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人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示，共19页。试卷主要包含了已知向量a→=，设向量a→=，已知向量a→=，b→=，已知点A，已知向量m→=，若⊥，则t＝，若向量a→=等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示
一．选择题（共16小题）
1．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
2．已知向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，则2sinαcosα等于（ ）
A．−45 B．﹣3 C．3 D．45
3．设向量a→=（x，x﹣1），b→=（2，﹣1）．若a→+2b→与b→共线，则实数x的值为（ ）
A．23 B．−53 C．10 D．﹣11
4．已知向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)（其中m＞0，n＞0），若a→与b→共线，则4m+12n的最小值为（ ）
A．94 B．3 C．4615 D．9
5．已知点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），且AB→∥BC→，则x＝（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．已知向量a→=（2，2），b→=（x，4），若（3a→+4b→）∥（5b→−a→），则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则t＝（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣1
8．若向量a→=（1，2），b→=（0，1），ka→−b→与a→+2b→共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．−12 C．1 D．2
9．若向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，则|a→|＝（ ）
A．22 B．2 C．2 D．8
10．已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量a→=(1，2)，若AB→∥a→，则y的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．设向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，且b→∥(a→+b→)，则m＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
12．已知向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)．若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则实数λ的值为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
13．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f1→=（﹣2，﹣1），f2→=（﹣3，2），f3→=（4，﹣3），为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f4→，若f4→∥f5→，则f5→可为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）
14．已知向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），若a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．10 B．32 C．13 D．35
15．向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，则cos(2021π2+α)=（ ）
A．−1010 B．1010 C．−31010 D．31010
16．△ABC中A为其内角，设a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，则sinA+cosA＝（ ）
A．22 B．2 C．−2 D．2
二．多选题（共1小题）
17．已知向量OA→=（1，﹣3），OB→=（﹣2，1），OC→=（t+3，t﹣8），若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为（ ）
A．﹣2 B．12 C．1 D．﹣1
三．填空题（共14小题）
18．已知向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），且a→与2a→−b→共线，则实数x的值为 ．
19．已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则t＝ ．
20．已知向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），若（2a→−b→）∥c→，则实数λ＝ ．
21．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），若a→∥b→，则实数t的值是 ．
22．若向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），其中m＞0，n＞0，若a→∥b→，则m2+n2的取值范围是 ．
23．已知向量a→=（1，k），b→=（2，2），且a→+b→与a→共线，则实数k＝ ．
24．设向量a→=（2，4）与向量b→=（x，6）共线，则实数x＝ ．
25．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是 ．
26．已知向量a→=（1，3），b→=（2，−12），若c→∥（a→−2b→），则单位向量c→= ．
27．已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣1），c→=（1，﹣2），若（a→−b→）∥c→，则m＝ ．
28．设m∈R，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），若a→∥b→，则m等于 ．
29．设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b→，则实数k的值为 ．
30．已知a→=（λ+1，0，2），b→=（6，2μ﹣1，2λ），若a→∥b→．且a→与b→反向，则λ+μ＝ ．
四．解答题（共6小题）
31．已知向量OA→=（3，﹣4），OB→=（6，﹣3），OC→=（5﹣m，﹣3﹣m）．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．
32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，m→∥n→
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，求ab的值．
33．（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，求EB→+FC→；
（2）已知向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），且（m→+n→）∥（xm→−n→），求实数x的值．
34．已知向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
（1）求出向量a→+b→，3a→−2b→的坐标；
（2）求与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
35．设向量a→=（1，﹣1），b→=（3，2），c→=（3，5）．
（1）若（a→+tb→）∥c→，求实数t的值；
（2）求c→在a→方向上的投影．
36．已知向量a→=（3，2），b→=（﹣1，3），c→=（5，2）．
（1）求6a→+b→−2c→；
（2）求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；
（3）若（a→+kc→）∥（2b→−a→），求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），
所以13a→+b→=（6t+3，11），
a→−12b→=（4t+2，5）．
又（13a→+b→）∥（a→−12b→），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t=−12．
故选：B．
2．已知向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，则2sinαcosα等于（ ）
A．−45 B．﹣3 C．3 D．45
【分析】先根据向量的平行得到cosα＝﹣2sinα，即sinα•cosα＜0，再根据同角的三角函数的关系即可求出．
【解答】解：向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，
∴cosα＝﹣2sinα，
∴sinα•cosα＜0
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sin2α=15，cos2α=45，
∴4sin2αcos2α=1625，
∴2sinαcosα=−45
故选：A．
3．设向量a→=（x，x﹣1），b→=（2，﹣1）．若a→+2b→与b→共线，则实数x的值为（ ）
A．23 B．−53 C．10 D．﹣11
【分析】可求出a→+2b→=(x+4，x−3)，然后根据a→+2b→与b→共线即可得出﹣（x+4）﹣2（x﹣3）＝0，然后解出x的值即可．
【解答】解：∵a→+2b→=(x+4，x−3)，b→=(2，−1)，且a→+2b→与b→共线，
∴﹣（x+4）﹣2（x﹣3）＝0，解得x=23．
故选：A．
4．已知向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)（其中m＞0，n＞0），若a→与b→共线，则4m+12n的最小值为（ ）
A．94 B．3 C．4615 D．9
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出m+2n＝3，再利用基本不等式求出4m+12n的最小值．
【解答】解：因为向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)，且a→与b→共线，
所以﹣（m﹣3）﹣2n＝0，m+2n＝3；
又因为m＞0，n＞0，
所以4m+12n=（4m+12n）•13（m+2n）=13（4+1+8nm+m2n）≥13（5+28nm⋅m2n）=13×（5+4）＝3，
当且仅当8nm=m2n，即m＝4n＝2时取等号，
所以4m+12n的最小值为3．
故选：B．
5．已知点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），且AB→∥BC→，则x＝（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】求出AB→=（x，x﹣2），BC→=（1﹣x，4﹣x），由AB→∥BC→，列方程能求出x．
【解答】解：点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），
∴AB→=（x，x﹣2），BC→=（1﹣x，4﹣x），
∵AB→∥BC→，
∴1−xx=4−xx−2，
解得x＝﹣2．
故选：C．
6．已知向量a→=（2，2），b→=（x，4），若（3a→+4b→）∥（5b→−a→），则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出x的值．
【解答】解：由向量a→=（2，2），b→=（x，4），
所以3a→+4b→=（6+4x，22），
5b→−a→=（5x﹣2，18）；
又（3a→+4b→）∥（5b→−a→），
所以18（6+4x）﹣22（5x﹣2）＝0，
解得x＝4．
故选：C．
7．已知向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则t＝（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣1
【分析】通过向量的垂直，数量积为0，求出t的值．
【解答】解：向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），
∴m→+n→=（2t+3，3），m→−n→=（﹣1，﹣1），
∵(m→+n→)⊥(m→−n→)，
∴﹣（2t+3）﹣3＝0，
解得t＝﹣3．
故选：B．
8．若向量a→=（1，2），b→=（0，1），ka→−b→与a→+2b→共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．−12 C．1 D．2
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出ka→−b→=（k，2k﹣1），a→+2b→=（1，4），再由ka→−b→与a→+2b→共线，能求出实数k的值．
【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（0，1），
∴ka→−b→=（k，2k﹣1），a→+2b→=（1，4），
∵ka→−b→与a→+2b→共线，
∴k1=2k−14，解得k=−12．
∴实数k的值为−12．
故选：B．
9．若向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，则|a→|＝（ ）
A．22 B．2 C．2 D．8
【分析】利用向量平行的性质列方程组求出x，由此能求出|a→|．
【解答】解：∵向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，
∴x−41=2−1，解得x＝2，
∴a→=（﹣2，2），
∴|a→|=(−2)2+22=22．
故选：A．
10．已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量a→=(1，2)，若AB→∥a→，则y的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意，由A、B的坐标可得向量AB→的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得4×2＝y﹣1，解可得y的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（﹣1，1），B（3，y），则AB→=（4，y﹣1），
若AB→∥a→，则有4×2＝y﹣1，解可得y＝9，
故选：D．
11．设向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，且b→∥(a→+b→)，则m＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，
∴a→+b→=（1+m，3），
∵b→∥(a→+b→)，
∴3m＝m+1，
解得m=12，
故选：C．
12．已知向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)．若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则实数λ的值为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【分析】根据题意，求出向量（2m→+n→）与（m→−n→）的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得λ﹣3＝2λ+3，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)，
则2m→+n→=（3，2λ+3），m→−n→=（3，λ﹣3），
若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则有λ﹣3＝2λ+3，解可得λ＝﹣6，
故选：D．
13．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f1→=（﹣2，﹣1），f2→=（﹣3，2），f3→=（4，﹣3），为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f4→，若f4→∥f5→，则f5→可为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，由此能求出f4→．再由向量平行，能求出f5→．
【解答】解：为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴f4→=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））＝（1，2）．
∵f5→∥f4→，
∴代入四个选项，只有A成立．
故选：A．
14．已知向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），若a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．10 B．32 C．13 D．35
【分析】由a→∥b→，求出λ＝﹣4，利用平面向量坐标运算法则求出a→+b→，由此能求出|a→+b→|．
【解答】解：∵向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），a→∥b→，
∴12=2−λ，
解得λ＝﹣4，
∴a→+b→=（3，6），
∴|a→+b→|=32+62=35．
故选：D．
15．向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，则cos(2021π2+α)=（ ）
A．−1010 B．1010 C．−31010 D．31010
【分析】由α为第三象限角，且a→∥b→，推导出cosα=13sinα，从而cos2α+sin2α=109sin2α=1，进而sinα=−310，再由cos(2021π2+α)=cos（π2+α）＝﹣sinα，能求出结果．
【解答】解：∵向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，
∴13cosα=1sinα，∴cosα=13sinα，
∴cos2α+sin2α=109sin2α=1，
解得sinα=−310，
∴cos(2021π2+α)=cos（π2+α）
＝﹣sinα=310=31010．
故选：D．
16．△ABC中A为其内角，设a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，则sinA+cosA＝（ ）
A．22 B．2 C．−2 D．2
【分析】由a→∥b→，得到sinAcosA=12，从而（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA＝2，再由A是三角形内角，能求出sinA+cosA．
【解答】解：∵△ABC中A为其内角，a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，
∴32cosA=sinA13，
∴sinAcosA=12，
∴（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA＝1+1＝2，
∴sinA+cosA=2．
故选：B．
二．多选题（共1小题）
17．已知向量OA→=（1，﹣3），OB→=（﹣2，1），OC→=（t+3，t﹣8），若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为（ ）
A．﹣2 B．12 C．1 D．﹣1
【分析】求出AB→，AC→，由点A，B，C能构成三角形，得到AB→≠λAC→，由此能求出实数t．
【解答】解：∵向量OA→=(1，−3)，OB→=(−2，1)，OC→=(t+3，t−8)，
∴AB→=（﹣2，1）﹣（1，﹣3）＝（﹣3，4），
AC→=（t+3，t﹣8）﹣（1，﹣3）＝（t+2，t﹣5），
∵点A，B，C能构成三角形，
∴AB→≠λAC→，
∴（﹣3，4）≠（λ（t+2），λ（t﹣5）），
解得t≠1．
∴实数t可以为﹣2，12，﹣1．
故选：ABD．
三．填空题（共14小题）
18．已知向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），且a→与2a→−b→共线，则实数x的值为 −23 ．
【分析】求出2a→−b→，利用向量共线，列出方程求解即可．
【解答】解：向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），2a→−b→=（4﹣x，8），
a→与2a→−b→共线，
可得：3（4﹣2x）＝16，解得x=−23．
故答案为：−23．
19．已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则t＝ 32 ．
【分析】由题意可得 AB→∥AC→，求得 AB→ 和 AC→ 的坐标，再根据两个向量共线的性质求得得t的值．
【解答】解：已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则有 AB→∥AC→．
再由 AB→=（﹣4，2），AC→=（1，t﹣2），可得﹣4（t﹣2）﹣2×1＝0，解得 t=32，
故答案为 32
20．已知向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），若（2a→−b→）∥c→，则实数λ＝ ﹣3 ．
【分析】推导出2a→−b→=（2，6），由（2a→−b→）∥c→，列方程能求出λ．
【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），
∴2a→−b→=（2，6），
∵（2a→−b→）∥c→，
∴2−1=6λ，
解得λ＝﹣3．
∴实数λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
21．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），若a→∥b→，则实数t的值是 ﹣4 ．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值．
【解答】解：a→=（1，2），b→=（﹣2，t），
由a→∥b→，得1×t﹣2×（﹣2）＝0，解得：t＝﹣4．
故答案为：﹣4．
22．若向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），其中m＞0，n＞0，若a→∥b→，则m2+n2的取值范围是 [15，+∞） ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2m＝1﹣n，变形可得n＝1﹣2m，进而可得m2+n2＝m2+（1﹣2m）2＝5m2﹣4m+1，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），若a→∥b→，则有2m＝1﹣n，变形可得n＝1﹣2m，
则m2+n2＝m2+（1﹣2m）2＝5m2﹣4m+1＝5（m−25）2+15≥15，当m=25时等号成立，
即m2+n2的取值范围是[15，+∞），
故答案为：[15，+∞）
23．已知向量a→=（1，k），b→=（2，2），且a→+b→与a→共线，则实数k＝ 1 ．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：a→+b→=（3，2+k），
∵a→+b→与a→共线，
∴3k﹣（2+k）＝0，解得K＝1．
故答案为：1．
24．设向量a→=（2，4）与向量b→=（x，6）共线，则实数x＝ 3 ．
【分析】由向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，得到4x＝2×6，由此能求出x的值．
【解答】解：∵由向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，
∴4x＝2×6，解得x＝3．
故答案为：3．
25．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是 8 ．
【分析】根据向量a→∥b→，得出2x+3y＝3，再根据基本不等式求出3x+2y的最小值．
【解答】解：∵向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，
∴3（y﹣1）+2x＝0，
即2x+3y＝3；
又x，y均为正数，
∴3x+2y=2x+3yx+2(2x+3y)3y=4+3yx+4x3y≥4+23yx⋅4x3y=8，
当且仅当3yx=4x3y，即2x＝3y=32时取“＝”；
∴3x+2y的最小值是8．
故答案为：8．
26．已知向量a→=（1，3），b→=（2，−12），若c→∥（a→−2b→），则单位向量c→= ±（−35，45） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，以及单位向量的定义，写出即可．
【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（2，−12），
所以a→−2b→=（﹣3，4），
又c→∥（a→−2b→），
且|a→−2b→|=(−3)2+42=5，
所以单位向量c→=±15（﹣3，4）＝±（−35，45）．
故答案为：±（−35，45）．
27．已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣1），c→=（1，﹣2），若（a→−b→）∥c→，则m＝ 3 ．
【分析】可求出a→−b→=(2−m，2)，然后根据(a→−b→)∥c→即可得出﹣2（2﹣m）﹣2＝0，从而解出m的值即可．
【解答】解：∵a→−b→=(2−m，2)，c→=(1，−2)，且(a→−b→)∥c→，
∴﹣2（2﹣m）﹣2＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
28．设m∈R，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），若a→∥b→，则m等于 23 ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣2）＝﹣2m，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），
若a→∥b→，则有1×（m﹣2）＝﹣2m，解可得：m=23，
故答案为：23．
29．设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b→，则实数k的值为 ﹣2 ．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵a→∥b→，∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
30．已知a→=（λ+1，0，2），b→=（6，2μ﹣1，2λ），若a→∥b→．且a→与b→反向，则λ+μ＝ −52 ．
【分析】根据题意可设b→=ka→，且k＜0，然后可得出k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ，根据k＜0解出λ，μ即可得出λ+μ的值．
【解答】解：∵a→∥b→，且a→与b→反向，
∴设b→=ka→，k＜0，
∴（6，2μ﹣1，2λ）＝k（λ+1，0，2），
∴k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ，∵k＜0，∴解得k=−3μ=12λ=−3，
∴λ+μ=−52．
故答案为：−52．
四．解答题（共6小题）
31．已知向量OA→=（3，﹣4），OB→=（6，﹣3），OC→=（5﹣m，﹣3﹣m）．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．
【分析】（Ⅰ）利用向量共线的充要条件，可得3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，从而可得结论；
（Ⅱ）利用向量垂直的充要条件，可得（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）＝0，即可得到结论
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得AB→=（3，1），AC→=（2﹣m，1﹣m），
若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
∴AB→∥AC→，
∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解得m=12；
（Ⅱ））∵AC→=（2﹣m，1﹣m），BC→=（﹣1﹣m，﹣m），AC→⋅BC→=0，
∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）＝0，
解得m=1±52．
32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，m→∥n→
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，求ab的值．
【分析】（1）由平面向量的共线定理和正弦定理，即可求证a，b，c成等差数列；
（2）利用余弦定理和（1）的结论，即可求得ab的值．
【解答】解：（1）证明：m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，且m→∥n→，
∴sinB（sinA+sinC）﹣（1﹣cos2B）＝0，
∴sinB（sinA+sinC）﹣2sin2B＝0，
又sinB≠0，
∴sinA+sinC＝2sinB，
由正弦定理得a+c＝2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，由余弦定理知c2＝a2+b2﹣2abcosC，
得（2b﹣a）2＝a2+b2﹣2abcosπ3，
即4b2﹣4ab+a2＝a2+b2﹣ab，
化简得ab=1．
33．（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，求EB→+FC→；
（2）已知向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），且（m→+n→）∥（xm→−n→），求实数x的值．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算的应用求出结果；
（2）利用向量共线的充要条件的应用求出结果．
【解答】解：（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
如图所示：
所以EB→+FC→=−12(BA→+BC→)−12(CB→+CA→)=AD→．
（2）向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），
所以m→+n→=(−1，1)，xm→−n→=(4x+5，−x−2)，
由于（m→+n→）∥（xm→−n→），
所以x+2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1．
34．已知向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
（1）求出向量a→+b→，3a→−2b→的坐标；
（2）求与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
【分析】（1）推导出向量a→+b→=（2，1），由此能求出3a→−2b→．
（2）求出4a→−b→，由此能求出与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
【解答】解：（1）向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
∴向量a→+b→=（2，1），
3a→−2b→=（3，0）﹣（2，2）＝（1，﹣2）．
（2）4a→−b→=（4，0）﹣（1，1）＝（3，﹣1），
∴与4a→−b→平行的单位向量的坐标为：
±(3，−1)|4a→−b→|=±(3，−1)10，
∴与4a→−b→平行的单位向量的坐标为（−31010，1010）或（31010，−1010）．
35．设向量a→=（1，﹣1），b→=（3，2），c→=（3，5）．
（1）若（a→+tb→）∥c→，求实数t的值；
（2）求c→在a→方向上的投影．
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t的值；
（2）根据平面向量投影的定义计算即可．
【解答】解：（1）由a→=(1，−1)，b→=(3，2)，
所以a→+tb→=(3t+1，2t−1)；
又(a→+tb→)∥c→，c→=(3，5)，
所以3×（2t﹣1）＝5×（3t+1），
解得t=−89；
（2）由a→⋅c→=1×3+(−1)×5=−2，
|a→|=12+(−1)2=2，
所以c→在a→方向上的投影为
a→⋅c→|a→|=−22=−2．
36．已知向量a→=（3，2），b→=（﹣1，3），c→=（5，2）．
（1）求6a→+b→−2c→；
（2）求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；
（3）若（a→+kc→）∥（2b→−a→），求实数k．
【分析】（1）进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可；
（2）根据a→=mb→+nc→即可得出（3，2）＝（5n﹣m，3m+2n），从而得出5n−m=33m+2n=2，然后解出m，n即可；
（3）可先得出a→+kc→=(3+5k，2+2k)，2b→−a→=(−5，4)，然后根据(a→+kc→)∥(2b→−a→)即可得出4（3+5k）+5（2+2k）＝0，从而解出k即可．
【解答】解：（1）6a→+b→−2c→=6(3，2)+(−1，3)−2(5，2)=（18，12）+（﹣1，3）﹣（10，4）＝（7，11）
（2）∵a→=mb→+nc→，
∴（3，2）＝m（﹣1，3）+n（5，2）＝（5n﹣m，3m+2n），
∴5n−m=33m+2n=2，解得m=417n=1117；
（3）∵a→+kc→=(3+5k，2+2k)，2b→−a→=(−5，4)，且(a→+kc→)∥(2b→−a→)，
∴4（3+5k）+5（2+2k）＝0，解得k=−1115．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示
一．选择题（共16小题）
1．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
2．已知向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，则2sinαcosα等于（ ）
A．−45 B．﹣3 C．3 D．45
3．设向量a→=（x，x﹣1），b→=（2，﹣1）．若a→+2b→与b→共线，则实数x的值为（ ）
A．23 B．−53 C．10 D．﹣11
4．已知向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)（其中m＞0，n＞0），若a→与b→共线，则4m+12n的最小值为（ ）
A．94 B．3 C．4615 D．9
5．已知点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），且AB→∥BC→，则x＝（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．已知向量a→=（2，2），b→=（x，4），若（3a→+4b→）∥（5b→−a→），则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则t＝（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣1
8．若向量a→=（1，2），b→=（0，1），ka→−b→与a→+2b→共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．−12 C．1 D．2
9．若向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，则|a→|＝（ ）
A．22 B．2 C．2 D．8
10．已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量a→=(1，2)，若AB→∥a→，则y的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．设向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，且b→∥(a→+b→)，则m＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
12．已知向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)．若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则实数λ的值为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
13．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f1→=（﹣2，﹣1），f2→=（﹣3，2），f3→=（4，﹣3），为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f4→，若f4→∥f5→，则f5→可为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）
14．已知向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），若a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．10 B．32 C．13 D．35
15．向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，则cos(2021π2+α)=（ ）
A．−1010 B．1010 C．−31010 D．31010
16．△ABC中A为其内角，设a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，则sinA+cosA＝（ ）
A．22 B．2 C．−2 D．2
二．多选题（共1小题）
17．已知向量OA→=（1，﹣3），OB→=（﹣2，1），OC→=（t+3，t﹣8），若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为（ ）
A．﹣2 B．12 C．1 D．﹣1
三．填空题（共14小题）
18．已知向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），且a→与2a→−b→共线，则实数x的值为 ．
19．已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则t＝ ．
20．已知向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），若（2a→−b→）∥c→，则实数λ＝ ．
21．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），若a→∥b→，则实数t的值是 ．
22．若向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），其中m＞0，n＞0，若a→∥b→，则m2+n2的取值范围是 ．
23．已知向量a→=（1，k），b→=（2，2），且a→+b→与a→共线，则实数k＝ ．
24．设向量a→=（2，4）与向量b→=（x，6）共线，则实数x＝ ．
25．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是 ．
26．已知向量a→=（1，3），b→=（2，−12），若c→∥（a→−2b→），则单位向量c→= ．
27．已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣1），c→=（1，﹣2），若（a→−b→）∥c→，则m＝ ．
28．设m∈R，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），若a→∥b→，则m等于 ．
29．设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b→，则实数k的值为 ．
30．已知a→=（λ+1，0，2），b→=（6，2μ﹣1，2λ），若a→∥b→．且a→与b→反向，则λ+μ＝ ．
四．解答题（共6小题）
31．已知向量OA→=（3，﹣4），OB→=（6，﹣3），OC→=（5﹣m，﹣3﹣m）．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．
32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，m→∥n→
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，求ab的值．
33．（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，求EB→+FC→；
（2）已知向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），且（m→+n→）∥（xm→−n→），求实数x的值．
34．已知向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
（1）求出向量a→+b→，3a→−2b→的坐标；
（2）求与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
35．设向量a→=（1，﹣1），b→=（3，2），c→=（3，5）．
（1）若（a→+tb→）∥c→，求实数t的值；
（2）求c→在a→方向上的投影．
36．已知向量a→=（3，2），b→=（﹣1，3），c→=（5，2）．
（1）求6a→+b→−2c→；
（2）求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；
（3）若（a→+kc→）∥（2b→−a→），求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量共线的坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），
所以13a→+b→=（6t+3，11），
a→−12b→=（4t+2，5）．
又（13a→+b→）∥（a→−12b→），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t=−12．
故选：B．
2．已知向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，则2sinαcosα等于（ ）
A．−45 B．﹣3 C．3 D．45
【分析】先根据向量的平行得到cosα＝﹣2sinα，即sinα•cosα＜0，再根据同角的三角函数的关系即可求出．
【解答】解：向量a→=（cosα，﹣2），b→=（sinα，1），且a→∥b→，
∴cosα＝﹣2sinα，
∴sinα•cosα＜0
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sin2α=15，cos2α=45，
∴4sin2αcos2α=1625，
∴2sinαcosα=−45
故选：A．
3．设向量a→=（x，x﹣1），b→=（2，﹣1）．若a→+2b→与b→共线，则实数x的值为（ ）
A．23 B．−53 C．10 D．﹣11
【分析】可求出a→+2b→=(x+4，x−3)，然后根据a→+2b→与b→共线即可得出﹣（x+4）﹣2（x﹣3）＝0，然后解出x的值即可．
【解答】解：∵a→+2b→=(x+4，x−3)，b→=(2，−1)，且a→+2b→与b→共线，
∴﹣（x+4）﹣2（x﹣3）＝0，解得x=23．
故选：A．
4．已知向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)（其中m＞0，n＞0），若a→与b→共线，则4m+12n的最小值为（ ）
A．94 B．3 C．4615 D．9
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出m+2n＝3，再利用基本不等式求出4m+12n的最小值．
【解答】解：因为向量a→=(m−3，n)，b→=(2，−1)，且a→与b→共线，
所以﹣（m﹣3）﹣2n＝0，m+2n＝3；
又因为m＞0，n＞0，
所以4m+12n=（4m+12n）•13（m+2n）=13（4+1+8nm+m2n）≥13（5+28nm⋅m2n）=13×（5+4）＝3，
当且仅当8nm=m2n，即m＝4n＝2时取等号，
所以4m+12n的最小值为3．
故选：B．
5．已知点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），且AB→∥BC→，则x＝（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】求出AB→=（x，x﹣2），BC→=（1﹣x，4﹣x），由AB→∥BC→，列方程能求出x．
【解答】解：点A（0，1），B（x，x﹣1），C（1，3），
∴AB→=（x，x﹣2），BC→=（1﹣x，4﹣x），
∵AB→∥BC→，
∴1−xx=4−xx−2，
解得x＝﹣2．
故选：C．
6．已知向量a→=（2，2），b→=（x，4），若（3a→+4b→）∥（5b→−a→），则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出x的值．
【解答】解：由向量a→=（2，2），b→=（x，4），
所以3a→+4b→=（6+4x，22），
5b→−a→=（5x﹣2，18）；
又（3a→+4b→）∥（5b→−a→），
所以18（6+4x）﹣22（5x﹣2）＝0，
解得x＝4．
故选：C．
7．已知向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则t＝（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣1
【分析】通过向量的垂直，数量积为0，求出t的值．
【解答】解：向量m→=（t+1，1），n→=（t+2，2），
∴m→+n→=（2t+3，3），m→−n→=（﹣1，﹣1），
∵(m→+n→)⊥(m→−n→)，
∴﹣（2t+3）﹣3＝0，
解得t＝﹣3．
故选：B．
8．若向量a→=（1，2），b→=（0，1），ka→−b→与a→+2b→共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．−12 C．1 D．2
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出ka→−b→=（k，2k﹣1），a→+2b→=（1，4），再由ka→−b→与a→+2b→共线，能求出实数k的值．
【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（0，1），
∴ka→−b→=（k，2k﹣1），a→+2b→=（1，4），
∵ka→−b→与a→+2b→共线，
∴k1=2k−14，解得k=−12．
∴实数k的值为−12．
故选：B．
9．若向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，则|a→|＝（ ）
A．22 B．2 C．2 D．8
【分析】利用向量平行的性质列方程组求出x，由此能求出|a→|．
【解答】解：∵向量a→=（x﹣4，2）与向量b→=（1，﹣1）平行，
∴x−41=2−1，解得x＝2，
∴a→=（﹣2，2），
∴|a→|=(−2)2+22=22．
故选：A．
10．已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量a→=(1，2)，若AB→∥a→，则y的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意，由A、B的坐标可得向量AB→的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得4×2＝y﹣1，解可得y的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（﹣1，1），B（3，y），则AB→=（4，y﹣1），
若AB→∥a→，则有4×2＝y﹣1，解可得y＝9，
故选：D．
11．设向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，且b→∥(a→+b→)，则m＝（ ）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量a→=(1，2)，b→=(m，1)，
∴a→+b→=（1+m，3），
∵b→∥(a→+b→)，
∴3m＝m+1，
解得m=12，
故选：C．
12．已知向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)．若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则实数λ的值为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【分析】根据题意，求出向量（2m→+n→）与（m→−n→）的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得λ﹣3＝2λ+3，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量m→=(2，λ)，n→=(−1，3)，
则2m→+n→=（3，2λ+3），m→−n→=（3，λ﹣3），
若(2m→+n→)∥(m→−n→)，则有λ﹣3＝2λ+3，解可得λ＝﹣6，
故选：D．
13．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f1→=（﹣2，﹣1），f2→=（﹣3，2），f3→=（4，﹣3），为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f4→，若f4→∥f5→，则f5→可为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，由此能求出f4→．再由向量平行，能求出f5→．
【解答】解：为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴f4→=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））＝（1，2）．
∵f5→∥f4→，
∴代入四个选项，只有A成立．
故选：A．
14．已知向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），若a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．10 B．32 C．13 D．35
【分析】由a→∥b→，求出λ＝﹣4，利用平面向量坐标运算法则求出a→+b→，由此能求出|a→+b→|．
【解答】解：∵向量a→=（2，﹣λ），b→=（1，2），a→∥b→，
∴12=2−λ，
解得λ＝﹣4，
∴a→+b→=（3，6），
∴|a→+b→|=32+62=35．
故选：D．
15．向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，则cos(2021π2+α)=（ ）
A．−1010 B．1010 C．−31010 D．31010
【分析】由α为第三象限角，且a→∥b→，推导出cosα=13sinα，从而cos2α+sin2α=109sin2α=1，进而sinα=−310，再由cos(2021π2+α)=cos（π2+α）＝﹣sinα，能求出结果．
【解答】解：∵向量a→=(13，1)，b→=(cosα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，
∴13cosα=1sinα，∴cosα=13sinα，
∴cos2α+sin2α=109sin2α=1，
解得sinα=−310，
∴cos(2021π2+α)=cos（π2+α）
＝﹣sinα=310=31010．
故选：D．
16．△ABC中A为其内角，设a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，则sinA+cosA＝（ ）
A．22 B．2 C．−2 D．2
【分析】由a→∥b→，得到sinAcosA=12，从而（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA＝2，再由A是三角形内角，能求出sinA+cosA．
【解答】解：∵△ABC中A为其内角，a→=(32，sinA)，b→=(cosA，13)，且a→∥b→，
∴32cosA=sinA13，
∴sinAcosA=12，
∴（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA＝1+1＝2，
∴sinA+cosA=2．
故选：B．
二．多选题（共1小题）
17．已知向量OA→=（1，﹣3），OB→=（﹣2，1），OC→=（t+3，t﹣8），若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为（ ）
A．﹣2 B．12 C．1 D．﹣1
【分析】求出AB→，AC→，由点A，B，C能构成三角形，得到AB→≠λAC→，由此能求出实数t．
【解答】解：∵向量OA→=(1，−3)，OB→=(−2，1)，OC→=(t+3，t−8)，
∴AB→=（﹣2，1）﹣（1，﹣3）＝（﹣3，4），
AC→=（t+3，t﹣8）﹣（1，﹣3）＝（t+2，t﹣5），
∵点A，B，C能构成三角形，
∴AB→≠λAC→，
∴（﹣3，4）≠（λ（t+2），λ（t﹣5）），
解得t≠1．
∴实数t可以为﹣2，12，﹣1．
故选：ABD．
三．填空题（共14小题）
18．已知向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），且a→与2a→−b→共线，则实数x的值为 −23 ．
【分析】求出2a→−b→，利用向量共线，列出方程求解即可．
【解答】解：向量a→=（2，3），向量b→=（x，﹣2），2a→−b→=（4﹣x，8），
a→与2a→−b→共线，
可得：3（4﹣2x）＝16，解得x=−23．
故答案为：−23．
19．已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则t＝ 32 ．
【分析】由题意可得 AB→∥AC→，求得 AB→ 和 AC→ 的坐标，再根据两个向量共线的性质求得得t的值．
【解答】解：已知A（1，2）、B（﹣3，4）、C（2，t），若A、B、C三点共线，则有 AB→∥AC→．
再由 AB→=（﹣4，2），AC→=（1，t﹣2），可得﹣4（t﹣2）﹣2×1＝0，解得 t=32，
故答案为 32
20．已知向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），若（2a→−b→）∥c→，则实数λ＝ ﹣3 ．
【分析】推导出2a→−b→=（2，6），由（2a→−b→）∥c→，列方程能求出λ．
【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（0，﹣2），c→=（﹣1，λ），
∴2a→−b→=（2，6），
∵（2a→−b→）∥c→，
∴2−1=6λ，
解得λ＝﹣3．
∴实数λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
21．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），若a→∥b→，则实数t的值是 ﹣4 ．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值．
【解答】解：a→=（1，2），b→=（﹣2，t），
由a→∥b→，得1×t﹣2×（﹣2）＝0，解得：t＝﹣4．
故答案为：﹣4．
22．若向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），其中m＞0，n＞0，若a→∥b→，则m2+n2的取值范围是 [15，+∞） ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2m＝1﹣n，变形可得n＝1﹣2m，进而可得m2+n2＝m2+（1﹣2m）2＝5m2﹣4m+1，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（m，1﹣n），b→=（1，2），若a→∥b→，则有2m＝1﹣n，变形可得n＝1﹣2m，
则m2+n2＝m2+（1﹣2m）2＝5m2﹣4m+1＝5（m−25）2+15≥15，当m=25时等号成立，
即m2+n2的取值范围是[15，+∞），
故答案为：[15，+∞）
23．已知向量a→=（1，k），b→=（2，2），且a→+b→与a→共线，则实数k＝ 1 ．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：a→+b→=（3，2+k），
∵a→+b→与a→共线，
∴3k﹣（2+k）＝0，解得K＝1．
故答案为：1．
24．设向量a→=（2，4）与向量b→=（x，6）共线，则实数x＝ 3 ．
【分析】由向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，得到4x＝2×6，由此能求出x的值．
【解答】解：∵由向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，
∴4x＝2×6，解得x＝3．
故答案为：3．
25．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是 8 ．
【分析】根据向量a→∥b→，得出2x+3y＝3，再根据基本不等式求出3x+2y的最小值．
【解答】解：∵向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1），且a→∥b→，
∴3（y﹣1）+2x＝0，
即2x+3y＝3；
又x，y均为正数，
∴3x+2y=2x+3yx+2(2x+3y)3y=4+3yx+4x3y≥4+23yx⋅4x3y=8，
当且仅当3yx=4x3y，即2x＝3y=32时取“＝”；
∴3x+2y的最小值是8．
故答案为：8．
26．已知向量a→=（1，3），b→=（2，−12），若c→∥（a→−2b→），则单位向量c→= ±（−35，45） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，以及单位向量的定义，写出即可．
【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（2，−12），
所以a→−2b→=（﹣3，4），
又c→∥（a→−2b→），
且|a→−2b→|=(−3)2+42=5，
所以单位向量c→=±15（﹣3，4）＝±（−35，45）．
故答案为：±（−35，45）．
27．已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣1），c→=（1，﹣2），若（a→−b→）∥c→，则m＝ 3 ．
【分析】可求出a→−b→=(2−m，2)，然后根据(a→−b→)∥c→即可得出﹣2（2﹣m）﹣2＝0，从而解出m的值即可．
【解答】解：∵a→−b→=(2−m，2)，c→=(1，−2)，且(a→−b→)∥c→，
∴﹣2（2﹣m）﹣2＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
28．设m∈R，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），若a→∥b→，则m等于 23 ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣2）＝﹣2m，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（1，﹣2），b→=（m，m﹣2），
若a→∥b→，则有1×（m﹣2）＝﹣2m，解可得：m=23，
故答案为：23．
29．设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b→，则实数k的值为 ﹣2 ．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵a→∥b→，∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
30．已知a→=（λ+1，0，2），b→=（6，2μ﹣1，2λ），若a→∥b→．且a→与b→反向，则λ+μ＝ −52 ．
【分析】根据题意可设b→=ka→，且k＜0，然后可得出k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ，根据k＜0解出λ，μ即可得出λ+μ的值．
【解答】解：∵a→∥b→，且a→与b→反向，
∴设b→=ka→，k＜0，
∴（6，2μ﹣1，2λ）＝k（λ+1，0，2），
∴k(λ+1)=62μ−1=02k=2λ，∵k＜0，∴解得k=−3μ=12λ=−3，
∴λ+μ=−52．
故答案为：−52．
四．解答题（共6小题）
31．已知向量OA→=（3，﹣4），OB→=（6，﹣3），OC→=（5﹣m，﹣3﹣m）．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．
【分析】（Ⅰ）利用向量共线的充要条件，可得3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，从而可得结论；
（Ⅱ）利用向量垂直的充要条件，可得（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）＝0，即可得到结论
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得AB→=（3，1），AC→=（2﹣m，1﹣m），
若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
∴AB→∥AC→，
∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解得m=12；
（Ⅱ））∵AC→=（2﹣m，1﹣m），BC→=（﹣1﹣m，﹣m），AC→⋅BC→=0，
∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）＝0，
解得m=1±52．
32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，m→∥n→
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，求ab的值．
【分析】（1）由平面向量的共线定理和正弦定理，即可求证a，b，c成等差数列；
（2）利用余弦定理和（1）的结论，即可求得ab的值．
【解答】解：（1）证明：m→=(sinB，1−cos2B)，n→=(1，sinA+sinC)，且m→∥n→，
∴sinB（sinA+sinC）﹣（1﹣cos2B）＝0，
∴sinB（sinA+sinC）﹣2sin2B＝0，
又sinB≠0，
∴sinA+sinC＝2sinB，
由正弦定理得a+c＝2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）若C=π3，由余弦定理知c2＝a2+b2﹣2abcosC，
得（2b﹣a）2＝a2+b2﹣2abcosπ3，
即4b2﹣4ab+a2＝a2+b2﹣ab，
化简得ab=1．
33．（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，求EB→+FC→；
（2）已知向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），且（m→+n→）∥（xm→−n→），求实数x的值．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算的应用求出结果；
（2）利用向量共线的充要条件的应用求出结果．
【解答】解：（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
如图所示：
所以EB→+FC→=−12(BA→+BC→)−12(CB→+CA→)=AD→．
（2）向量m→=（4，﹣1），n→=（﹣5，2），
所以m→+n→=(−1，1)，xm→−n→=(4x+5，−x−2)，
由于（m→+n→）∥（xm→−n→），
所以x+2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1．
34．已知向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
（1）求出向量a→+b→，3a→−2b→的坐标；
（2）求与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
【分析】（1）推导出向量a→+b→=（2，1），由此能求出3a→−2b→．
（2）求出4a→−b→，由此能求出与4a→−b→平行的单位向量的坐标．
【解答】解：（1）向量a→=（1，0），b→=（1，1）．
∴向量a→+b→=（2，1），
3a→−2b→=（3，0）﹣（2，2）＝（1，﹣2）．
（2）4a→−b→=（4，0）﹣（1，1）＝（3，﹣1），
∴与4a→−b→平行的单位向量的坐标为：
±(3，−1)|4a→−b→|=±(3，−1)10，
∴与4a→−b→平行的单位向量的坐标为（−31010，1010）或（31010，−1010）．
35．设向量a→=（1，﹣1），b→=（3，2），c→=（3，5）．
（1）若（a→+tb→）∥c→，求实数t的值；
（2）求c→在a→方向上的投影．
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t的值；
（2）根据平面向量投影的定义计算即可．
【解答】解：（1）由a→=(1，−1)，b→=(3，2)，
所以a→+tb→=(3t+1，2t−1)；
又(a→+tb→)∥c→，c→=(3，5)，
所以3×（2t﹣1）＝5×（3t+1），
解得t=−89；
（2）由a→⋅c→=1×3+(−1)×5=−2，
|a→|=12+(−1)2=2，
所以c→在a→方向上的投影为
a→⋅c→|a→|=−22=−2．
36．已知向量a→=（3，2），b→=（﹣1，3），c→=（5，2）．
（1）求6a→+b→−2c→；
（2）求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；
（3）若（a→+kc→）∥（2b→−a→），求实数k．
【分析】（1）进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可；
（2）根据a→=mb→+nc→即可得出（3，2）＝（5n﹣m，3m+2n），从而得出5n−m=33m+2n=2，然后解出m，n即可；
（3）可先得出a→+kc→=(3+5k，2+2k)，2b→−a→=(−5，4)，然后根据(a→+kc→)∥(2b→−a→)即可得出4（3+5k）+5（2+2k）＝0，从而解出k即可．
【解答】解：（1）6a→+b→−2c→=6(3，2)+(−1，3)−2(5，2)=（18，12）+（﹣1，3）﹣（10，4）＝（7，11）
（2）∵a→=mb→+nc→，
∴（3，2）＝m（﹣1，3）+n（5，2）＝（5n﹣m，3m+2n），
∴5n−m=33m+2n=2，解得m=417n=1117；
（3）∵a→+kc→=(3+5k，2+2k)，2b→−a→=(−5，4)，且(a→+kc→)∥(2b→−a→)，
∴4（3+5k）+5（2+2k）＝0，解得k=−1115．
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