苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理优秀精练

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3.2勾股定理的逆定理同步练习苏科版初中数学八年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各组数中，是一组勾股数的是   

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列各组数中，以、、为边长的三角形不是直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 线段、、的长度分别如下，能够以、、为边长构成直角三角形的一组是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. 下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

8. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

9. 以下四组数中，不是勾股数的是

A. ，，为正整数 B. ，，
C. ，， D. ，，

10. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为

A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
 

11. 下列各组线段、、中不能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

12. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是

A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知的三边长为，，，满足，，，则此三角形为________三角形．
14. 如图，网格中每个小方格的边长均为，则网格中的________直角三角形填“是”或“不是”．
     

15. 勾股数为一组连续自然数的是______．
16. 一组勾股数，若其中两个为，，则第三个数为______．
17. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是_______。

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，在四边形中，，，，求的度数．
    
    
     

19. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，，，，，是直角三角形吗？若是请说明理由．

20. 如图，，，，，，

求的长；
求四边形的面积。






 

21. 在中，，，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点的三个顶点都在正方形的顶点处，如图所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
    请你将的面积直接填写在横线上．______
    画，、、三边的长分别为、、，
    判断三角形的形状，说明理由．
    求这个三角形的面积．

22. 如图，在中，，若，，．
    
    求，的长．
    判断的形状并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在四边形中，，，，，．
    求的度数；
    四边形的面积．

24. 如图，在四边形中，，，，，且求证．
     

25. 如图，已知，，，，且．
    求长；
    说明：．
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，且、、都是正整数，
、、是一组勾股数．
故选：．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理逆定理的运用，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故A选项能构成直角三角形；
B、，故B选项能构成直角三角形；
C、，故C选项不能构成直角三角形；
D、，故D选项能构成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B.，三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C.，三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D.，三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、、不能构成三角形，不能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
，能构成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．
利用勾股定理逆定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；
B、，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长．
C、，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；
D、，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、，是勾股数；
B、，是勾股数；
C、，是勾股数；
D、，不是勾股数；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，并能够熟练运用．
 

10.【答案】
 

【解析】解：正方形小方格边长为，

，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

11.【答案】
 

【解析】解：、因为，所以能组成直角三角形；
B、因为，所以能组成直角三角形；
C、因为，所以不能组成直角三角形；
D、因为，所以能组成直角三角形．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，把每一项给出的三边的长来验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

12.【答案】
 

【解析】解：、由，，，可得，故为直角三角形；
B、由：：：：，可得，故为直角三角形；
C、由且，可得，故为直角三角形；
D、由：：：：，可得，故不为直角三角形；
故选：．
根据三角形内角和定理可判断，选项是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出，选项是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理的运用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

13.【答案】直角
 

【解析】

【分析】
本题主要考查勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解答】
解：，，，


，
，
，
此三角形是直角三角形．
故答案为直角．  

14.【答案】不是
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理求出每边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】
解：由勾股定理得：，，，
，
不是直角三角形．
故答案为不是．  

15.【答案】，，
 

【解析】解：设中间的数是，那么前面的一个就，后面的一个就是，根据题意
，
解得：舍去或；
，；
故答案为：、、．
根据连续自然数的特点，如果设中间的数是，那么前面的一个就，后面的一个就是，根据题意列出方程解答即可．
本题主要是考查奇数、偶数的意义及特点，根据连续两个奇数或偶数都相差进而得出是解题关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设第三个数为，
是一组勾股数，
，
解得：不合题意，舍去，
，
解得：，
故答案为．
设第三个数为，根据勾股定理的逆定理得出，，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．
本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
 

17.【答案】直角三角形
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．设直角三角形直角边为、，斜边为，根据勾股定理，则，若三角形三边都扩大倍，则有，若三角形三边都缩小倍，则有，根据勾股定理的逆定理即可判定三角形的形状．
【解答】
解：设直角三角形直角边为、，斜边为，
，
若三角形三边都扩大倍，则
，
三角形是直角三角形．
若三角形三边都缩小倍，则
，
三角形是直角三角形．
故答案为直角三角形．  

18.【答案】解：连接，

，，
，，
在中，，，
，
，
．
 

【解析】根据勾股定理得的平方的值，确定等腰直角三角形，可得的度数，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，问题即可解决．
本题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
 

19.【答案】解：是直角三角形．理由如下：
在中，，点是对角线的中点，，
，
又，，
，
是直角三角形．
 

【解析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了直角三角形的性质．
 

20.【答案】解：在直角中，，，由勾股定理，得 ；
，，
，
是直角三角形，
 四边形的面积 
 

【解析】本题考查勾股定理与其逆定理的应用，三角形的面积，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
先在中，根据勾股定理求出的值即可；
在中根据勾股定理的逆定理，判断出，再根据三角形的面积公式计算四边形的面积即可．
 

21.【答案】；
如图所示：即为所求；
，
是直角三角形；
．

 

【解析】

【分析】
此题主要考查了格点作图以及勾股定理、勾股定理逆定理等知识，正确求出三角形面积是解题关键．
直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
利用勾股定理以及结合勾股定理的逆定理得出答案；
直接利用直角三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：；
 故答案为；
见答案．  

22.【答案】解：在中，，，，
，
．
在中，，，，
，
；
是直角三角形．
理由：，，
，
，，
，
，
所以是直角三角形．
 

【解析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键．
在直角中利用勾股定理即可求出，直角中利用勾股定理即可求出；
利用勾股定理的逆定理即可判断．
 

23.【答案】证明：，，，
，
又，，
，，
，
是直角三角形．
；

解：，，
，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积．
 

【解析】利用含角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可；
计算出和的面积，再求和即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，含角的直角三角形的性质，正确得出的长是解题关键．
 

24.【答案】证明：在中，根据勾股定理：，
在中，，，
，
根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，
．
 

【解析】在中，根据勾股定理求出的值，再在中根据勾股定理的逆定理，判断出．
本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

25.【答案】解：，，，
在中，根据勾股定理得：
；
，，，
，又，
，
，
．
 

【解析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；
根据勾股定理的逆定理得到为直角，根据垂直的定义可得．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．