专题58 巧选数学模型解排列组合问题（解析版）学案

专题58  巧选数学模型解排列组合问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．

有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

（一）处理排列组合问题的常用思路：

1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.

例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.

3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.

（二）排列组合的常见模型

1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.

2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序

注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边

   （2）要从题目中判断是否需要各自排序

3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住

4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）

5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中

6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.

7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.

【经典例题】

例1．（2020·上海市建平中学三模）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（    ）

A．144 B．72 C．54 D．36

【答案】B

【解析】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，

故有种，故选：B．

例2．（2020·湖南岳阳·高三三模）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（    ）

A．60 B．192 C．240 D．432

【答案】C

【解析】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．

故选：C．

例3．（2020·上海高三三模）书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（    ）.

A．210种 B．252种 C．504种 D．505种

【答案】C

【解析】可转换为将3本书排列到所有的9本书中的其中3个位置上.共种情况.故选：C

例4．（2020·重庆渝北·礼嘉中学三模）空间直角坐标系中的点满足，则恰有两个坐标相同的点有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【解析】根据题意，当、、中有两个相同时，

共有个；

故选：A

例5．（2020·陕西省安康中学三模）将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往、、、四家医院，每所医院至少派1名护士，则不同的派法总数有（    ）

A．480种 B．360种 C．240种 D．120种

【答案】C

【解析】首先将5名护士分成4组，共有，

再将5名护士往、、、四家医院，共有种派法.

故选：C

例6．（2020·黑龙江大庆实验中学高三三模）电梯有位乘客，在层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意所有种类数为．

故选：C．

例7．（2020·湖北宜昌·高三三模）四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为（    ）

A．96 B．72 C．108 D．144

【答案】D

【解析如图，把五块区域编号，第一步涂有4种可能，第二步涂有3种可能，第三步，又分类：按同色有种，不同色有种，

共有方法数为．

故选：D．

例8．（2020·全国三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种，

其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有，

根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率.

故选：A.

【精选精练】

1．（2020·怀仁县大地学校三模）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）

A．96 B．84 C．60 D．48

【答案】B

【解析】分三类：种两种花有种种法；

种三种花有2种种法；

种四种花有种种法．

共有2++=84．

故选B

2．（2020·西藏日喀则·高三三模）为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派人到开张镇石桥村包扶户贫困户，要求每户都有且只有人包扶，每人至少包扶户，则不同的包扶方案种数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，这人所包扶的户数分别为、、或、、，

利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为，

故选C.

3．（2020·浙江镇海中学高三三模）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（    ）

A．330种 B．345种 C．360种 D．375种

【答案】C

【解析】若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有 种方法，若这5人有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法，

综上可知，一共有种方法.

故选：C

4．（2020·浙江高三三模）将5名交警分配到三个拥挤的路口疏导交通，其中一个路口1人，另两个路口各2人的不同安排方案共有（    ）

A．180种 B．120种 C．90种 D．60种

【答案】C

【解析】由题意，将5名交警分为一组1人，一组2人，一组3人，共有种不同分法，

所以将5名交警分配到三个拥挤的路口不同安排方案共有种，

故选：C.

5．（2020·全国高三三模）把3男2女共5名新生分配给甲、乙、丙三个班，每个班分配的新生不少于1名但不多于2名，则甲班恰好被分配1名男生和1名女生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把5名新生按每个班分配的新生不少于1名但不多于2名，分配给甲、乙、丙三个班，共有种分配方案，其中甲班恰好被分配1名男生和1名女生的分配方案有种，则所求概率为．

故选：B

6．（2020·浙江温州中学高三三模）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（   ）

A．72种 B．144种 C．288种 D．360种

【答案】B

【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.

选.

7．（2020·全国三模）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，此时共有种可能；

丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，

则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法，

 此时故共有种排法.

故概率.

故选：C.

8．（2020·湖南雅礼中学高三三模）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【解析】采用捆绑法和插空法：从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生随意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种，综上所述，不同的排法共有种，

故选:D.

9．（2020·全国高三三模）为了支持山区教育，某中学安排6位教师到、、、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（    ）

A．180种 B．172种 C．168种 D．156种

【答案】D

【解析】由题可知，分三种情况讨论：

（1）甲，乙两位教师均没有去山区，共有种；

（2）甲，乙两位教师只有一人去或山区，共有种；

（3）甲，乙两位教师分别去或山区，共有种，

故共有：种安排方案．

故选：D．

10．（2020·山西实验中学高三三模）将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则首先将6人分成3组，3组的人数为或或，这样无序分组的方法有种，然后将3个小组与3个比赛对应，又有种，则共有种不同的方案，所以，故选择A，注意无序分组中均匀分组与非均匀分组的计数区别，否则会犯错.

11．（2020·广东高三三模）精准扶贫点用2400元的资金为贫困户购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买1只，则所有可能的购买方案总数为(    )

A．12 B．14 C．21 D．18

【答案】C

【解析】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，

可以看成8个无差别的小球，三种不同的羊羔可以看成三个编号1，2，3的盒子，

则问题转化为把8个无差别的小球装入3个不同的盒子中，每个盒子至少装一个小球.

用隔板法，8个小球共有7个空，插2个隔板，共有种不同的购买方案，

故选：C.

12．（2020·全国三模）某公司为了调查产品在，，三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市，每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有（    ）

A．30种 B．24种 C．18种 D．6种

【答案】A

【解析】解法一：（直接法）4人不同组合方案有：

①若甲、乙各自单独为一组，有种；

②若甲与丙、丁之一为一组，有种；

③若乙与丙、丁之一为一组，有种，

故共有30种派遣方法.

故选：A.

解法二：（间接法）4人按分成3组，每组去一个城市，有种派遣方法，

其中甲乙去同一个城市不符合要求，

即甲乙去同一个城，丙、丁各去一个城市，有种派遣方法，

故不同的派遣方法有种.

故不同的派遣方法有30种.

故选：A.