教科版 (2019)必修 第一册第四章 牛顿运动定律本章综合与测试导学案

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[学习目标] 1.进一步理解牛顿第二定律的瞬时性，会分析变力作用过程中的加速度和速度.2.会分析物体受力的瞬时变化，掌握瞬时变化问题的两种模型．
一、变力作用下加速度和速度的分析
1．加速度与合力的关系
由牛顿第二定律F＝ma知，加速度a与合力F具有瞬时对应关系，合力增大，加速度增大，合力减小，加速度减小；合力方向变化，加速度方向也随之变化．
2．速度与加速度(合力)的关系
速度与加速度(合力)方向相同，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反，物体做减速运动．
在粗糙的水平面上，物体在水平推力的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经过一段时间后，将水平推力逐渐减小到零(物体不停止)，在水平推力减小到零的过程中( )
A．物体的速度逐渐减小，加速度(大小)逐渐减小
B．物体的速度逐渐增大，加速度(大小)逐渐减小
C．物体的速度先增大后减小，加速度(大小)先增大后减小
D．物体的速度先增大后减小，加速度(大小)先减小后增大
答案 D
解析 对物体受力分析如图所示，因为原来做匀加速直线运动，所以F>f，由于运动一段时间，所以物体已有一定的速度，当力F减小时包含以下三个过程：
①刚开始阶段：F>f，由牛顿第二定律得a＝eq \f(F－f,m)，F减小，a减小，但a、v同向，故v增大；
②随着F减小：F＝f时，即F合＝0，a＝0，速度达到最大；
③力F继续减小：F综上所述，a(大小)先减小后增大，v先增大后减小，选D.
(多选)(2020·南京师大附中高一期末)如图1所示，自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始，到弹簧被压缩到最短的过程中，小球的速度大小和加速度大小的变化情况是( )
图1
A．加速度先变小后变大 B．加速度一直变大
C．速度先变大后变小 D．速度一直变小
答案 AC
解析 开始阶段，弹簧的压缩量较小，因此弹簧对小球向上的弹力大小小于小球的重力大小，此时合力大小为F合＝mg－kx，方向向下，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，故合力减小，则加速度减小，由于合力与速度方向相同，小球的速度增大；当mg＝kx时，合力为零，此时速度最大；由于惯性，小球继续向下运动，此时合力大小为F合＝kx－mg，方向向上，小球减速，随着压缩量增大，小球所受合力增大，加速度增大．故整个过程中加速度大小先变小后变大，速度大小先变大后变小．
二、瞬时加速度问题
物体的加速度与合力存在瞬时对应关系，所以分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度，解决此类问题时，要注意两类模型的特点：
(1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，恢复形变几乎不需要时间，故认为弹力立即改变或消失．
(2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，当两端有物体相连时，由于惯性，恢复形变需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力往往可以看成是不变的．
如图2所示，质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态，重力加速度为g，如果将悬挂A球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是( )
图2
A．aA＝0，aB＝0
B．aA＝g，aB＝g
C．aA＝3g，aB＝g
D．aA＝3g，aB＝0
答案 D
解析 剪断细线前，分析B球受力如图甲所示，F′＝2mg
剪断细线后瞬间弹簧形变不会恢复，故B球受力不变，aB＝0.
剪断细线前，分析A球受力如图乙所示
T＝F＋mg，F′＝F，故T＝3mg.
剪断细线，T变为0，F大小不变，物体A受力如图丙所示
由牛顿第二定律得：F＋mg＝maA，解得aA＝3g.
如图3所示，质量为m的小球被水平绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现将绳AO烧断，在烧断绳AO的瞬间，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
图3
A．弹簧的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)B．弹簧的拉力F＝mgsin θ
C．小球的加速度为零D．小球的加速度a＝gsin θ
答案 A
解析 烧断绳AO之前，对小球受力分析，小球受3个力，如图所示，此时弹簧拉力F＝eq \f(mg,cs θ)，绳AO的张力T＝mgtan θ，烧断绳AO的瞬间，绳的张力消失，但由于轻弹簧形变的恢复需要时间，故烧断绳AO瞬间弹簧的拉力不变，A正确，B错误．烧断绳AO的瞬间，小球受到的合力与烧断绳AO前绳子的拉力等大反向，即F合＝mgtan θ，则小球的加速度a＝gtan θ，C、D错误．
针对训练 如图4所示，A、B两木块间连一竖直轻质弹簧，A、B的质量均为m，一起静止放在一块水平木板上．若将此木板突然抽去，在此瞬间，A、B两木块的加速度分别是( )
图4
A．aA＝0，aB＝g B．aA＝g，aB＝g
C．aA＝0，aB＝2g D．aA＝g，aB＝2g
答案 C
解析 在抽出木板的瞬间，弹簧对A木块的支持力和对B木块的压力不变．A木块受重力和支持力，mg＝F，aA＝0.B木块受重力和弹簧向下的压力，根据牛顿第二定律得aB＝eq \f(F＋mg,m)＝eq \f(mg＋mg,m)＝2g，故选C.
1．(变力过程分析)(多选)初始时静止在光滑水平面上的物体受到一个逐渐减小的方向不变的水平力的作用，则这个物体运动情况为( )
A．速度不断增大，但增大得越来越慢
B．加速度不断增大，速度不断减小
C．加速度不断减小，速度不断增大
D．加速度不变，速度先减小后增大
答案 AC
解析 水平面光滑，说明物体不受摩擦力作用，物体所受到的水平力即为其合力，水平力逐渐减小，即合力逐渐减小，由公式F＝ma可知，当F逐渐减小时，a也逐渐减小，但速度逐渐增大．
2．(变力过程分析)如图5所示，一木块在光滑水平面上受到一个水平恒力F作用而运动，前方固定一个水平轻质弹簧，当木块接触弹簧后，则( )
图5
A．木块将立即做匀减速直线运动
B．木块将继续做匀加速直线运动
C．在弹簧弹力大小等于恒力F时，木块的速度最大
D．在弹簧压缩量最大时，木块的加速度为零
答案 C
解析 从木块接触弹簧到弹簧压缩量最大过程中，弹簧弹力从零开始逐渐增大，所以木块受到的合力先向左，合力逐渐减小，根据牛顿第二定律知，木块的加速度向左，加速度逐渐减小；当木块所受的弹簧弹力和恒力F大小相等时，木块所受的合力为零，加速度减小为零，此时速度最大；此后木块继续向左运动，弹簧弹力继续增大，木块所受的合力向右，加速度方向向右，加速度逐渐增大，速度逐渐减小为零，此时弹簧压缩量最大，木块的加速度不为零，选项C正确．
3．(瞬时加速度问题)如图6所示，在光滑的水平面上，质量分别为m1和m2的木块A和B之间用水平轻弹簧相连，在拉力F作用下，以加速度a做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F，此瞬间A和B的加速度分别为a1和a2，以向右为正方向，则( )
图6
A．a1＝a2＝0
B．a1＝a，a2＝0
C．a1＝eq \f(m1,m1＋m2)a，a2＝eq \f(m2,m1＋m2)a
D．a1＝a，a2＝－eq \f(m1,m2)a
答案 D
解析 两木块在光滑的水平面上一起以加速度a向右做匀加速运动时，弹簧的弹力F弹＝m1a，在撤去拉力F的瞬间，弹簧的弹力来不及改变，大小仍为m1a，因此对A来讲，加速度此时仍为a，对B，取向右为正方向，－m1a＝m2a2，a2＝－eq \f(m1,m2)a，所以D正确．
4．(瞬时加速度问题)如图7所示，质量为m的小球用水平轻质弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．在木板AB突然撤离的瞬间，小球的加速度大小为(重力加速度为g)( )
图7
A．0 B.eq \f(2\r(3),3)g C．g D.eq \f(\r(3),3)g
答案 B
解析 未撤离木板时，小球受重力mg、弹簧的拉力T和木板的弹力N的作用处于静止状态，通过受力分析可知，木板对小球的弹力大小为eq \f(2\r(3),3)mg.在撤离木板的瞬间，弹簧的弹力T大小和方向均没有发生变化，而小球的重力是恒力，故此时小球受到重力mg、弹簧的弹力T，撤离木板瞬间，小球所受合力与撤离木板前木板对小球的弹力大小相等、方向相反，故小球的加速度大小为eq \f(2\r(3),3)g.
1.如图1所示，已知A球质量是B球质量的2倍．开始时A、B均处于静止状态，重力加速度为g，在剪断A、B之间的细绳的瞬间，A、B的加速度大小分别为( )
图1
A.eq \f(1,2)g g B.eq \f(3g,2) g
C．3g 0 D．0 g
答案 A
2.(多选)质量均为m的A、B两球之间系着一个不计质量的水平轻弹簧并放在光滑水平台面上，A球紧靠墙壁，如图2所示，今用水平力F推B球使其向左压弹簧，平衡后，突然撤去力F的瞬间( )
图2
A．A的加速度大小为eq \f(F,2m) B．A的加速度大小为零
C．B的加速度大小为eq \f(F,2m) D．B的加速度大小为eq \f(F,m)
答案 BD
解析 在撤去力F的瞬间，A球受力情况不变，仍静止，A的加速度为零，选项A错，B对；在撤去力F的瞬间，弹簧的弹力还没来得及发生变化，故B的加速度大小为eq \f(F,m)，选项C错，D对．
3.(多选)如图3所示，在光滑且固定的斜面上有一轻质弹簧，弹簧的一端固定在斜面挡板上，一物体A沿着斜面下滑，从物体A刚接触弹簧的瞬间到将弹簧压缩到最低点的过程中，下列说法正确的是( )
图3
A．物体的加速度将先增大后减小
B．物体的加速度将先减小后增大
C．物体的速度将先增大后减小
D．物体的速度将先减小后增大
答案 BC
4．(2020·吉林省实验中学高一期末)如图4所示，质量相等的三个物体A、B、C，A与天花板之间、B与C之间均用轻弹簧相连，A与B之间用细线相连，当系统静止后，突然剪断A、B间的细线，则此瞬间A、B、C的加速度分别为(取竖直向下为正方向，重力加速度为g)( )
图4
A．－g、2g、0 B．－2g、2g、0
C．－2g、2g、g D．－2g、g、g
答案 B
解析 剪断细线前，对B、C整体受力分析，整体受到的重力和细线的拉力T平衡，故T＝2mg，再对物体A受力分析，其受到重力、细线拉力和弹簧的弹力；剪断细线后，三个物体的重力和弹簧的弹力不变，细线的拉力变为零，故物体B受到的合力等于2mg，方向竖直向下，物体A受到的合力为2mg，方向竖直向上，物体C受到的力不变，合力为零，故物体B有方向竖直向下的大小为2g的加速度，物体A具有方向竖直向上的大小为2g的加速度，物体C的加速度为0，因取竖直向下为正方向，故选项B正确．
5.(2020·宝鸡市高一检测)如图5所示，一根轻弹簧竖直立在水平地面上，下端固定．一小球从高处自由下落，落到弹簧上端，将弹簧压缩至最低点．能正确反映上述过程中小球的加速度随下降位移x变化关系的图像可能是下列选项图中的( )
图5
答案 A
解析 小球刚开始下落的一段时间内做自由落体运动，加速度为g，保持不变．当小球和弹簧接触后，由牛顿第二定律可得：mg－kx＝ma，即a＝g－eq \f(k,m)·x
所以a与x是线性关系，故B、C、D错误，A正确．
6．如图6所示，A、B两球的质量相等，弹簧的质量不计，倾角为θ的固定斜面光滑．系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面，已知重力加速度为g.在细线被烧断的瞬间，下列说法正确的是( )
图6
A．两个小球的瞬时加速度均沿斜面向下，大小均为gsin θ
B．B球的受力情况未变，瞬时加速度为零
C．A球的瞬时加速度沿斜面向下，大小为gsin θ
D．弹簧有收缩趋势，B球的瞬时加速度向上，A球的瞬时加速度向下，瞬时加速度都不为零
答案 B
解析 因为细线被烧断的瞬间，弹簧的弹力不能突变，所以B的瞬时加速度为0，A的瞬时加速度为2gsin θ，所以选项B正确，A、C、D错误．
7.(2020·成都石室中学期中)如图7所示，在水平地面上，水平弹簧左端固定，右端自由伸长到O处并系住物体m，现将弹簧压缩到A处，然后释放，物体可以运动到B处，如果物体受到的摩擦力恒定，则( )
图7
A．物体从A到O先加速后减速
B．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动
C．物体运动到O处时所受合力为零
D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小
答案 A
解析 由于物体与水平地面之间存在摩擦力，所以在物体从A向O运动的过程中水平方向受到弹簧向右的弹力和水平地面对它向左的摩擦力，当二力大小相等时，物体的加速度为零，速度最大．该点一定在A、O之间，所以物体在从A向O运动的过程中加速度先减小后增大，而速度先增大后减小，故A正确，B、D错误；物体运动到O处时，虽然弹簧的弹力为零，但此时物体在向右运动，受到向左的摩擦力作用，所以物体的合力不为零，故C错误．
8．跳伞运动员在下落过程中，假定伞所受空气阻力的大小跟下落速度的平方成正比，即F＝kv2，比例系数k＝20 N·s2/m2，跳伞运动员与伞的总质量为72 kg，起跳高度足够高，则：(g取10 m/s2)
(1)跳伞运动员在空中做什么运动？收尾速度是多大？
(2)当速度达到4 m/s时，下落加速度是多大？(结果保留三位有效数字)
答案 见解析
解析 (1)运动员与伞在空中受力分析如图，由牛顿第二定律mg－kv2＝ma，可得a＝g－eq \f(k,m)v2，
随v增大，a减小，故跳伞运动员做加速度减小的加速运动．
当eq \f(k,m)v2＝g时，a＝0，跳伞运动员做匀速运动，
此时v＝eq \r(\f(mg,k))＝eq \r(\f(72×10,20)) m/s＝6 m/s.
(2)当v＝4 m/s时，
a＝g－eq \f(k,m)v2＝(10－eq \f(20,72)×42) m/s2≈5.56 m/s2.