初中数学2.2 30°，45°，60°角的三角比精品同步练习题

绝密★启用前

3.6弧长及扇形面积的计算同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，如果，，那么图中阴影部分的面积是 

A.
B.
C.
D.

2. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器接缝忽略不计，那么这个圆锥形容器的高为

A.
B.
C.
D.

3. 钟面上的分针的长为，从点到点分，分针在钟面上扫过的面积是

A.  B.  C.  D.

4. 用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面半径为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是的直径，是弦，点，在直径的两侧．若：：：：，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，弦，，，是上一点，弦与所夹的锐角度数是，则劣弧的长为

A.
B.
C.
D.

7. 在中，已知，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到则图中阴影部分面积为

A.  B.  C.  D.

8. 若扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 已知一个扇形的半径是，圆心角是，则这个扇形的弧长是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将边长为的正方形铁丝框面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形面积记为，则与的关系为

A.  B.  C.  D. 无法确定

11. 如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点不与点、重合，，，垂足分别为点，，在点的运动过程中，下列说法正确的是

A. 扇形的面积为
B. 弧的长为
C.
D. 线段的长是
 

12. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为______．
    
     

14. 如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为______结果保留．

15. 如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为______．
     

16. 如图，在中，，，以为直径的圆交于点，求图中阴影部分的面积为______．
    
    
     

17. 如图，等边内接于，若的半径为，则阴影部分的面积为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，三角形和四边形的边长都大于现在以它们的顶点为圆心、为半径画弧与两邻边相交，在三角形内有三段弧，在四边形内有四段弧，求每个图形中各段弧长之和．如在边形内也像上面一样做，这时边形的各段弧长之和为多少？

19. 如图，四边形是边长的正方形，分别以点，，，为圆心，为半径作弧，相互交于点，，，，求阴影部分的周长．
    
     

20. 已知：扇形的半径为，，求的长度和扇形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
    试判断与的位置关系，并说明理由；
    若，求阴影部分的面积．

22. 如图，的半径，于点，．
    求弦的长．
    求的长．

23. 已知：如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于，交的延长线于．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的长．
     

24. 如图，的半径是的直径，的半径交于点，问与的长度之间有什么关系？
    
     

25. 如图，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点．
    求证：为的切线；
    若于点，且，，求图中阴影部分的面积．
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，扇形面积的计算，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，属于中档题．
连接，，根据等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：连接，，

，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：设底面半径为，则，
解得：，
所以其高为：，
故选：．
根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从点到点分分针扫过的扇形的圆心角是，
则分针在钟面上扫过的面积是：
故选：．
从点到点分分针扫过的扇形的圆心角是，利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，
扇形面积公式：为圆锥的底面半径，为扇形半径，得
，
．
所以圆锥的底面半径为．
故选：．
根据扇形的面积公式：为圆锥的底面半径，为扇形半径即可求出圆锥的底面半径．
本题考查了圆锥的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握扇形面积公式．
 

5.【答案】
 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和弧长公式，能求出半径的长是解此题的关键．
根据平角定义和已知求出，，，求出，解直角三角形求出半径，再根据弧长公式求出即可．
【解答】
解：：：：：，
，
，，，
，
，，
，
，
的长是，
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：连接、、，
，，，
，
，
为直径，
，
弦与所夹的锐角度数是，
，
，
劣弧的长，
故选：．
连接、、，根据勾股定理求出，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，含角的直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
根据含角的直角三角形得到，利用勾股定理得到，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：，，，
，
由勾股定理得到，
将绕点按逆时针方向旋转后得到，
，
阴影部分面积
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：这个扇形的面积．
故选：．
直接利用扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据弧长的公式，
得到：
故选：．
根据弧长公式进行解答即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，，
，
．
故选：．
分别计算正方形与扇形面积，扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则．
本题考查了扇形面积，熟练运用扇形面积计算公式是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：、扇形的面积，本选项说法错误，不符合题意；
B、弧的长，
点不一定是的中点，
弧的长不一定是，本选项说法错误，不符合题意；
C、如图，连接，
，，，，
，，
，本选项说法正确，符合题意；
D、如图，连接，
在中，，
，，
，，
，本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据扇形面积公式计算，判断；根据弧长公式计算，判断；根据等腰三角形的三线合一求出，判断，根据三角形中位线定理判断．
本题考查的是扇形面积计算、弧长的计算、三角形中位线定理，掌握扇形面积公式、弧长公式是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：连接，如图．

 

四边形是菱形，，

，，

是等边三角形．

，的高为，

扇形的圆心角为 ，

，

又，，

设、相交于点，、相交于点，

在和中，

四边形的面积等于的面积，

图中阴影部分的面积是．
故选 A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
连接，根据菱形的性质得到为等边三角形，计算出的长，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】
解：连接，

四边形为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，，
，，
同理可知，为等边三角形，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，
的长，
故答案为：．
根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积．
连接、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，列式计算就可．
【解答】
解：连接、、．

和等底等高，
．
点，为半圆的三等分点，
，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积是，
，
，
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：连接，
，，
，
，
，
，
由，组成的两个弓形面积相等，
阴影部分的面积就等于的面积，
．
故答案为：．
连接，由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：等边内接于，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设三角形的三个内角分别为、、，
由三角形内角和定理可知，，
则三角形内三段弧长之和，
四边形的内角和为，
四边形内四段弧长之和，
边形的内角和为，
边形内段弧长之和．
 

【解析】根据三角形内角和定理、四边形内角和定理以及边形的内角和为、弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是多边形的内角和的计算、弧长的计算，掌握弧长公式、多边形的内角和公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，连接、，
由圆的定义，，
所以，是等边三角形，
，，
，
同理，弧的圆心角是，
弧的圆心角是，
，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的周长．
 

【解析】连接、，根据圆的定义判断出是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出，同理可得弧的圆心角是，然后求出弧的圆心角是，再根据弧长公式求出弧的长，然后根据对称性，图中阴影部分的四条弧都相等列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定，弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性．
 

20.【答案】解：扇形的半径是，，
的长为：，
扇形的面积为：
 

【解析】由扇形的半径是，，根据弧长公式与扇形面积公式的求解方法，即可求得答案．
此题考查了弧长公式与扇形面积公式的求解方法．此题比较简单，解题的关键是注意熟记弧长公式与扇形面积公式．
 

21.【答案】为的切线．
理由：连接、，如图，

为的直径，
，
又，
，
，

，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：由可知为直角三角形，且，，
，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
 

【解析】连接、，可求得，可证明为等边三角形，求得，即可证明为的切线；
结合可得到，，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．
 

22.【答案】解：的半径，于点，，
，
；
，，
，
，
的长是：．
 

【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据锐角三角函数的定义，可以求得的长，然后即可得到的长；
根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
 

23.【答案】解：直线与相切．
理由如下：连接，
，
．
是的外角平分线，
．
，
．
是的直径，
．
，
，
且点在上．
直线与相切．
，
，
，
，
，
，
，

 

【解析】连接，由，得出，根据是的外角平分线，推出，得到推出，根据是的直径，得到，根据，即可推出，从而证得直线与相切．
由，根据三角形的外角性质求出，进而求出，根据弧长公式即可求出弧的长．
本题主要考查对切线的性质，三角形的外角性质，三角形的角平分线，平行线的判定，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．
 

24.【答案】解：的长等于的长；
理由：设，的半径，则，，
的长度，
的长度，
两弧的长度相等．
即：的长等于的长．
 

【解析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论．
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，熟记弧长的公式是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，如图所示：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
即，
点在上，
为的切线；
解：，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】首先连接，由是的切线，可得，又由，，易证得，即可证得为的切线；
在中，求出，得出的度数，又由，即可求得答案．
此题考查了切线的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及扇形的面积；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．