中考数学一轮突破 基础过关 第14讲一次函数

这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第14讲一次函数，共14页。学案主要包含了正比例函数和一次函数及其性质，一次函数与二元一次方程等内容，欢迎下载使用。

第14讲　一次函数

课标要求
(1)结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式．
(2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式．
(3)能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式 y＝kx ＋ b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况．
(4)理解正比例函数．
(5)体会一次函数与二元一次方程的关系．
(6)能用一次函数解决简单实际问题.
考情分析
　　该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，分值为3～10分．主要考点为一次函数的图象、性质、应用及用待定系数法求一次函数解析式．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议加强理解图象、性质，并熟练应用.

一、正比例函数和一次函数及其性质
函数
正比例函数
一次函数
概念
一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
自变量范围
x为全体实数

图象
一条直线

必过点
(0，0)和(1，k)
(0，b)和
走向
k>0时，直线经过第一、三象限；
k<0时，直线经过第二、四象限
k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；(从左向右上升)
k<0，y随x的增大而减小(从左向右下降)

倾斜度
越大，越接近平行y轴；越小，越接近平行x轴

图象的平移
—
b>0时，将直线y＝kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y＝kx的图象向下平移个单位

二、一次函数y＝kx＋b的图象的画法
根据几何知识：两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可．一般情况下：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象选取(______，______)、(______，______)来画；一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，选取它与两坐标轴的交点：、(0，b)(即横坐标或纵坐标为0的点)来画．
三、直线y＝k1x＋b1(k1≠0)与y＝k2x＋b2(k2≠0)的位置关系
1．两直线平行⇔k1＝k2且b1≠b2.
2．两直线垂直⇔k1k2＝－1.
四、用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤
1．根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式y＝kx＋b；
2．将x，y的两对值或图象上的两个点的坐标代入上述函数关系式中得到以k，b为未知数的二元一次方程组；
3．解方程组得出未知系数k，b的值；
4．将求出的待定系数k，b的值代回所设的一次函数关系式y＝kx＋b中得出所设一次函数的解析式．
五、一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系
1．一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等或这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图象与二元一次方程组有着密切的联系．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集，就是一次函数y＝kx＋b中y>0(或y<0)时的________的取值范围．



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一次函数的图象和性质
(贺州，第9小题，3分) 已知一次函数y＝kx＋b的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是(　　)
A．k>0，b>0　 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0　 D．k<0，b<0
(玉林、防城港，第9小题，3分)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是(　　)
A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1，0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
　　　　　　　　
用待定系数法确定一次函数解析式
[崇左，第26小题(1)，3分]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A(－3，0)，B(0，－3)两点．
求一次函数y＝kx＋b的解析式．
【思路点拨】利用待定系数法求出解析式，将A(－3，0)，B(0，－3)两点的坐标分别代入y＝kx＋b，建立关于k，b的二元一次方程组求出k，b即可．




(来宾，第23小题，8分)过点(0，－2)的直线l1∶y1＝kx＋b(k≠0)与直线l2∶y2＝x＋1交于点P(2，m)．
(1)写出使得y1＜y2的x的取值范围；
(2)求点P的坐标和直线l1的解析式．

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一次函数与方程、不等式的关系
(桂林，第8小题，3分)如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　)

A．x＝2
B．x＝0
C．x＝－1
D．x＝－3
【思路点拨】求方程ax＋b＝0的解相当于求当y＝0时，自变量x的值．在图象上表现为直线y＝ax＋b与x轴的交点．
(来宾，第14小题，3分)已知直线l1：y＝－3x＋b与直线l2：y＝－kx＋1在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，那么方程组的解是(　　)
A. B.
C. D.

如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(a，2)，则关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集为________．

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一次函数的实际应用

(河池，第24小题，8分)
某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次性买6 kg以上，超过6 kg部分的价格打7折．
(1)设购买香蕉x kg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；
(2)到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．
【思路点拨】(1)甲店可根据题意直接写出函数解析式，乙店分0＜x≤6和x＞6两种情况求函数解析式．(2)分三种情况讨论：y甲＝y乙，y甲＞y乙，y甲＜y乙，列出方程和不等式求出x的范围，进而确定到哪家店购买香蕉更省钱．
(北部湾经济区)某公司在甲、乙两仓库共存放某种原料450吨．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．
(1)甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
(2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．








　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列四个点中，在正比例函数y＝－x的图象上的点是(　　)
A. B.
C. D.
2. (桂林) 直线y＝kx＋2 过点(－1，4)，则k的值是(　　)
A．－2　　 B. －1
C. 1 D. 2
3. 已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.
x
－1
0
1
y
－1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是(　　)
A．y＝x B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
4. (杭州)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过点P(1，2)，则该函数的图象可能是( A )

5. 将直线y＝2x向右平移1个单位长度后所得到图象对应的函数解析式为(　　)
A. y＝2x－1　 B．y＝2x－2　
C. y＝2x＋1　 D．y＝2x＋2
6. (上海)已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)
7. (宿迁)已知一次函数y＝2x－1的图象经过A(x1，1)，B(x2，3)两点，则x1________x2(填“＞”“＜”或“＝”)．
8. 若一次函数y＝x＋3－2m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是________．

9. 如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点A.当y<3时，x的取值范围是________．
10. 已知一次函数y＝2x－6与y＝－x＋3的图象交于点P，则点P的坐标为________．
11．如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．












12. (南通)如图，直线l1：y＝x＋3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B.
(1)求直线l2的解析式；
(2)点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
















13. 现从A，B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A市场到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B市场到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨．
(1)设从A市场运往甲地x吨蔬菜，请完成下表．

市场
运往甲地(单位：吨)
运往乙地(单位：吨)
A


B


(2)设总运费为w元，请写出w与x的函数关系式．
(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？








14. (牡丹江)在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)甲车行驶速度是________千米/时，B，C两地的路程为________千米；
(2)求乙车从B地返回C地的过程中，y(千米)与x(小时)之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围)；
(3)出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．




第14讲　一次函数
【基础梳理】
二、0　0　1　k　五、2.x
【重点突破】
[例1]D　[变式1]D
[例2]解：(1)将A(－3，0)，B(0，－3)代入y＝kx＋b得
解得
∴一次函数y＝kx＋b的解析式为y＝－x－3.
[变式2]解：(1)x＜2.
(2)把P(2，m)代入y2＝x＋1中，得m＝2＋1＝3，
∴点P的坐标为(2，3)．
把(0，－2)和P(2，3)代入y1＝kx＋b中，得
解得
∴l1的解析式为y1＝x－2.
[例3]D　[变式3]A　[变式4]x≥1
[例4]解：(1)由题意得，在甲店购买时，y1＝4x.
在乙店购买时，
①当x≤6时，y2＝5x，
②当x>6时，y2＝5×6＋5×0.7(x－6)，
即y2＝3.5x＋9，
即在乙店购买时，y2＝
(2)当购买6 kg以下时，甲店更省钱；
当购买6 kg以上时，令4x＝3.5x＋9，解得x＝18.
所以当x＝18 kg时，y甲＝y乙，
当x<18 kg时，y甲 当x>18 kg时，y甲>y乙．
答：当购买香蕉小于18 kg时，甲店更省钱；当购买香蕉多于18 kg时，乙店更省钱，当购买香蕉18 kg时，甲、乙两家店费用相同．
[变式5]解：(1)设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨．根据题意，得
解得
答：甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨．
(2)由题意得，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库运原料(300－m)吨到工厂，总运费W＝(120－a)m＋100(300－m)＝(20－a)m＋30 000.
(3)①当10≤a＜20时，20－a＞0，W随m的增大而增大；
②当a＝20时，20－a＝0，W随m的增大不变；
③当20＜a≤30时，20－a＜0，W随m的增大而减小．
【达标检测】
1．D　2.A　3.B　4.A　5.B　6.减小　7.＜　8.m＜
9．x＞2　10.(3，0)
11．解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b.
∵直线AB过点A(1，0)，B(0，－2)，
∴　解得
∴直线AB的解析式为y＝2x－2.
(2)设点C的坐标为(x，y)．
∵S△BOC＝2，∴·2·x＝2，解得x＝2.
∴y＝2×2－2＝2.∴点C的坐标是(2，2)．
12．解：(1)在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－3，
∴B(－3，0)．
把x＝1代入y＝x＋3，得y＝4.
∴C(1，4)．
设直线l2的解析式为y＝kx＋b.
∴解得
∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6.
(2)AB＝3－(－3)＝6.
设M(a，a＋3)，由MN∥y轴，得N(a，－2a＋6)，
MN＝＝AB＝6，
解得a＝3或a＝－1.
∴M(3，6)或(－1，2)．
13．解：(1)如下表：

市场
运往甲地(单位：吨)
运往乙地(单位：吨)
A
x
14－x
B
15－x
x－1
(2)由题意，得
w＝50x＋30(14－x)＋60(15－x)＋45(x－1)，
整理得，w＝5x＋1 275.
(3)∵市场A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴解不等式组，得1≤x≤14.
在w＝5x＋1 275中，w随x增大而增大，
∴当x＝1时，w有最小值1 280元．
14．(1)60　360
解：(2)∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，
∴点E(8.5，0)．
乙车的速度为360×2÷(10－0.5－1.5)＝90千米/小时．
则360÷90＝4.
∴M(4，360)，N(4.5，360)．
设NE的表达式为y＝kx＋b，将把N(4.5，360)和E(8.5，0)代入得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－90x＋765.
(3)设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米．
①在乙车到B地之前时，
600－s甲－s乙＝15，即600－60x－90x＝15，
解得x＝.
②∵(600－360)÷60＝4(小时)，
360÷90＝4(小时)，
∴甲、乙同时到达B地．
当乙在B地停留时，15÷60＋4＝(小时)．
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，
15÷(90－60)＋4.5＝5小时；
④当乙车追上甲车并超过15 km时，
(30＋15)÷(90－60)＋4.5＝6(小时)．
⑤当乙车回到C地，甲车距离C地15千米时，
(600－15)÷60＝(小时)．
综上，行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时．