专题57 排列组合中的常见模型（解析版）学案

专题57  排列组合中的常见模型

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明排列组合中的常见模型的解法.

（一）处理排列组合问题的常用思路：

1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.

例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.

3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.

（二）排列组合的常见模型

1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.

2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序

注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边

   （2）要从题目中判断是否需要各自排序

3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住

4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）

5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中

6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.

7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.

【经典例题】

例1．【2020年高考山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有              （   ）

A．种              B．种  C．种 D．种

【答案】C

【思路导引】利用分步计算原理，结合组合数的计算，计算出不同的安排方法．

【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去并场馆，故不同的安排方法共有种，故选C．

【专家解读】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算．

例2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．         ．

【答案】

【思路导引】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案．

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为：．

【专家解读】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力．

例3．【2020年高考上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有         种安排情况．

【答案】180

【解析】按照先选再排的方法可知共有种方法．

故答案为：180

例4．（2020·重庆八中三模）A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说“你不是最差的”；对C说：“你比A，B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（    ）种不同情况.

A．720 B．240 C．180 D．128

【答案】C

【解析】C比AB成绩都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五，

当C是第四名时，B只能第五，A只能第六，共种；

当C是第三名时，共种，

当C是第二名时，共种，

当C是第一名时，共种，

综上：总共种，

故选：C.

例5．（2020·湖北荆州中学三模）年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【解析】让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻

分2步进行分析：

①领导和队长站在两端，有种情况，

②中间人分种情况讨论：

若相邻且与相邻，有种安排方法，

若相邻且不与相邻，有种安排方法，

则中间人有种安排方法，

则有种不同的安排方法；

故选：D．

例6．（2020·山东菏泽·三模）某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节､下午4节），分别安排语文数学､英语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有（    ）．

A．4800种 B．2400种 C．1200种 D．240种

【答案】B

【解析】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，

所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，

有种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，

注意数学和英语之间还有一个排列有种编排方法；

第三步：剩下的5节课安排5科课程，有种编排方法．

根据分步计数原理知共有种编排方法．

故选：B．

例7．（2020·甘肃省会宁县第二中学三模）电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（    ）

A．40 B．36 C．32 D．20

【答案】A

【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，

三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，

又甲坐在中间，所以乙、丙有种方法，

所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.

故选：A.

例8．（2020·四川成都七中高三三模）为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36

【答案】C

【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家

看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，

先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和

其余二个看成三个元素的全排列共有：种；

又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，

所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，

所以不同的分配方法种数有：

故选：C

【精选精练】

1．（2020·全国三模）从“舞蹈、相声、小品……”等5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，也不能是“相声”，则不同的演出方案种数是（    ）

A．48 B．72 C．96 D．108

【答案】B

【解析】第一步，先安排第一出场节目，第一出场节目不能是“舞蹈”也不能是“相声”则有种选法；

第二步，在剩下的4个节目中选择3个节目并编排顺序，则有种方法；

所以，共有种演出方案．

故选：B.

2．（2020·广东惠州·高三三模）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“人物”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频.一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ）种.

A．36 B．48 C．72 D．144

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

从4个视频中选2个有种方法，2篇文章全选种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列为种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列，故满足题意的学法有.

故选：C.

3．（2020·浙江高三三模）某公司计划举办一场晚会，节目有1个朗诵，1个武术表演，2个话剧表演，3个歌舞表演，要求第一个节目为歌舞表演，最后一个节目为话剧表演，且相同种类的节目不相邻，则不同的节目演出顺序的种数为（    ）

A．432 B．252 C．192 D．180

【答案】C

【解析】由题意知，从3个歌舞表演节目中任选一个作为第一个节目，不同的选择有种，从2个话剧表演节目中任选一个作为最后一个节目，不同的选择有种，若第二个节目是话剧表演，则不同的节目演出顺序有（种）；若第二个节目不是话剧表演，再考虑第三个节目是否是话剧表演，则不同的节目演出顺序有（种）.所以不同的节目演出顺序的种数为，

故选：C.

4．（2020·浙江高三三模）疫情期间，某村有3个路口，每个路口需要2个人负责检查体温.现有8名志愿者，其中4名为党员，从中抽取6人安排到这3个路口，要求每个路口至少有一名党员，则不同的安排方法有（    ）种.

A．432 B．576 C．1008 D．1440

【答案】C

【解析】因为3个路口中每个路口至少有一名党员，所以至少有三个党员，

若从中抽取6人恰有三个党员，则安排方法有种,

若从中抽取6人恰有四个党员，则安排方法有种,

因此共种

故选：C

5．（2020·吉林松原市实验高级中学三模）某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（    ）

A．150种 B．120种 C．240种 D．540种

【答案】A

【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，

当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；

当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；

所以，共有种不同的安排方案.

故选：A.

6．（2020·浙江三模）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.

进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.

由隔板法可知，不同的选购方法有种.

故选：B.

7．（2020·山东高三三模）已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（  ）

A．240种 B．360种 C．480种 D．600种

【答案】C

【解析】用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，

①当领导丙在位置1时，不同的排法有种；

②当领导丙在位置2时，不同的排法有种；

③当领导丙在位置3时，不同的排法有种；

④当领导丙在位置4时，不同的排法有种；

⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有种；

⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有种．

由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．

故选C．

8．（2020·浙江高三三模）某晚会上某歌舞节目的表演者是3个女孩和4个男孩．演出结束后，7个人合影留念（3个人站在前排，4个人站在后排），其中男孩甲、乙要求站在一起，女孩丙不能站在两边，不同站法的种数为（    ）

A．96 B．240 C．288 D．432

【答案】D

【解析】（1）男孩甲、乙站在前排，则女孩丙站在后排，前排的站法种数为，后排的站法种数为，此种情况共有种站法．

（2）男孩甲、乙站在后排，

①若女孩丙站在前排，则此时共有种站法，

②若女孩丙站在后排，则此时共有种站法．

综上，满足题意的站法共有（种）．

故选：D.

9．（2020·湖南周南中学高三三模）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有(    )

A．24种 B．48种 C．72种 D．120种

【答案】B

【解析】将五个球排成一行共有种不同的排法，

当两个红色球相邻共有种不同的排法，

当两个黄色球相邻共有种不同的排法，

当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，

则将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有种，故选：B

10．（2020·南开·天津二十五中高三三模）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

A．288种 B．264种 C．240种 D．168种

【答案】B

【解析】先分步再排列

先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：

(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；

(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：

（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：

①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；

②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．

（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：

①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；

②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．

所以不同的涂色方法有

4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．

11．（2020·天津河西·高三三模）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（    ）

A．64 B．72 C．96 D．144

【答案】C

【解析】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.

若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:

①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有种，与另两个偶数安排在三模三个位置，有种情况，

则有个符合条件的四位数;

②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将三模3个数全排列,

安排在三模三个位置,有种情况,则有个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将三模4个数全排列,有个符合条件的四位数；

则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数.

故选：C

12．（2020·山东淄博·高三三模）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，三模两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有(    )

A．18种 B．20种 C．22种 D．24种

【答案】B

【解析】根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B