs＜OC→，OA→＞=OC→⋅OA→|OC→|OA||=141×12=12
则OA→与OC→的夹角大小为60°，
故答案为：60°
14．已知向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，则cs＜a→，a→+b→＞= 32 ．
【分析】由已知分别求得a→⋅(a→+b→)与|a→+b→|，再由数量积求夹角公式得答案．
【解答】解：∵向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，
a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅csπ3=12，
|a→+b→|=(a→+b→)2=|a→|2+|b→|2+2a→⋅b→=1+1+1=3，
a→⋅(a→+b→)=|a→|2+a→⋅b→=1+12=32，
∴cs＜a→，a→+b→＞=a→⋅(a→+b→)|a→|⋅|a→+b→|=321×3=32．
故答案为：32．
15．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，则a→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出a→与b→的夹角的余弦值，可得a→与b→的夹角．
【解答】解：∵非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，设a→与b→的夹角θ，
则 （a→−b→）•b→=a→⋅b→−b→2=2|b→|•|b→|csθ−|b→|2=0，∴csθ=12，∴θ=π3，
故答案为：π3．
16．设非零向量a→，b→满足(a→−b→)⊥a→，|b|=2|a→|，则a→与b→的夹角为 π4 ．
【分析】根据题意，设a→与b→的夹角为θ，设|a→|＝t，则|b→|＝2t，由向量垂直与数量积的关系可得a→•（a→−b→）=a→2−a→•b→=t2−2t2csθ＝0，变形可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量a→与b→的夹角为θ，
又由|b|=2|a→|，
设|a→|＝t≠0，则|b→|=2t，
又由(a→−b→)⊥a→，则a→•（a→−b→）=a→2−a→•b→=t2−2t2csθ＝0，
变形可得：csθ=22；
又由0≤θ≤π，则θ=π4；
故答案为：π4．
17．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→，则λ﹣μ＝ 12 ．
【分析】画出示意图，利用向量的运算法则将AE→用AB→，BD→表示即可．
【解答】解：如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→=AD→+DE→=BC→+12AB→=DC→−DB→+12AB→=AB→+BD→+12AB→=32AB→+BD→，
所以λ=32，μ=1，λ−μ=12；
故答案为：12．
18．已知平面单位向量a→，b→满足|a→−b→|≤1．设向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角为θ，则csθ的最大值为 −2114 ．
【分析】设a→，b→的夹角为α，由题意求出csα≥12，再求向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角θ的余弦值csθ的最大值即可．
【解答】解：设a→，b→的夹角为α，由a→，b→为单位向量，满足|a→−b→|≤1，
所以a→2−a→•b→+b→2＝1﹣2csα+1≤1，
解得csα≥12，
（2a→+b→）•（a→−2b→）＝2a→2﹣3a→•b→−2b→2＝﹣3csα，
（2a→+b→）2＝4a→2+4a→•b→+b→2＝5+4csα，
（a→−2b→）2=a→2﹣4a→•b→+4b→2＝5﹣4csα，
所以csθ=(2a→+b→)⋅(a→−2b→)|2a→+b→||a→−2b→|=−3csα5+4csα×5−4csα
=−3csα25−16cs2α=−325cs2α−16≤−2114，
所以csθ的最大值为−2114．
故答案为：−2114．
19．已知向量AB→=(12，32)，AC→=(32，12)，则∠BAC＝ π6 ．
【分析】根据AB→，AC→的坐标即可求出AB→⋅AC→，|AB→|和|AC→|的值，从而可求出cs∠BAC的值，进而得出∠BAC的值．
【解答】解：AB→⋅AC→=34+34=32，|AB→|=|AC→|=1，
∴cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→||AC→|=32，0≤∠BAC≤π，
∴∠BAC=π6．
故答案为：π6．
20．已知A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，则x＝ ﹣1 ，AB→与AC→的夹角为 π3 ．
【分析】由共面向量定理得x+2x+4＝1，由此求出x＝﹣1，AB→=（1，2，1），AC→=（﹣1，2，1），由此能求出AB→与AC→的夹角．
【解答】解：A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，
∵点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，
∴x+2x+4＝1，
解得x＝﹣1，
∴AB→=（1，2，1），AC→=（﹣1，2，1），
∴cs＜AB→，AC→＞=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=24⋅4=12，
∴AB→与AC→的夹角为π3．
故答案为：﹣1，π3．
21．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC→=λDB→+μAP→，则λ+μ的最大值为 3
【分析】建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据P的坐标表示出λ+μ的表达式，求其最大值即可．
【解答】解：以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，
则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴AC→=（2，2），DB→=（2，﹣2），AP→=（x，2），
∵AC→=λDB→+μAP→，
∴2λ+xμ=2−2λ+2μ=2，
∴λ=2−x2+xμ=42+x，
∴λ+μ=6−x2+x，
令f（x）=6−x2+x，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）max＝f（0）＝3．
故答案为：3
22．已知向量a⟶=(1，−2)，b⟶=(1，λ)，若a⟶与b⟶的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12） ．
【分析】根据题意即可得出1−2λ＞0λ+2≠0，然后解出λ的范围即可．
【解答】解：∵a⟶与b⟶的夹角为锐角
∴a→⋅b→＞0，且a→，b→不共线，
∴1−2λ＞0λ+2≠0，解得λ＜12且λ≠﹣2，
∴实数λ的取值范围是(−∞，−2)∪(−2，12)．
故答案为：(−∞，−2)∪(−2，12)．
23．已知△ABC的面积是4，∠BAC＝120°，点P满足BP→=3PC→，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则PM→•PN→= 338 ．
【分析】不妨令△ABC为等腰三角形，根据三角形的面积公式求出b2＝c2=163，再由余弦定理求出a2＝163，再根据投影的定义可的，|PM→|=3a8，|PN→|=a8，
最后根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：不妨令△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝120°，
∴B＝C＝30°，
∴b＝c，
∴S△ABC=12bcsinA＝4，
∴b2＝c2=163，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA=483=163，
∵BP→=3PC→，
∴|PC→|=14|BC→|=a4，|BP→|=34|BC→|=3a4，
∵过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N，
∴|PM→|＝|BP→|•sinB=3a8，|PN→|＝|PC→|sinC=a8，
∵∠MPN＝180°﹣A＝60°，
∴PM→•PN→=|PM→|•|PN→|cs6°=3a8•a8•12=3a2128=338，
故答案为：338
24．设向量a→=（1，2），b→=（2，1），则a→与b→的夹角的大小为 arccs45 .（结果用反三角函数值表示）
【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果．
【解答】解：向量a→=（1，2），b→=（2，1），
所以csθ=a→⋅b→|a→||b|=45×5=45，
所以θ=arccs45．
故答案为：arccs45．
25．若向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 {m|m＜0且m≠﹣2} ．
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a→•b→=4m+m＜0且m2≠4，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，
则a→•b→=4m+m＜0且m2≠4，解可得m＜0且m≠﹣2，
即m的取值范围为{m|m＜0且m≠﹣2}
故答案为：{m|m＜0且m≠﹣2}．
26．已知向量a→，b→满足，|a→|=1，|b→|=2，a→⊥(a→−b→)，则a→与b→夹角的大小是 45° ．
【分析】可根据a→⊥(a→−b→)得出a→⋅b→=1，然后即可求出cs＜a→，b→＞的值，进而可得出a→与b→夹角的大小．
【解答】解：∵|a→|=1，a→⊥(a→−b→)，
∴a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=1−a→⋅b→=0，∴a→⋅b→=1，且|b→|=2，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=12=22，且＜a→，b→＞∈[0°，180°]，
∴＜a→，b→＞=45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共7小题）
27．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示向量OC→，DC→；
（2）若OE→=λOA→，求实数λ的值．
【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用用a→，b→表示向量OC→，DC→．
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．
【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且OD→=23OB→，
由平行四边形法则得OB→+OC→=2OA→，
则OC→=2OA→−OB→=2a→−b→，
则DC→=OC→−OD→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→；
（2）由图知EC→∥DC→，
∵EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→=（2﹣λ）a→−b→，
DC→=2a→−53b→，
∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．
28．设向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1及|3a→−2b→|=7．
（1）求a→，b→夹角的大小；
（2）求|3a→+2b→|的值．
【分析】（1）根据向量数量积的运算性质和向量模的公式，结合题意算出a→⋅b→=12，再根据向量的夹角公式即可算出a→、b→夹角的大小；
（2）由（1）的结论，算出|3a→+2b→|2＝13，两边开方即可得到|3a→+2b→|的值．
【解答】解：（1）∵|a→|=|b→|=1，|3a→−2b→|=7，
∴|3a→−2b→|2＝（3a→−2b→）2＝9a→2−12a→⋅b→+4b→2=7，
即9|a→|2−12a→⋅b→+4|b→|2=7，可得13﹣12a→⋅b→=7，解之得a→⋅b→=12．
设a→、b→夹角等于α，则csα=a→⋅b→|a|→⋅|b|→=12，
∵α∈（0，π），
∴α=π3，即a→、b→夹角的大小为π3；
（2）∵|a→|=|b→|=1，a→⋅b→=12．
|3a→+2b→|2＝9a→2+6a→⋅b→+4b→2=9+12×12+4＝19，
∴|3a→+2b→|=19．
29．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE＝2EB，CF＝2FB．
（1）若DE→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）求A→B•DE→的值；
（3）求cs∠BEF．
【分析】（1）利用向量的比例关系，即可求出x，y的值．
（2）利用（1）的结果，通过数量积的运算，求解即可．
（3）求出EF→，通过向量的数量积的运算法则求解cs∠BEF即可．
【解答】解：（1）∴DE→=AE→−AD→=23AB→−AD→，
∴x=23，y=−1⋯4
（2）AB→⋅DE→=AB→⋅(23AB→−AD→)=23AB→2−AB→⋅AD→⋯6
=23×42−4×2×12=203⋯10
（3）设EB→，EF→的夹角为θ，
∵|EF→|2=|13(AB→+AD→)|2=289，
∴|EF→|=273⋯12
又∵EF→⋅EB→=EB→2+BF→⋅EB→=169+49=209，|EB→|=43⋯14
∴csθ=EB→⋅EF→|EF|→|DE→|=209273×43=5714⋯16
30．已知向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）若a→∥b→，求θ的值；
（Ⅱ）若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据向量的平行的条件以及特殊角的三角函数值即可判断，
（Ⅱ）直接代入向量的夹角计算公式求解即可．
【解答】解：∵向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）a→∥b→⇒﹣csθ−3sinθ＝0⇒tanθ=−33，
∴θ=−π6，
（Ⅱ）θ=π6⇒a→=（332，12），
∴|a→|=(332)2+(12)2=7，|b→|=(3)2+(−13)2=273，a→•b→=332×3+12×（−13）=133，
∴a→，b→夹角的余弦值为：1337×273=1314．
31．设向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，且|3a→−2b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+3b→|的大小．
【分析】（1）根据|a→|=|b→|=1，对|3a→−2b→|=7两边平方，进行数量积的运算即可求出cs＜a→，b→＞=12，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；
（2）可求出a→⋅b→=12，从而可求出|2a→+3b→|2=19，从而求出|2a→+3b→|=19．
【解答】解：（1）∵|a→|=|b→|=1，|3a→−2b→|=7；
∴(3a→−2b→)2=9a→2+4b→2−12|a→||b→|cs＜a→，b→＞=9+4−12cs＜a→，b→＞=7；
∴cs＜a→，b→＞=12；
又0≤＜a→，b→＞≤π；
∴a→与b→的夹角为π3；
（2）∵a→⋅b→=12，a→2=b→2=1；
∴(2a→+3b→)2=4a→2+12a→⋅b→+9b→2=4+6+9=19；
∴|2a→+3b→|=19．
32．已知空间中三点A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），设a→=AB→，b→=AC→．
（1）求向量a→与b→夹角的余弦值；
（2）若a→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与夹角公式，计算即可；
（2）利用两向量垂直时数量积为0，列方程求出k的值．
【解答】解：（1）因为A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），
所以a→=AB→=（1，1，2），b→=AC→=（﹣3，0，4），
计算a→⋅b→=1×（﹣3）+1×0+2×4＝5，
|a→|=12+12+22=6，|b→|=(−3)2+02+42=5；
所以cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→|×|b→|=56×5=66，
即向量a→与b→夹角的余弦值为66．
（2）a→−kb→=（1，1，2）﹣k（﹣3，0，4）＝（1+3k，1，2﹣4k），
若a→与a→−kb→互相垂直，则a→•（a→−kb→）＝0，
即（1+3k）+1+2×（2﹣4k）＝0，
解得k=65；
所以当a→与a→−kb→垂直时，实数k的值为65．
33．已知正三角形ABC的边长为1，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）求|2a→+b→|；
（2）求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角．
【分析】（1）由题意知|a→|＝|b→|＝1，＜a→，b→＞=60°，计算(2a→+b→)2即可求出|2a→+b→|的值；
（2）计算|﹣3a→+2b→|和（2a→+b→）•（﹣3a→+2b→）的值，再求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角余弦值，即可求出夹角大小．
【解答】解：（1）由题意知，|a→|＝|b→|＝1，＜a→，b→＞=60°，
计算(2a→+b→)2=4a→2+4a→•b→+b→2=4×1+4×1×1×cs60°+1＝7，
所以|2a→+b→|=7；
（2）由（1）知，|2a→+b→|=7，
计算|﹣3a→+2b→|=9a→2−12a→⋅b→+4b→2=9×1−12×1×1×12+4×1=7，
（2a→+b→）•（﹣3a→+2b→）＝﹣6a→2+a→•b→+2b→2=−6×1+1×1×cs60°+2×1=−72，
所以csθ=(2a→+b→)⋅(−3a→+2b→)|2a→+b→|×|−3a→+2b→|=−727×7=−12，
又因为θ∈[0°，180°]，
所以2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角为120°．
1．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且AC→=2CB→，则实数k的值为（ ）
A．1B．34C．3D．43
2．设M是△ABC所在平面内一点，AC→+AB→=2AM→则（ ）
A．MC→+MB→=0→B．MC→+AB→=0→C．AM→+BC→=0→D．MA→+MB→+MC→=0→
3．P是△ABC内的一点，AP→=13(AB→+AC→)，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（ ）
A．2B．3C．32D．6
4．已知向量a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a→−3b→|等于（ ）
A．7B．10C．13D．4
5．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，那么a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
6．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA→+OB→=OC→，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±2
7．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且AB→+AC→=AD→，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．4C．33D．43
8．已知|a→|＝1，|b→|=2，且（a→−b→）和a→垂直，则a→与b→的夹角为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．135°
9．已知向量a→=（1，2），b→=（3，1），则向量a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．55B．1313C．26565D．2626
10．已知两个单位向量a→，b→的夹角为120°，则下列向量是单位向量的是（ ）
A．a→+b→B．a→−12b→C．a→−b→D．a→+12b→
二．填空题（共16小题）
11．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为 ．
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ→=λMN→的实数λ有 个．
13．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB=2π3，OC→=12OA→+14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 ．
14．已知向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，则cs＜a→，a→+b→＞= ．
15．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，则a→与b→的夹角为 ．
16．设非零向量a→，b→满足(a→−b→)⊥a→，|b|=2|a→|，则a→与b→的夹角为 ．
17．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→，则λ﹣μ＝ ．
18．已知平面单位向量a→，b→满足|a→−b→|≤1．设向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角为θ，则csθ的最大值为 ．
19．已知向量AB→=(12，32)，AC→=(32，12)，则∠BAC＝ ．
20．已知A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，则x＝ ，AB→与AC→的夹角为 ．
21．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC→=λDB→+μAP→，则λ+μ的最大值为
22．已知向量a⟶=(1，−2)，b⟶=(1，λ)，若a⟶与b⟶的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ．
23．已知△ABC的面积是4，∠BAC＝120°，点P满足BP→=3PC→，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则PM→•PN→= ．
24．设向量a→=（1，2），b→=（2，1），则a→与b→的夹角的大小为 .（结果用反三角函数值表示）
25．若向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 ．
26．已知向量a→，b→满足，|a→|=1，|b→|=2，a→⊥(a→−b→)，则a→与b→夹角的大小是 ．
三．解答题（共7小题）
27．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示向量OC→，DC→；
（2）若OE→=λOA→，求实数λ的值．
28．设向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1及|3a→−2b→|=7．
（1）求a→，b→夹角的大小；
（2）求|3a→+2b→|的值．
29．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE＝2EB，CF＝2FB．
（1）若DE→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）求A→B•DE→的值；
（3）求cs∠BEF．
30．已知向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）若a→∥b→，求θ的值；
（Ⅱ）若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．
31．设向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，且|3a→−2b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+3b→|的大小．
32．已知空间中三点A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），设a→=AB→，b→=AC→．
（1）求向量a→与b→夹角的余弦值；
（2）若a→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
33．已知正三角形ABC的边长为1，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）求|2a→+b→|；
（2）求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角．
人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且AC→=2CB→，则实数k的值为（ ）
A．1B．34C．3D．43
【分析】根据切线的性质可得OM⊥ON，利用相似三角形得出两圆半径比为2：1，在根据三角形相似即可得出tan∠NOX，根据二倍角公式计算k．
【解答】解：过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，
设圆M，圆N的半径分别为R，r，
∵AC→=2CB→，∴AC＝2BC．
∵OB是圆M，圆N的垂线，
∴AM⊥OB，BN⊥OB，
∴△MAC∽△NBC，
∴AMBN=ACBC=2，即R＝2r．
∵x轴是两圆的切线，且OB是两圆的切线，
∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，
∴∠NOQ+∠POM＝90°，
∴∠NOQ＝∠PMO，又OM＝ON，
∴△MPO≌△OQN，
∴OQ＝MP＝R，
∴tan∠NOQ=NQOQ=rR=12，
∴tan∠BOQ＝tan2∠NOQ=11−14=43，
∴k=43．
故选：D．
2．设M是△ABC所在平面内一点，AC→+AB→=2AM→则（ ）
A．MC→+MB→=0→B．MC→+AB→=0→C．AM→+BC→=0→D．MA→+MB→+MC→=0→
【分析】可以将AC→=MC→−MA→，AB→=MB→−MA→，AM→=−MA→带入AC→+AB→=2AM→，然后整理便可得到MC→+MB→=0→，这样便可找出正确选项．
【解答】解：AC→=MC→−MA→，AB→=MB→−MA→，AM→=−MA→；
∴由AC→+AB→=2AM→得，MC→−MA→+MB→−MA→=−2MA→；
∴MC→+MB→=0→．
故选：A．
3．P是△ABC内的一点，AP→=13(AB→+AC→)，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（ ）
A．2B．3C．32D．6
【分析】可取BC的中点为D，并连接AD，从而可得出AP→=23AD→，这样便可画出图形，进而得出PD=13AD，这样便可根据三角形的面积公式求出S△BCP=13S△ABC，即得出△ABC的面积与△BCP的面积之比．
【解答】解：取BC中点D，连接AD，则AB→+AC→=2AD→；
∴AP→=23AD→，如图所示：
∴|PD→|=13|AD→|；
∴S△BCP=13S△ABC；
∴△ABC的面积与△BCP的面积之比为3．
故选：B．
4．已知向量a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a→−3b→|等于（ ）
A．7B．10C．13D．4
【分析】由题意代入向量的模长公式，化简可得．
【解答】解：∵向量a→，b→均为单位向量，且夹角是60°，
∴|a→−3b→|=(a→−3b→)2=a→2−6a→⋅b→+9b→2
=12−6×1×1×12+9×12=7
故选：A．
5．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，那么a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】由向量的模的运算得：a→2+2a→⋅b→+b→2＝3，由向量的夹角公式得：a→2+2|a→||b→|csθ+b→2＝3，即csθ=−12，又θ∈[0，π]，所以θ=2π3，得解．
【解答】解：由|a→+b→|=3，得：a→2+2a→⋅b→+b→2＝3，
即a→2+2|a→||b→|csθ+b→2＝3，
又|a→|＝1，|b→|＝2，
所以csθ=−12，
又θ∈[0，π]，
所以θ=2π3，
故选：C．
6．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA→+OB→=OC→，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±2
【分析】由A，B，C均在圆上可得|OA→|＝|OB→|＝|OC→|=2，结合OA→+OB→=OC→，利用平方法，可得∠AOB＝120°，则圆心O到直线AB的距离d=2•cs60°，再由点到直线距离公式，可得a的方程，解得答案．
【解答】解：∵A，B，C均为圆x2+y2＝2上的点，
故|OA→|＝|OB→|＝|OC→|=2，
∵OA→+OB→=OC→，
∴（OA→+OB→）2=OC→2，
即OA→2+2OA→•OB→+OB→2=OC→2，
即4+4cs∠AOB＝2
故∠AOB＝120°
则圆心O到直线AB的距离d=2•cs60°=22=|a|2
即|a|＝1
即a＝±1
故选：A．
7．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且AB→+AC→=AD→，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．4C．33D．43
【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．
【解答】解：由AB→+AC→=AD→ 知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，
∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，
∴ 当AB＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值12×2×4=4．
故选：B．
8．已知|a→|＝1，|b→|=2，且（a→−b→）和a→垂直，则a→与b→的夹角为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．135°
【分析】设向量a→与b→的夹角为α，0°≤α≤180°，由垂直关系可得a→•（a→−b→）＝0，代入数据可解csα，可得结论．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为α，0°≤α≤180°，
∵（a→−b→）和a→垂直，∴a→•（a→−b→）＝0，
∴a→2−a→⋅b→=1﹣1×2×csα＝0，
解得csα=22，α＝45°
故选：C．
9．已知向量a→=（1，2），b→=（3，1），则向量a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．55B．1313C．26565D．2626
【分析】可求出向量a→+2b→和2a→−b→的坐标，进而可求出(a→+2b→)⋅(2a→−b→)，|a→+2b→|和|2a→−b→|的值，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出a→+2b→与2a→−b→的夹角的余弦值．
【解答】解：∵a→+2b→=(7，4)，2a→−b→=(−1，3)，
∴cs＜a→+2b→，2a→−b→＞=(a→+2b→)⋅(2a→−b→)|a→+2b→||2a→−b→|=7×(−1)+4×365×10=5526=2626．
故选：D．
10．已知两个单位向量a→，b→的夹角为120°，则下列向量是单位向量的是（ ）
A．a→+b→B．a→−12b→C．a→−b→D．a→+12b→
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a→•b→，再求出向量的模，结合单位向量的定义，得出结论．
【解答】解：∵两个单位向量a→，b→的夹角为120°，∴a→•b→=1×1×cs120°=−12，
∴|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1+1−1=1，∴a→+b→是单位向量；
∵|a→−12b→|=(a→−12b→)2=a→2+b→24−a→⋅b→=1+14+12=72≠1；
|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=1+1+1=3≠1；
∵|a→+12b→|=(a→+b→2)2=a→2+b→24+a→⋅b→=1+14−12=32≠1，
故选：A．
二．填空题（共16小题）
11．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a→•（a→+b→）＝3可得a→2+a→⋅b→=3，代入数据可得关于csθ的方程，解之结合θ的范围可得．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]
由a→•（a→+b→）＝3可得a→2+a→⋅b→=3，
代入数据可得22+2×1×csθ＝3，
解之可得csθ=−12，
故可得θ=2π3
故答案为：2π3
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ→=λMN→的实数λ有 2 个．
【分析】根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出λ的值，即可得出结论．
【解答】解：∵线段D1Q与OP互相平分，且MQ→=λMN→，
∴Q∈MN，
∴只有当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，
此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，
此时λ＝0或1
故答案为：2．
13．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB=2π3，OC→=12OA→+14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 60° ．
【分析】由题意，先求出两个向量OA→与OC→模与两向量的数量积，再代入公式求出两向量的夹角余弦值即可
【解答】解：由题意得
|OC→|＝|12OA→+14OB→|=(12OA→+14OB→)2=(12OA→)2+(14OB→)2+14OB→⋅OA→=14+14−14=12，
OC→•OA→=12OA→•OA→+14OB→•OA→=12−14=14
∴cs＜OC→，OA→＞=OC→⋅OA→|OC→|OA||=141×12=12
则OA→与OC→的夹角大小为60°，
故答案为：60°
14．已知向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，则cs＜a→，a→+b→＞= 32 ．
【分析】由已知分别求得a→⋅(a→+b→)与|a→+b→|，再由数量积求夹角公式得答案．
【解答】解：∵向量a→与b→的夹角为π3，|a→|＝|b→|＝1，
a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅csπ3=12，
|a→+b→|=(a→+b→)2=|a→|2+|b→|2+2a→⋅b→=1+1+1=3，
a→⋅(a→+b→)=|a→|2+a→⋅b→=1+12=32，
∴cs＜a→，a→+b→＞=a→⋅(a→+b→)|a→|⋅|a→+b→|=321×3=32．
故答案为：32．
15．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，则a→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出a→与b→的夹角的余弦值，可得a→与b→的夹角．
【解答】解：∵非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，设a→与b→的夹角θ，
则 （a→−b→）•b→=a→⋅b→−b→2=2|b→|•|b→|csθ−|b→|2=0，∴csθ=12，∴θ=π3，
故答案为：π3．
16．设非零向量a→，b→满足(a→−b→)⊥a→，|b|=2|a→|，则a→与b→的夹角为 π4 ．
【分析】根据题意，设a→与b→的夹角为θ，设|a→|＝t，则|b→|＝2t，由向量垂直与数量积的关系可得a→•（a→−b→）=a→2−a→•b→=t2−2t2csθ＝0，变形可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量a→与b→的夹角为θ，
又由|b|=2|a→|，
设|a→|＝t≠0，则|b→|=2t，
又由(a→−b→)⊥a→，则a→•（a→−b→）=a→2−a→•b→=t2−2t2csθ＝0，
变形可得：csθ=22；
又由0≤θ≤π，则θ=π4；
故答案为：π4．
17．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→，则λ﹣μ＝ 12 ．
【分析】画出示意图，利用向量的运算法则将AE→用AB→，BD→表示即可．
【解答】解：如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若AE→=λAB→+μBD→=AD→+DE→=BC→+12AB→=DC→−DB→+12AB→=AB→+BD→+12AB→=32AB→+BD→，
所以λ=32，μ=1，λ−μ=12；
故答案为：12．
18．已知平面单位向量a→，b→满足|a→−b→|≤1．设向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角为θ，则csθ的最大值为 −2114 ．
【分析】设a→，b→的夹角为α，由题意求出csα≥12，再求向量2a→+b→与向量a→−2b→的夹角θ的余弦值csθ的最大值即可．
【解答】解：设a→，b→的夹角为α，由a→，b→为单位向量，满足|a→−b→|≤1，
所以a→2−a→•b→+b→2＝1﹣2csα+1≤1，
解得csα≥12，
（2a→+b→）•（a→−2b→）＝2a→2﹣3a→•b→−2b→2＝﹣3csα，
（2a→+b→）2＝4a→2+4a→•b→+b→2＝5+4csα，
（a→−2b→）2=a→2﹣4a→•b→+4b→2＝5﹣4csα，
所以csθ=(2a→+b→)⋅(a→−2b→)|2a→+b→||a→−2b→|=−3csα5+4csα×5−4csα
=−3csα25−16cs2α=−325cs2α−16≤−2114，
所以csθ的最大值为−2114．
故答案为：−2114．
19．已知向量AB→=(12，32)，AC→=(32，12)，则∠BAC＝ π6 ．
【分析】根据AB→，AC→的坐标即可求出AB→⋅AC→，|AB→|和|AC→|的值，从而可求出cs∠BAC的值，进而得出∠BAC的值．
【解答】解：AB→⋅AC→=34+34=32，|AB→|=|AC→|=1，
∴cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→||AC→|=32，0≤∠BAC≤π，
∴∠BAC=π6．
故答案为：π6．
20．已知A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，则x＝ ﹣1 ，AB→与AC→的夹角为 π3 ．
【分析】由共面向量定理得x+2x+4＝1，由此求出x＝﹣1，AB→=（1，2，1），AC→=（﹣1，2，1），由此能求出AB→与AC→的夹角．
【解答】解：A（0，0，﹣x），B（1，2，2），C（x，2，2）三点，
∵点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且OM→=xOA→+2xOB→+4OC→，
∴x+2x+4＝1，
解得x＝﹣1，
∴AB→=（1，2，1），AC→=（﹣1，2，1），
∴cs＜AB→，AC→＞=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=24⋅4=12，
∴AB→与AC→的夹角为π3．
故答案为：﹣1，π3．
21．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC→=λDB→+μAP→，则λ+μ的最大值为 3
【分析】建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据P的坐标表示出λ+μ的表达式，求其最大值即可．
【解答】解：以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，
则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴AC→=（2，2），DB→=（2，﹣2），AP→=（x，2），
∵AC→=λDB→+μAP→，
∴2λ+xμ=2−2λ+2μ=2，
∴λ=2−x2+xμ=42+x，
∴λ+μ=6−x2+x，
令f（x）=6−x2+x，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）max＝f（0）＝3．
故答案为：3
22．已知向量a⟶=(1，−2)，b⟶=(1，λ)，若a⟶与b⟶的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12） ．
【分析】根据题意即可得出1−2λ＞0λ+2≠0，然后解出λ的范围即可．
【解答】解：∵a⟶与b⟶的夹角为锐角
∴a→⋅b→＞0，且a→，b→不共线，
∴1−2λ＞0λ+2≠0，解得λ＜12且λ≠﹣2，
∴实数λ的取值范围是(−∞，−2)∪(−2，12)．
故答案为：(−∞，−2)∪(−2，12)．
23．已知△ABC的面积是4，∠BAC＝120°，点P满足BP→=3PC→，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则PM→•PN→= 338 ．
【分析】不妨令△ABC为等腰三角形，根据三角形的面积公式求出b2＝c2=163，再由余弦定理求出a2＝163，再根据投影的定义可的，|PM→|=3a8，|PN→|=a8，
最后根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：不妨令△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝120°，
∴B＝C＝30°，
∴b＝c，
∴S△ABC=12bcsinA＝4，
∴b2＝c2=163，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA=483=163，
∵BP→=3PC→，
∴|PC→|=14|BC→|=a4，|BP→|=34|BC→|=3a4，
∵过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N，
∴|PM→|＝|BP→|•sinB=3a8，|PN→|＝|PC→|sinC=a8，
∵∠MPN＝180°﹣A＝60°，
∴PM→•PN→=|PM→|•|PN→|cs6°=3a8•a8•12=3a2128=338，
故答案为：338
24．设向量a→=（1，2），b→=（2，1），则a→与b→的夹角的大小为 arccs45 .（结果用反三角函数值表示）
【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果．
【解答】解：向量a→=（1，2），b→=（2，1），
所以csθ=a→⋅b→|a→||b|=45×5=45，
所以θ=arccs45．
故答案为：arccs45．
25．若向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 {m|m＜0且m≠﹣2} ．
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a→•b→=4m+m＜0且m2≠4，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=(m，1)与向量b→=(4，m)的夹角是钝角，
则a→•b→=4m+m＜0且m2≠4，解可得m＜0且m≠﹣2，
即m的取值范围为{m|m＜0且m≠﹣2}
故答案为：{m|m＜0且m≠﹣2}．
26．已知向量a→，b→满足，|a→|=1，|b→|=2，a→⊥(a→−b→)，则a→与b→夹角的大小是 45° ．
【分析】可根据a→⊥(a→−b→)得出a→⋅b→=1，然后即可求出cs＜a→，b→＞的值，进而可得出a→与b→夹角的大小．
【解答】解：∵|a→|=1，a→⊥(a→−b→)，
∴a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=1−a→⋅b→=0，∴a→⋅b→=1，且|b→|=2，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=12=22，且＜a→，b→＞∈[0°，180°]，
∴＜a→，b→＞=45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共7小题）
27．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示向量OC→，DC→；
（2）若OE→=λOA→，求实数λ的值．
【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用用a→，b→表示向量OC→，DC→．
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．
【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且OD→=23OB→，
由平行四边形法则得OB→+OC→=2OA→，
则OC→=2OA→−OB→=2a→−b→，
则DC→=OC→−OD→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→；
（2）由图知EC→∥DC→，
∵EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→=（2﹣λ）a→−b→，
DC→=2a→−53b→，
∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．
28．设向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1及|3a→−2b→|=7．
（1）求a→，b→夹角的大小；
（2）求|3a→+2b→|的值．
【分析】（1）根据向量数量积的运算性质和向量模的公式，结合题意算出a→⋅b→=12，再根据向量的夹角公式即可算出a→、b→夹角的大小；
（2）由（1）的结论，算出|3a→+2b→|2＝13，两边开方即可得到|3a→+2b→|的值．
【解答】解：（1）∵|a→|=|b→|=1，|3a→−2b→|=7，
∴|3a→−2b→|2＝（3a→−2b→）2＝9a→2−12a→⋅b→+4b→2=7，
即9|a→|2−12a→⋅b→+4|b→|2=7，可得13﹣12a→⋅b→=7，解之得a→⋅b→=12．
设a→、b→夹角等于α，则csα=a→⋅b→|a|→⋅|b|→=12，
∵α∈（0，π），
∴α=π3，即a→、b→夹角的大小为π3；
（2）∵|a→|=|b→|=1，a→⋅b→=12．
|3a→+2b→|2＝9a→2+6a→⋅b→+4b→2=9+12×12+4＝19，
∴|3a→+2b→|=19．
29．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE＝2EB，CF＝2FB．
（1）若DE→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）求A→B•DE→的值；
（3）求cs∠BEF．
【分析】（1）利用向量的比例关系，即可求出x，y的值．
（2）利用（1）的结果，通过数量积的运算，求解即可．
（3）求出EF→，通过向量的数量积的运算法则求解cs∠BEF即可．
【解答】解：（1）∴DE→=AE→−AD→=23AB→−AD→，
∴x=23，y=−1⋯4
（2）AB→⋅DE→=AB→⋅(23AB→−AD→)=23AB→2−AB→⋅AD→⋯6
=23×42−4×2×12=203⋯10
（3）设EB→，EF→的夹角为θ，
∵|EF→|2=|13(AB→+AD→)|2=289，
∴|EF→|=273⋯12
又∵EF→⋅EB→=EB→2+BF→⋅EB→=169+49=209，|EB→|=43⋯14
∴csθ=EB→⋅EF→|EF|→|DE→|=209273×43=5714⋯16
30．已知向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）若a→∥b→，求θ的值；
（Ⅱ）若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据向量的平行的条件以及特殊角的三角函数值即可判断，
（Ⅱ）直接代入向量的夹角计算公式求解即可．
【解答】解：∵向量a→=（3csθ，sinθ），θ∈[−π2，π2]，向量b→=（3，−13）．
（Ⅰ）a→∥b→⇒﹣csθ−3sinθ＝0⇒tanθ=−33，
∴θ=−π6，
（Ⅱ）θ=π6⇒a→=（332，12），
∴|a→|=(332)2+(12)2=7，|b→|=(3)2+(−13)2=273，a→•b→=332×3+12×（−13）=133，
∴a→，b→夹角的余弦值为：1337×273=1314．
31．设向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，且|3a→−2b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+3b→|的大小．
【分析】（1）根据|a→|=|b→|=1，对|3a→−2b→|=7两边平方，进行数量积的运算即可求出cs＜a→，b→＞=12，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；
（2）可求出a→⋅b→=12，从而可求出|2a→+3b→|2=19，从而求出|2a→+3b→|=19．
【解答】解：（1）∵|a→|=|b→|=1，|3a→−2b→|=7；
∴(3a→−2b→)2=9a→2+4b→2−12|a→||b→|cs＜a→，b→＞=9+4−12cs＜a→，b→＞=7；
∴cs＜a→，b→＞=12；
又0≤＜a→，b→＞≤π；
∴a→与b→的夹角为π3；
（2）∵a→⋅b→=12，a→2=b→2=1；
∴(2a→+3b→)2=4a→2+12a→⋅b→+9b→2=4+6+9=19；
∴|2a→+3b→|=19．
32．已知空间中三点A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），设a→=AB→，b→=AC→．
（1）求向量a→与b→夹角的余弦值；
（2）若a→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与夹角公式，计算即可；
（2）利用两向量垂直时数量积为0，列方程求出k的值．
【解答】解：（1）因为A（1，0，﹣1），B（2，1，1），C（﹣2，0，3），
所以a→=AB→=（1，1，2），b→=AC→=（﹣3，0，4），
计算a→⋅b→=1×（﹣3）+1×0+2×4＝5，
|a→|=12+12+22=6，|b→|=(−3)2+02+42=5；
所以cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→|×|b→|=56×5=66，
即向量a→与b→夹角的余弦值为66．
（2）a→−kb→=（1，1，2）﹣k（﹣3，0，4）＝（1+3k，1，2﹣4k），
若a→与a→−kb→互相垂直，则a→•（a→−kb→）＝0，
即（1+3k）+1+2×（2﹣4k）＝0，
解得k=65；
所以当a→与a→−kb→垂直时，实数k的值为65．
33．已知正三角形ABC的边长为1，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）求|2a→+b→|；
（2）求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角．
【分析】（1）由题意知|a→|＝|b→|＝1，＜a→，b→＞=60°，计算(2a→+b→)2即可求出|2a→+b→|的值；
（2）计算|﹣3a→+2b→|和（2a→+b→）•（﹣3a→+2b→）的值，再求2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角余弦值，即可求出夹角大小．
【解答】解：（1）由题意知，|a→|＝|b→|＝1，＜a→，b→＞=60°，
计算(2a→+b→)2=4a→2+4a→•b→+b→2=4×1+4×1×1×cs60°+1＝7，
所以|2a→+b→|=7；
（2）由（1）知，|2a→+b→|=7，
计算|﹣3a→+2b→|=9a→2−12a→⋅b→+4b→2=9×1−12×1×1×12+4×1=7，
（2a→+b→）•（﹣3a→+2b→）＝﹣6a→2+a→•b→+2b→2=−6×1+1×1×cs60°+2×1=−72，
所以csθ=(2a→+b→)⋅(−3a→+2b→)|2a→+b→|×|−3a→+2b→|=−727×7=−12，
又因为θ∈[0°，180°]，
所以2a→+b→与﹣3a→+2b→的夹角为120°．
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