2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：立体几何

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：立体几何

1.如图，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

2.如图，三棱柱中，.

(1)证明：；

(2)若，求三棱柱的体积.

3.如图，四棱锥中，底面为线段上一点，为的中点.

(1)证明平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

4.如图，在四棱锥中，，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

5.如图，三棱锥中，平面平面，点分别是棱的中点，点是的重心.

(1)证明：平面；

(2)若与平面所成的角为60°，求二面角的余弦值.

6.如图1，平面四边形中，为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥.

(1)证明：平面平面；

(2)已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

7.如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.

(1)证明：直线平面.

(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点所在的位置.

8.如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，且二面角为30°，求与平面所成角的正弦值.

答案以及解析

1.答案：(1)如图，设正方形的对角线与交于点，连接，由题知.

因为，

所以四边形为平行四边形，

所以.

又平面平面，

所以平面.

(2)因为平面平面，平面平面平面，

所以平面.

连接，易知四边形为边长为1的正方形，

所以平面，

所以，

所以为等腰三角形，，

.

因为，

所以.

同理，在中，.

因为，

所以平面.

2.答案：(1)如图，取的中点，连接.

因为，所以.

由于，

故为等边三角形，所以.

因为，所以平面.

又平面，故.

(2)由题设知与都是边长为2的等边三角形，

所以.

又，则，故.

因为，所以平面，

即为三棱柱的高.

又的面积，

故三棱柱的体积.

3.答案：(1)由已知得.

取的中点，连接.

由为的中点知.

又，故，四边形为平行四边形，于是.

因为平面平面，所以平面.

(2)取的中点，连接.由得，从而，且.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，

.

设为平面的法向量，则

即可取.

于是，则直线与平面所成角的正弦值为.

4.答案：(1)由已知，

得.

由于，故，

从而平面.

又平面，

所以平面平面.

(2)如图，在平面内作，垂足为.

由(1)可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由(1)及已知可得.

所以.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即

可取.

则.

所以二面角的余弦值为.

5.答案：(1)连接，连接并延长，交于点，

可知点是的中点，

分别是棱的中点，，

平面平面，

平面平面，

平面平面平面，

平面平面.

(2)连接是的中点，，

平面平面，平面平面平面，

平面，

连接并延长交于点，则为的中点，连接，则，

平面是与平面所成的角，

，

在中，设，则，

，

，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图.

则，

，

设平面的法向量，

则取，得，

平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的余弦值为.

6.答案：(1)在三棱锥中，

因为，

所以平面.

又平面，所以，

因为为的中点，

所以，又，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

(2)由(1)可知即为直线与平面所成的角，

所以，故.

如图，作交于点，由(1)知两两垂直，以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

易知平面的一个法向量，

又，设平面的法向量为，

则

令，得，

所以，

由图可知该二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

7.答案：(1)依题意知，在平面中，，

又平面平面平面.

在平面中，，

，又平面平面平面.

平面平面平面平面.

又平面直线平面.

(2)设的中点为，如图，连接，由题意可得两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.易知，，则.假设在线段上存在一点，使得二面角的余弦值是.设，则.

设为平面的法向量，

由得

可取，则.

又平面的一个法向量，

，

，又.

经验证，满足题意，

存在满足条件的点为的中点.

8.答案：(1)因为为的中点，所以，且.

连接.因为，所以为等腰直角三角形，

且.

由知.

由知平面.

(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

由已知得.取平面的一个法向量.

设，

则.

设平面的法向量为.

由得

可取，

所以.

由已知可得，

所以，解得(舍去)，，

所以.

又，所以.

所以与平面所成角的正弦值为.