2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：函数与导数

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：函数与导数

1.已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间.

(2)是否存在实数，使得函数在上单调递增?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

2.函数.

(1)当时，求的图象在处的切线方程(为自然对数的底数)；

(2)当时，直线是图象的一条切线，求的值.

3.已知函数，其中.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有唯一零点，求的值.

4.已知函数.

(1)求函数的极值点；

(2)当时，函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.

5.设函数.

(1)求的单调区间；

(2)当时，不等式恒成立(其中为的导函数)，求整数的最大值.

6.已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求的值；

(2)证明函数存在唯一的极大值点，且.

7.已知函数.

(1)若，求函数的最大值；

(2)设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

8.已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

答案以及解析

1.答案：(1)当时，，

所以.

令，得或，令，得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.

(2)因为函数，

所以.

要使函数在上单调递增，

则时，，

即，即.

令，

则，

所以当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点.

又，

所以在上的最大值为.

所以的取值范围为.

2.答案：(1)当时，，

所以，且，则.

所以的图象在处的切线方程为，

即.

(2)设切点为，则，

因为，所以，

令，则或，解得或.

①若，则，解得，满足.

②若，由可得，

，

令，

则，

所以函数在上单调递增.

又，所以为方程在上的唯一解，故，解得.

综上可知，.

3.答案：(1)当时，，

.

又，

曲线在点处的切线方程为，即.

(2)原问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值.

令，则.

令，则在上单调递减.

又当时，，即在上单调递增；

当时，， 即在上单调递减.的极大值为.

当时，；当时，.

又当关于的方程有唯一的解时，，

即当函数有唯一零点时，的值为1.

4.答案：(1)因为，所以，

所以，

当时，，所以函数无极值点.

当时，令，解得.

由解得；由解得.

故函数有极大值点，无极小值点.

综上，当时，函数无极值点；

当时，函数有极大值点，无极小值点.

(2)当时，，

所以.

设，则，

①当即时，，所以在上单调递减，所以不可能有三个不同的零点.

②当即时，有两个零点，为，

所以.又的图象开口向下，所以当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增；

当时，，所以，所以在上单调递减.

因为，所以，

所以.

，

令，

则当时，.

所以在上单调递增，

所以当时，，

即.

由零点存在性定理知，在区间上有唯一的零点.

因为，所以，

所以，所以在区间上有唯一的零点.

故当时，存在三个不同的零点.

故实数的取值范围是.

5.答案：(1)函数的定义域是，

当时，；当时，.

函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

(2).

令，则，

所以.

令，

则当时，在上单调递增，且，

故在上存在唯一零点，设此零点为，则，

，即.

当时，，当时，，

于是，

，又为整数，的最大值为2.

6.答案：(1)函数的定义域为，

，

.

故曲线在点处的切线方程为，

即.

因为曲线在点处的切线方程为，

所以.

(2)解法一  由(1)知，

.

令，则，

易知在上单调递减.

由于，

则存在，使得.

当时，；当时，.

故在上单调递增，在上单调递减.

由于，

故存在，使得，

当时，，则；

当时，，则.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

故函数存在唯一的极大值点.

由于，即，所以，

则.

令，则.

故函数在上单调递增.

由于，则.

即.

解法二  由(1)知，

.

当时，.

当时，令，

则，

则在上单调递减.

又.

故存在，使得，

当时，，则；

当时，，则.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

故函数存在唯一的极大值点.

由于，即，所以，

则.

令，

则.

故函数在上单调递增.

由于，则.

即.

7.答案：(1)由题意得，

令，得.

因为，所以在上，单调递增；在上，单调递减.

所以函数有最大值，最大值为.

(2)因为，

所以，即.

由于时，函数为减函数，

所以对任意，不等式恒成立，

即，

即对任意恒成立.

解法一  令，

则.

因为，所以，且.

①当时，，所以，即时，单调递减.

所以要使，只需，解得，所以.

②当时，令，得或(舍去).

当时，，当时，单调递减；当时，单调递增.

所以当时，，

解得，所以.

当时，，所以在上，，则在上单调递增，

所以在上，.

综上，的取值范围是.

解法二  当时，显然.

当时，等价于，

令，

则

.

当时，，

所以在上单调递增，所以，所以.

综上，的取值范围是.

8.答案：(1).

令，得或.

若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；

若在单调递增；

若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.

(2)满足题设条件的存在.

当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时满足题设条件当且仅当，即.

当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时满足题设条件当且仅当，即.

当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或.

若，则，与矛盾.

若，则或或，与矛盾.

综上，当且仅当或时，在的最小值为，最大值为1.