还剩12页未读，
继续阅读
人教版2022届一轮复习打地基练习 用数量积判断两直线垂直
展开
这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 用数量积判断两直线垂直，共15页。试卷主要包含了已知向量m→=，已知向量a→=，设非零向量a→，b→的夹角为θ，已知a→=等内容，欢迎下载使用。
1．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），若（2m→+n→）⊥（m→−n→），则λ＝（ ）
A．﹣1B．−113C．−83D．2
3．已知向量a→=（3，4），b→=（x，﹣5），若a→⊥（2a→+b→），则x＝（ ）
A．0B．﹣2C．6D．﹣10
4．已知向量a→=（1，3），向量b→=（x，﹣1），若a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
5．已知向量a→=(1，m)，b→=(3，−1)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．−13B．13C．3D．﹣3
6．已知a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，则a→在c→方向上的投影是（ ）
A．115B．﹣11C．−115D．11
7．设非零向量a→，b→的夹角为θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，则θ等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．已知向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．5C．42D．31
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣4，m），若a→与b→垂直，则实数m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．8
10．已知a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），若（a→−c→）⊥b→，则n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知向量m→=（2a，﹣1），n→=（3，a+2），若m→⊥n→，则a＝（ ）
A．1B．35C．13D．25
12．已知平面向量a→=（1，m），b→=（0，2），若b→⊥（3a→−mb→），则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（ ）
A．5B．﹣5C．32D．−32
二．填空题（共10小题）
14．已知非零向量a→，b→，|a→|＝2，向量a→在向量b→上的投影为﹣1，a→⊥（a→+2b→），则|b→|＝ ．
15．在直角坐标系xOy中，已知OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），若△OAB是直角三角形，则实数t的值为 ．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，m→=（csC，sinC），n→=（2，−233），若m→⊥n→，则c＝ ．
17．已知向量a→=（1，3），b→=（3，4），若（a→−λb→）⊥b→，则λ＝ ．
18．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），若a→⊥（a→−b→），则m＝ ．
19．已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），则x的值是 ．
20．已知向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），且a→与a→+b→垂直，则m＝ ．
21．已知向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，且a→⊥(a→−b→)，则实数x等于 ．
22．已知|a→|=2，|b→|=2，a→与b→的夹角为45°，且λb→−a→与a→垂直，则实数λ＝ ．
23．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝4|b→|，且b→⊥（a→+2b→），则a→与b→的夹角为 ．
三．解答题（共5小题）
24．已知向量a→与b→的夹角为60°，|a→|＝2，b→=（1，0）．
（1）求|a→−2b→|；
（2）若（a→+tb→）⊥（2a→−b→），求实数t的值．
25．设e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
（1）若a→∥b→，求λ的值；
（2）若a→⊥b→，求λ的值．
26．已知a→=（1，0），b→=（2，1）．
（1）当m为何值时，a→+b→与a→+mb共线？
（2）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→垂直？
（3）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角？
27．已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
（1）若(2a→−b→)⊥b→时，求x的值；
（2）若向量a→与向量b→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
28．平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
（1）若(a→+kc→)∥(b→−a→)，求实数k；
（2）若(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 用数量积判断两直线垂直
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“|a→+2b→|＝|a→−2b→|，
则平方得|a→|2+4|b→|2+4a→•b→=|a→|2+4|b→|2﹣4a→•b→，
即4a→•b→=−4a→•b→，
得a→•b→=0，即a→⊥b→，
则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的充要条件，
故选：C．
2．已知向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），若（2m→+n→）⊥（m→−n→），则λ＝（ ）
A．﹣1B．−113C．−83D．2
【分析】利用平面向量坐标运算法则求出2m→+n→=（3λ+4，4），m→−n→=（﹣1，﹣1），再由（2m→+n→）⊥（m→−n→），能求出λ的值．
【解答】解：∵向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），
∴2m→+n→=（3λ+4，4），m→−n→=（﹣1，﹣1），
∵（2m→+n→）⊥（m→−n→），
∴（2m→+n→）•（m→−n→）＝（﹣1）×（3λ+4）+4×（﹣1）＝0，
解得λ=−83．
故选：C．
3．已知向量a→=（3，4），b→=（x，﹣5），若a→⊥（2a→+b→），则x＝（ ）
A．0B．﹣2C．6D．﹣10
【分析】由已知先求出2a→+b→，然后结合向量数量积的性质的坐标表示可求．
【解答】解：因为a→=（3，4），b→=（x，﹣5），
所以2a→+b→=（6+x，3），
若a→⊥（2a→+b→），则3（6+x）+12＝0，
故x＝﹣10．
故选：D．
4．已知向量a→=（1，3），向量b→=（x，﹣1），若a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【分析】根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【解答】解：∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=x−3=0，
∴x＝3．
故选：B．
5．已知向量a→=(1，m)，b→=(3，−1)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．−13B．13C．3D．﹣3
【分析】根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】解：∵a→⊥b→；
∴a→⋅b→=3−m=0；
∴m＝3．
故选：C．
6．已知a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，则a→在c→方向上的投影是（ ）
A．115B．﹣11C．−115D．11
【分析】由a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→列式求出a→⋅c→=−11，求出|c→|后可得|a→|cs＜a→，c→＞=a→⋅c→|c→|=−115．
【解答】解：∵a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，
∴b→⋅c→=0，
∴(a→+b→)⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→=−3−8=−11
∴a→⋅c→=−11．
又a→⋅c→=|a→||c→|cs＜a→，c→＞，|c→|=(−3)2+(−4)2=5．
∴a→在c→方向上的投影是
|a→|cs＜a→，c→＞=a→⋅c→|c→|=−115．
故选：C．
7．设非零向量a→，b→的夹角为θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，则θ等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得csθ 的值，可得θ的值．
【解答】解：∵非零向量a→，b→的夹角为θ，若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，
∴（a→+2b→）•（3a→−b→）＝3a→2+5a→⋅b→−2b→2=3a→2+5|a→|•|2a→|csθ﹣8a→2=0，
∴csθ=12，∴θ＝60°，
故选：B．
8．已知向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．5C．42D．31
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长．
【解答】解：向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），
且a→⊥b→，
∴x+2×（﹣2）＝0，
解得x＝4；
∴a→+b→=（5，0），
∴|a→+b→|＝5．
故选：A．
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣4，m），若a→与b→垂直，则实数m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．8
【分析】根据a→与b→垂直即可得出a→⋅b→=0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
【解答】解：∵a→⊥b→，∴a→⋅b→=−4+2m=0，解得m＝2．
故选：A．
10．已知a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），若（a→−c→）⊥b→，则n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先求出a→−c→=（1﹣n，4）．再由（a→−c→）⊥b→，能求出n．
【解答】解：∵a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），
∴a→−c→=（1﹣n，4）．
∵（a→−c→）⊥b→，
∴（a→−c→）⋅b→=（1﹣n）×2+4×2＝0，
解得n＝5．
故选：C．
11．已知向量m→=（2a，﹣1），n→=（3，a+2），若m→⊥n→，则a＝（ ）
A．1B．35C．13D．25
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可直接求解．
【解答】解：由题意得m→⋅n→=2a×3﹣（a+2）＝0，
解得a=25．
故选：D．
12．已知平面向量a→=（1，m），b→=（0，2），若b→⊥（3a→−mb→），则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】可求出3a→−mb→=(3，m)，然后根据b→⊥(3a→−mb→)可得出b→⋅(3a→−mb→)=0，然后进行向量坐标的数量积的运算，即可求出m的值．
【解答】解：∵3a→−mb→=(3，m)，b→=(0，2)，且b→⊥(3a→−mb→)，
∴b→⋅(3a→−mb→)=2m=0，解得m＝0．
故选：B．
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（ ）
A．5B．﹣5C．32D．−32
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．
【解答】解：△ABC中，∵∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，
∴AB→⋅AC→=2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
14．已知非零向量a→，b→，|a→|＝2，向量a→在向量b→上的投影为﹣1，a→⊥（a→+2b→），则|b→|＝ 2 ．
【分析】由于a→⊥（a→+2b→），所以a→•（a→+2b→）=a→2+2a→•b→=0，已知|a→|＝2，可求出a→•b→的值；再根据向量a→在向量b→上的投影为﹣1，代入公式a→⋅b→|b→|=−1，求出即可．
【解答】解：∵a→⊥（a→+2b→），∴a→•（a→+2b→）=a→2+2a→•b→=0，∴a→•b→=−12a→2=−12|a→|2＝﹣2，由向量a→在向量b→上的投影为﹣1，知，a→⋅b→|b→|=−1，∴|b→|=−a→•b→=2．
故答案为：2．
15．在直角坐标系xOy中，已知OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），若△OAB是直角三角形，则实数t的值为 1或5 ．
【分析】先求出AB→=（3，2﹣t），再分别考查∠AOB为直角，∠ABO为直角，∠BAO为直角的情况，分别利用向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），
∴AB→=（3，2﹣t），
当∠AOB为直角时，
∴OA→⋅OB→=−2+2t＝0．解得t＝1．
当∠ABO为直角时，
AB→⋅OB→=6+4﹣2t＝0，解得t＝5，
当∠BAO为直角时，
AB→⋅OA→=−3+t（2﹣t）＝0，无解，
综上，t的值为1或5．
故答案为：1或5．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，m→=（csC，sinC），n→=（2，−233），若m→⊥n→，则c＝ 7 ．
【分析】根据m→⊥n→即可得出m→⋅n→=0，进行数量积的坐标运算即可得出tanC=3，由0＜C＜π即可求出C=π3，又知道a＝2，b＝3，这样根据余弦定理即可求出c的值．
【解答】解：∵m→⊥n→；
∴m→⋅n→=2csC−233sinC=0；
∴tanC=3；
∵0＜C＜π；
∴C=π3；
又a＝2，b＝3；
∴由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝4+9﹣6＝7；
∴c=7．
故答案为：7．
17．已知向量a→=（1，3），b→=（3，4），若（a→−λb→）⊥b→，则λ＝ 35 ．
【分析】利用向量的坐标运算求得a→−λb→=（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（a→−λb→）⊥b→，可得（a→−λb→）•b→=0，即可求解λ的值．
【解答】解：因为向量a→=（1，3），b→=（3，4），
则a→−λb→=（1﹣3λ，3﹣4λ），
又（a→−λb→）⊥b→，
所以（a→−λb→）•b→=3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，
解得λ=35．
故答案为：35．
18．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），若a→⊥（a→−b→），则m＝ ﹣5 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．
【解答】解：向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），则a→−b→=（2，﹣m﹣2），
又a→⊥（a→−b→），所以a→•（a→−b→）＝0，
即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
19．已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），则x的值是 ﹣7或2 ．
【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，求得（a→+b→）和（2a→−b→）的坐标，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．
【解答】解：已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），
则 （a→+b→）＝（1+x，x+4），（2a→−b→）＝（2﹣x，2x﹣4），
∴（a→+b→）•（2a→−b→）＝（1+x，x+4）•（2﹣x，2x﹣4）＝（1+x）（2﹣x）+（x+4）（2x﹣4）
＝x2+5x﹣14＝0，
∴x＝﹣7，或x＝2，
故答案为：﹣7 或2．
20．已知向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），且a→与a→+b→垂直，则m＝ −113 ．
【分析】由向量的坐标运算求出a→+b→，再由两向量垂直数量积为0可得关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），
∴a→+b→=(1，3+m)，
∵a→与a→+b→垂直，∴2+3（3+m）＝0，解得m=−113．
故答案为：−113．
21．已知向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，且a→⊥(a→−b→)，则实数x等于 9 ．
【分析】利用两个向量共线，它们的坐标满足x1y2﹣x2y1＝0，解方程求得x的值．
【解答】解：∵向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，
∴a→−b→=（1﹣x，4）．
∴a→⊥(a→−b→)，
∴a→⋅(a→−b→)=（1，2）•（1﹣x，4）＝1﹣x+8＝0，
∴x＝9，
故答案为 9．
22．已知|a→|=2，|b→|=2，a→与b→的夹角为45°，且λb→−a→与a→垂直，则实数λ＝ 2 ．
【分析】根据条件即可求出a→⋅b→=22，a→2=4，而根据λb→−a→与a→垂直即可得出(λb→−a→)⋅a→=0，进行数量积的运算即可求出λ．
【解答】解：∵a→⋅b→=22，a→2=4，
又λb→−a→与a→垂直，
∴(λb→−a→)⋅a→=λa→⋅b→−a→2=22λ−4=0，
∴λ=2．
故答案为：2．
23．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝4|b→|，且b→⊥（a→+2b→），则a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】由题意求出a→•b→=−2|b→|2，计算csθ的值，从而求得a→与b→的夹角θ．
【解答】解：由|a→|＝4|b→|≠0，且b→⊥（a→+2b→），
所以b→•（a→+2b→）=a→•b→+2b→2=0，
求得a→•b→=−2|b→|2，
所以csθ=a→⋅b→|a→|×|b→|=−2|b→|24|b→|×|b→|=−12，
又θ∈[0，π]，
所以a→与b→的夹角为2π3．
故答案为：2π3．
三．解答题（共5小题）
24．已知向量a→与b→的夹角为60°，|a→|＝2，b→=（1，0）．
（1）求|a→−2b→|；
（2）若（a→+tb→）⊥（2a→−b→），求实数t的值．
【分析】（1）根据条件可求出|b→|=1，进而求出a→⋅b→=1，然后根据|a→−2b→|=(a→−2b→)2进行向量数量积的运算即可求出|a→−2b→|的值；
（2）根据(a→+tb→)⊥(2a→−b→)可得出(a→+tb→)⋅(2a→−b→)=0，然后进行数量积的运算即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵＜a→，b→＞=60°，|a→|=2，|b→|=1，
∴a→⋅b→=1，
∴|a→−2b→|=(a→−2b→)2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=4−4+4=2；
（2）∵(a→+tb→)⊥(2a→−b→)，
∴(a→+tb→)⋅(2a→−b→)=2a→2+(2t−1)a→⋅b→−tb→2=8+（2t﹣1）﹣t＝0，解得t＝﹣7．
25．设e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
（1）若a→∥b→，求λ的值；
（2）若a→⊥b→，求λ的值．
【分析】（1）由题意利用两个向量平行的性质，求得λ的值．
（2）由题意利用利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得λ．
【解答】解：（1）∵e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
若a→∥b→，则有31=λ2，∴λ＝6．
（2）若a→⊥b→，由于e1→•e2→=0，
则a→⋅b→=3e1→2+（λ﹣6）e1→•e2→+2λe2→2=3+0+2λ＝0，
∴λ=−32．
26．已知a→=（1，0），b→=（2，1）．
（1）当m为何值时，a→+b→与a→+mb共线？
（2）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→垂直？
（3）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角？
【分析】（1）分别求出a→+b→=（3，1），a→+mb→=（1+2m，m），由a→+b→与a→+mb共线，列出方程，能求出当m为1时，a→+b→与a→+mb共线．
（2）分别求出12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），由12a→+b→与a→+mb→垂直，列出方程能求出当m为−512时，12a→+b→与a→+mb→垂直．
（3）求出12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），由12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角，列出不等式能求出当m＞−512时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角．
【解答】解：（1）a→=（1，0），b→=（2，1）．
a→+b→=（3，1），a→+mb→=（1+2m，m），
∵a→+b→与a→+mb共线，
∴1+2m3=m1，
解得1+2m＝3m，解得m＝1．
∴当m为1时，a→+b→与a→+mb共线．
（2）12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），
∵12a→+b→与a→+mb→垂直，
∴（12a→+b→）•（a→+mb→）=52(1+2m)+m=0，
解得m=−512．
∴当m为−512时，12a→+b→与a→+mb→垂直．
（3）∵12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角，
∴（12a→+b→）•（a→+mb→）=52(1+2m)+m＞0，且1+2m52≠m1，
解得m＞−512，且m≠2．
∴当−512＜m＜2或m＞2时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角．
27．已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
（1）若(2a→−b→)⊥b→时，求x的值；
（2）若向量a→与向量b→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
【分析】（1）可求出2a→−b→=(2−x，4)，然后根据(2a→−b→)⊥b→可得出(2a→−b→)⋅b→=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出x的值；
（2）根据题意可知，a→⋅b→＞0且a→，b→不共线，然后可得出x+6＞03x≠2，然后解出x的范围即可．
【解答】解：（1）∵向量a→=(1，3)，b→=(x，2)，
∴2a→−b→=(2−x，4)，
∵(2a→−b→)⊥b→，∴(2a→−b→)⋅b→=0，∴x2﹣2x﹣8＝0，
解得x＝﹣2或x＝4；
（2）∵向量a→与向量b→的夹角为锐角，
∴a→⋅b→＞0，且向量a→与向量b→不共线，
∴x+6＞03x≠2，解得x＞﹣6，且x≠23，
∴x的取值范围为{x|x＞−6，且x≠23}．
28．平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
（1）若(a→+kc→)∥(b→−a→)，求实数k；
（2）若(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，求实数k．
【分析】（1）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，b→−a→，再由(a→+kc→)∥(b→−a→)，列方程能求出实数k．
（2）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，a→+2b→，再由(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，能求出实数k．
【解答】解：（1）∵向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
∴a→+kc→=（1+3k，2+3k），b→−a→=（﹣2，﹣1），
∵(a→+kc→)∥(b→−a→)，
∴−21+3k=−12+3k，
解得实数k＝﹣1．
（2）∵a→+kc→=（1+3k，2+3k），a→+2b→=（﹣1，4），
(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，
∴（a→+kc→）•（a→+2b→）＝﹣1×（1+3k）+4×（2+3k）＝0，
解得实数k=−79．
1．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），若（2m→+n→）⊥（m→−n→），则λ＝（ ）
A．﹣1B．−113C．−83D．2
3．已知向量a→=（3，4），b→=（x，﹣5），若a→⊥（2a→+b→），则x＝（ ）
A．0B．﹣2C．6D．﹣10
4．已知向量a→=（1，3），向量b→=（x，﹣1），若a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
5．已知向量a→=(1，m)，b→=(3，−1)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．−13B．13C．3D．﹣3
6．已知a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，则a→在c→方向上的投影是（ ）
A．115B．﹣11C．−115D．11
7．设非零向量a→，b→的夹角为θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，则θ等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．已知向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．5C．42D．31
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣4，m），若a→与b→垂直，则实数m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．8
10．已知a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），若（a→−c→）⊥b→，则n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知向量m→=（2a，﹣1），n→=（3，a+2），若m→⊥n→，则a＝（ ）
A．1B．35C．13D．25
12．已知平面向量a→=（1，m），b→=（0，2），若b→⊥（3a→−mb→），则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（ ）
A．5B．﹣5C．32D．−32
二．填空题（共10小题）
14．已知非零向量a→，b→，|a→|＝2，向量a→在向量b→上的投影为﹣1，a→⊥（a→+2b→），则|b→|＝ ．
15．在直角坐标系xOy中，已知OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），若△OAB是直角三角形，则实数t的值为 ．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，m→=（csC，sinC），n→=（2，−233），若m→⊥n→，则c＝ ．
17．已知向量a→=（1，3），b→=（3，4），若（a→−λb→）⊥b→，则λ＝ ．
18．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），若a→⊥（a→−b→），则m＝ ．
19．已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），则x的值是 ．
20．已知向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），且a→与a→+b→垂直，则m＝ ．
21．已知向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，且a→⊥(a→−b→)，则实数x等于 ．
22．已知|a→|=2，|b→|=2，a→与b→的夹角为45°，且λb→−a→与a→垂直，则实数λ＝ ．
23．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝4|b→|，且b→⊥（a→+2b→），则a→与b→的夹角为 ．
三．解答题（共5小题）
24．已知向量a→与b→的夹角为60°，|a→|＝2，b→=（1，0）．
（1）求|a→−2b→|；
（2）若（a→+tb→）⊥（2a→−b→），求实数t的值．
25．设e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
（1）若a→∥b→，求λ的值；
（2）若a→⊥b→，求λ的值．
26．已知a→=（1，0），b→=（2，1）．
（1）当m为何值时，a→+b→与a→+mb共线？
（2）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→垂直？
（3）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角？
27．已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
（1）若(2a→−b→)⊥b→时，求x的值；
（2）若向量a→与向量b→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
28．平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
（1）若(a→+kc→)∥(b→−a→)，求实数k；
（2）若(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 用数量积判断两直线垂直
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“|a→+2b→|＝|a→−2b→|，
则平方得|a→|2+4|b→|2+4a→•b→=|a→|2+4|b→|2﹣4a→•b→，
即4a→•b→=−4a→•b→，
得a→•b→=0，即a→⊥b→，
则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的充要条件，
故选：C．
2．已知向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），若（2m→+n→）⊥（m→−n→），则λ＝（ ）
A．﹣1B．−113C．−83D．2
【分析】利用平面向量坐标运算法则求出2m→+n→=（3λ+4，4），m→−n→=（﹣1，﹣1），再由（2m→+n→）⊥（m→−n→），能求出λ的值．
【解答】解：∵向量m→=（λ+1，1），n→=（λ+2，2），
∴2m→+n→=（3λ+4，4），m→−n→=（﹣1，﹣1），
∵（2m→+n→）⊥（m→−n→），
∴（2m→+n→）•（m→−n→）＝（﹣1）×（3λ+4）+4×（﹣1）＝0，
解得λ=−83．
故选：C．
3．已知向量a→=（3，4），b→=（x，﹣5），若a→⊥（2a→+b→），则x＝（ ）
A．0B．﹣2C．6D．﹣10
【分析】由已知先求出2a→+b→，然后结合向量数量积的性质的坐标表示可求．
【解答】解：因为a→=（3，4），b→=（x，﹣5），
所以2a→+b→=（6+x，3），
若a→⊥（2a→+b→），则3（6+x）+12＝0，
故x＝﹣10．
故选：D．
4．已知向量a→=（1，3），向量b→=（x，﹣1），若a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【分析】根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【解答】解：∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=x−3=0，
∴x＝3．
故选：B．
5．已知向量a→=(1，m)，b→=(3，−1)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．−13B．13C．3D．﹣3
【分析】根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】解：∵a→⊥b→；
∴a→⋅b→=3−m=0；
∴m＝3．
故选：C．
6．已知a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，则a→在c→方向上的投影是（ ）
A．115B．﹣11C．−115D．11
【分析】由a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→列式求出a→⋅c→=−11，求出|c→|后可得|a→|cs＜a→，c→＞=a→⋅c→|c→|=−115．
【解答】解：∵a→+b→=（1，2），c→=(−3，−4)，且b→⊥c→，
∴b→⋅c→=0，
∴(a→+b→)⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→=−3−8=−11
∴a→⋅c→=−11．
又a→⋅c→=|a→||c→|cs＜a→，c→＞，|c→|=(−3)2+(−4)2=5．
∴a→在c→方向上的投影是
|a→|cs＜a→，c→＞=a→⋅c→|c→|=−115．
故选：C．
7．设非零向量a→，b→的夹角为θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，则θ等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得csθ 的值，可得θ的值．
【解答】解：∵非零向量a→，b→的夹角为θ，若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→−b→)，
∴（a→+2b→）•（3a→−b→）＝3a→2+5a→⋅b→−2b→2=3a→2+5|a→|•|2a→|csθ﹣8a→2=0，
∴csθ=12，∴θ＝60°，
故选：B．
8．已知向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．5C．42D．31
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长．
【解答】解：向量a→=（1，2），b→=（x，﹣2），
且a→⊥b→，
∴x+2×（﹣2）＝0，
解得x＝4；
∴a→+b→=（5，0），
∴|a→+b→|＝5．
故选：A．
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣4，m），若a→与b→垂直，则实数m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．8
【分析】根据a→与b→垂直即可得出a→⋅b→=0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
【解答】解：∵a→⊥b→，∴a→⋅b→=−4+2m=0，解得m＝2．
故选：A．
10．已知a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），若（a→−c→）⊥b→，则n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先求出a→−c→=（1﹣n，4）．再由（a→−c→）⊥b→，能求出n．
【解答】解：∵a→=（1，3），b→=（2，2），c→=（n，﹣1），
∴a→−c→=（1﹣n，4）．
∵（a→−c→）⊥b→，
∴（a→−c→）⋅b→=（1﹣n）×2+4×2＝0，
解得n＝5．
故选：C．
11．已知向量m→=（2a，﹣1），n→=（3，a+2），若m→⊥n→，则a＝（ ）
A．1B．35C．13D．25
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可直接求解．
【解答】解：由题意得m→⋅n→=2a×3﹣（a+2）＝0，
解得a=25．
故选：D．
12．已知平面向量a→=（1，m），b→=（0，2），若b→⊥（3a→−mb→），则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】可求出3a→−mb→=(3，m)，然后根据b→⊥(3a→−mb→)可得出b→⋅(3a→−mb→)=0，然后进行向量坐标的数量积的运算，即可求出m的值．
【解答】解：∵3a→−mb→=(3，m)，b→=(0，2)，且b→⊥(3a→−mb→)，
∴b→⋅(3a→−mb→)=2m=0，解得m＝0．
故选：B．
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（ ）
A．5B．﹣5C．32D．−32
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．
【解答】解：△ABC中，∵∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，
∴AB→⋅AC→=2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
14．已知非零向量a→，b→，|a→|＝2，向量a→在向量b→上的投影为﹣1，a→⊥（a→+2b→），则|b→|＝ 2 ．
【分析】由于a→⊥（a→+2b→），所以a→•（a→+2b→）=a→2+2a→•b→=0，已知|a→|＝2，可求出a→•b→的值；再根据向量a→在向量b→上的投影为﹣1，代入公式a→⋅b→|b→|=−1，求出即可．
【解答】解：∵a→⊥（a→+2b→），∴a→•（a→+2b→）=a→2+2a→•b→=0，∴a→•b→=−12a→2=−12|a→|2＝﹣2，由向量a→在向量b→上的投影为﹣1，知，a→⋅b→|b→|=−1，∴|b→|=−a→•b→=2．
故答案为：2．
15．在直角坐标系xOy中，已知OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），若△OAB是直角三角形，则实数t的值为 1或5 ．
【分析】先求出AB→=（3，2﹣t），再分别考查∠AOB为直角，∠ABO为直角，∠BAO为直角的情况，分别利用向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵OA→=（﹣1，t），OB→=（2，2），
∴AB→=（3，2﹣t），
当∠AOB为直角时，
∴OA→⋅OB→=−2+2t＝0．解得t＝1．
当∠ABO为直角时，
AB→⋅OB→=6+4﹣2t＝0，解得t＝5，
当∠BAO为直角时，
AB→⋅OA→=−3+t（2﹣t）＝0，无解，
综上，t的值为1或5．
故答案为：1或5．
16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，m→=（csC，sinC），n→=（2，−233），若m→⊥n→，则c＝ 7 ．
【分析】根据m→⊥n→即可得出m→⋅n→=0，进行数量积的坐标运算即可得出tanC=3，由0＜C＜π即可求出C=π3，又知道a＝2，b＝3，这样根据余弦定理即可求出c的值．
【解答】解：∵m→⊥n→；
∴m→⋅n→=2csC−233sinC=0；
∴tanC=3；
∵0＜C＜π；
∴C=π3；
又a＝2，b＝3；
∴由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝4+9﹣6＝7；
∴c=7．
故答案为：7．
17．已知向量a→=（1，3），b→=（3，4），若（a→−λb→）⊥b→，则λ＝ 35 ．
【分析】利用向量的坐标运算求得a→−λb→=（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（a→−λb→）⊥b→，可得（a→−λb→）•b→=0，即可求解λ的值．
【解答】解：因为向量a→=（1，3），b→=（3，4），
则a→−λb→=（1﹣3λ，3﹣4λ），
又（a→−λb→）⊥b→，
所以（a→−λb→）•b→=3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，
解得λ=35．
故答案为：35．
18．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），若a→⊥（a→−b→），则m＝ ﹣5 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．
【解答】解：向量a→=（3，﹣2），b→=（1，m），则a→−b→=（2，﹣m﹣2），
又a→⊥（a→−b→），所以a→•（a→−b→）＝0，
即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
19．已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），则x的值是 ﹣7或2 ．
【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，求得（a→+b→）和（2a→−b→）的坐标，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．
【解答】解：已知a→=（1，x），b→=（x，4），若（a→+b→）⊥（2a→−b→），
则 （a→+b→）＝（1+x，x+4），（2a→−b→）＝（2﹣x，2x﹣4），
∴（a→+b→）•（2a→−b→）＝（1+x，x+4）•（2﹣x，2x﹣4）＝（1+x）（2﹣x）+（x+4）（2x﹣4）
＝x2+5x﹣14＝0，
∴x＝﹣7，或x＝2，
故答案为：﹣7 或2．
20．已知向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），且a→与a→+b→垂直，则m＝ −113 ．
【分析】由向量的坐标运算求出a→+b→，再由两向量垂直数量积为0可得关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（﹣1，m），
∴a→+b→=(1，3+m)，
∵a→与a→+b→垂直，∴2+3（3+m）＝0，解得m=−113．
故答案为：−113．
21．已知向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，且a→⊥(a→−b→)，则实数x等于 9 ．
【分析】利用两个向量共线，它们的坐标满足x1y2﹣x2y1＝0，解方程求得x的值．
【解答】解：∵向量a→=(1，2)，向量b→=(x，−2)，
∴a→−b→=（1﹣x，4）．
∴a→⊥(a→−b→)，
∴a→⋅(a→−b→)=（1，2）•（1﹣x，4）＝1﹣x+8＝0，
∴x＝9，
故答案为 9．
22．已知|a→|=2，|b→|=2，a→与b→的夹角为45°，且λb→−a→与a→垂直，则实数λ＝ 2 ．
【分析】根据条件即可求出a→⋅b→=22，a→2=4，而根据λb→−a→与a→垂直即可得出(λb→−a→)⋅a→=0，进行数量积的运算即可求出λ．
【解答】解：∵a→⋅b→=22，a→2=4，
又λb→−a→与a→垂直，
∴(λb→−a→)⋅a→=λa→⋅b→−a→2=22λ−4=0，
∴λ=2．
故答案为：2．
23．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝4|b→|，且b→⊥（a→+2b→），则a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】由题意求出a→•b→=−2|b→|2，计算csθ的值，从而求得a→与b→的夹角θ．
【解答】解：由|a→|＝4|b→|≠0，且b→⊥（a→+2b→），
所以b→•（a→+2b→）=a→•b→+2b→2=0，
求得a→•b→=−2|b→|2，
所以csθ=a→⋅b→|a→|×|b→|=−2|b→|24|b→|×|b→|=−12，
又θ∈[0，π]，
所以a→与b→的夹角为2π3．
故答案为：2π3．
三．解答题（共5小题）
24．已知向量a→与b→的夹角为60°，|a→|＝2，b→=（1，0）．
（1）求|a→−2b→|；
（2）若（a→+tb→）⊥（2a→−b→），求实数t的值．
【分析】（1）根据条件可求出|b→|=1，进而求出a→⋅b→=1，然后根据|a→−2b→|=(a→−2b→)2进行向量数量积的运算即可求出|a→−2b→|的值；
（2）根据(a→+tb→)⊥(2a→−b→)可得出(a→+tb→)⋅(2a→−b→)=0，然后进行数量积的运算即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵＜a→，b→＞=60°，|a→|=2，|b→|=1，
∴a→⋅b→=1，
∴|a→−2b→|=(a→−2b→)2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=4−4+4=2；
（2）∵(a→+tb→)⊥(2a→−b→)，
∴(a→+tb→)⋅(2a→−b→)=2a→2+(2t−1)a→⋅b→−tb→2=8+（2t﹣1）﹣t＝0，解得t＝﹣7．
25．设e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
（1）若a→∥b→，求λ的值；
（2）若a→⊥b→，求λ的值．
【分析】（1）由题意利用两个向量平行的性质，求得λ的值．
（2）由题意利用利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得λ．
【解答】解：（1）∵e1→，e2→是两个相互垂直的单位向量，且a→=e1→+2e2→，b→=3e1→+λe2→．
若a→∥b→，则有31=λ2，∴λ＝6．
（2）若a→⊥b→，由于e1→•e2→=0，
则a→⋅b→=3e1→2+（λ﹣6）e1→•e2→+2λe2→2=3+0+2λ＝0，
∴λ=−32．
26．已知a→=（1，0），b→=（2，1）．
（1）当m为何值时，a→+b→与a→+mb共线？
（2）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→垂直？
（3）当m为何值时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角？
【分析】（1）分别求出a→+b→=（3，1），a→+mb→=（1+2m，m），由a→+b→与a→+mb共线，列出方程，能求出当m为1时，a→+b→与a→+mb共线．
（2）分别求出12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），由12a→+b→与a→+mb→垂直，列出方程能求出当m为−512时，12a→+b→与a→+mb→垂直．
（3）求出12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），由12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角，列出不等式能求出当m＞−512时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角．
【解答】解：（1）a→=（1，0），b→=（2，1）．
a→+b→=（3，1），a→+mb→=（1+2m，m），
∵a→+b→与a→+mb共线，
∴1+2m3=m1，
解得1+2m＝3m，解得m＝1．
∴当m为1时，a→+b→与a→+mb共线．
（2）12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），
∵12a→+b→与a→+mb→垂直，
∴（12a→+b→）•（a→+mb→）=52(1+2m)+m=0，
解得m=−512．
∴当m为−512时，12a→+b→与a→+mb→垂直．
（3）∵12a→+b→=（52，1），a→+mb→=（1+2m，m），12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角，
∴（12a→+b→）•（a→+mb→）=52(1+2m)+m＞0，且1+2m52≠m1，
解得m＞−512，且m≠2．
∴当−512＜m＜2或m＞2时，12a→+b→与a→+mb→夹角为锐角．
27．已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
（1）若(2a→−b→)⊥b→时，求x的值；
（2）若向量a→与向量b→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
【分析】（1）可求出2a→−b→=(2−x，4)，然后根据(2a→−b→)⊥b→可得出(2a→−b→)⋅b→=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出x的值；
（2）根据题意可知，a→⋅b→＞0且a→，b→不共线，然后可得出x+6＞03x≠2，然后解出x的范围即可．
【解答】解：（1）∵向量a→=(1，3)，b→=(x，2)，
∴2a→−b→=(2−x，4)，
∵(2a→−b→)⊥b→，∴(2a→−b→)⋅b→=0，∴x2﹣2x﹣8＝0，
解得x＝﹣2或x＝4；
（2）∵向量a→与向量b→的夹角为锐角，
∴a→⋅b→＞0，且向量a→与向量b→不共线，
∴x+6＞03x≠2，解得x＞﹣6，且x≠23，
∴x的取值范围为{x|x＞−6，且x≠23}．
28．平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
（1）若(a→+kc→)∥(b→−a→)，求实数k；
（2）若(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，求实数k．
【分析】（1）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，b→−a→，再由(a→+kc→)∥(b→−a→)，列方程能求出实数k．
（2）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，a→+2b→，再由(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，能求出实数k．
【解答】解：（1）∵向量a→=(1，2)，b→=(−1，1)，c→=(3，3)．
∴a→+kc→=（1+3k，2+3k），b→−a→=（﹣2，﹣1），
∵(a→+kc→)∥(b→−a→)，
∴−21+3k=−12+3k，
解得实数k＝﹣1．
（2）∵a→+kc→=（1+3k，2+3k），a→+2b→=（﹣1，4），
(a→+kc→)⊥(a→+2b→)，
∴（a→+kc→）•（a→+2b→）＝﹣1×（1+3k）+4×（2+3k）＝0，
解得实数k=−79．
相关试卷
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角： 这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角，共18页。试卷主要包含了已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角： 这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 数量积表示两个向量的夹角，共24页。试卷主要包含了如图，圆M和圆N与直线l，已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直： 这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直，共41页。
