数学九年级下册3. 求二次函数的表达式精品课时训练

26.2.3求二次函数的表达式同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，，是抛物线上的点，则

A.  B.  C.  D.

2. 二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：；；；其中正确的有个．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

4. 在平面直角坐标系，某二次函数图象的顶点为，此函数图象与x轴交于P、Q两点，且若此函致图象经过，，，四点，则实数a，b，c，d中为负数的是

A. a B. b C. c D. d

5. 抛物线的对称轴是直线抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有
   ；；关于x的方程有两个不相等实数根；．

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

6. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：
   二次函数的最小值为；
   若，则；
   若，则；
   一元二次方程的两个根为和
   其中正确结论的个数是

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

8. 已知二次函数是常数，且的图象过点，，若MN的长不小于2，则a的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
   ，
   ，
   ，
   ，，
   ．
   正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，两点，则d的值可能是

A. 0 B.  C.  D.

11. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为   

A.  B.
C.  D.

12. 下表是二次函数c均为整数的自变量x与因变量y的部分对应值．

给出下列判断，其中错误的是   

A. 该拋物线的对称轴是直线
B. 该二次函数的最小值为
C. 当、时，
D. 当时，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 抛物线过点和点，且顶点在第四象限，则a的取值范围是______．
14. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是______．
15. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是          ．
16. 将抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，此时抛物线与y轴交点坐标是______ ．
17. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
    关于x的一元二次方程有一个根为其中正确结论的序号是          ．
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 已知抛物线经过点，．
    求a，b的值；
    若，是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的值如下表：

求这个二次函数的解析式；
在图中画出这个二次函数的图象；
利用图象，请直接写出当函数值小于0时，自变量x的取值范围．

20. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．
    

求此抛物线的解析式；

当的值最小时，求点P的坐标；






 

21. 如图，已知的周长是8，，若边长．
     

求出的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围

当x取什么值时，y的值最大并求最大值．






 

22. 已知二次函数．
    若此函数图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式．
    若，点，，是该函数图象上的3个点，试比较，，的大小．
    若，当时，函数y随x的增大而增大，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，，且，线段BC上有一点E，的面积为，的面积为，，点D为抛物线的顶点．
    用含a的式子表示b；
    求点E的坐标；
    若直线DE与抛物线的另一个交点F的横坐标为，证明直线AF必过定点．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，函数值最大，
又到的距离比1到的距离小，
．
故选：B．
求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
依照题意画出二次函数及的图象，观察图象即可得出结论．
【解答】
解：二次函数与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．



观察图象，可知：．
故选C．  

3.【答案】C
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
，
，正确；
，
，正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，正确；
抛物线的对称轴为，
与时y值相等，
当时，，
当时，，错误．
综上所述：正确的结论为．
故选C．
根据抛物线开口向下可得出，由抛物线对称轴为可得出，结合抛物线图象可知，进而可得出，正确；由可得出，正确；根据抛物线顶点坐标为，由此可得出，去分母后即可得出，正确；根据抛物线的对称性可得出与时y值相等，由此可得出，错误．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：抛物线的表达式为：，
图象与x轴交于P、Q两点，且，
则点P、Q的坐标分别为：、，
将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：，
抛物线的表达式为：，
将，，1，3代入上式逐次验证，
当时，，即，
故选：C．
图象与x轴交于P、Q两点，且，则点P、Q的坐标分别为：、，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
与x轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
时，且，
即，
，所以错误；
抛物线与x轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于x的方程有两个不相等实数根，所以正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，所以正确；
故选：C．
根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由时可判断，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于：抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：当抛物线经过时，，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故选：A．
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：抛物线解析式为，
即，
，
当时，二次函数有最小值，所以正确；
当时，，
当，则，所以错误；
点关于直线的对称点为，
当，则或，所以错误；
，，
方程化为，
整理得，解得，，所以正确．
故选：B．
利用交点式写出抛物线解析式为，配成顶点式得，则可对进行判断；计算时，，则根据二次函数的性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，首先由点，，根据二次函数的性质可知M、N两点为对称点，将代入函数的解析式中得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程的关于系数的关系建立关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】
解：二次函数是常数，且的图象过点，，
，
则，
设该方程的根为、，
的长不小于2，
，
，，
，
当时，无解，
当时，，
故选B．  

9.【答案】D
 

【解析】解：由图象可知：，，，，故结论错误；
由于，所以．
又，
所以，
故结论错误；
当时，，故结论错误；
当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故结论正确；
当时函数值小于0，，且该抛物线对称轴是直线，即，代入得，得，故结论正确；
故正确．
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：如图，根据题意可得抛物线开口向下，

抛物线对称轴为直线，
，
，
，
即或，
解得或．
故选：D．
根据时，x的取值范围是可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再由得点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解．
 

11.【答案】B
 

【解析】略
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据求出二次函数解析式，根据二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：把时，，时，，分别代入，
得．
解得，
，
该抛物线的对称轴是直线，
故A正确；
该二次函数的最小值，
故B正确，
关于对称为关于对称轴对称，
，
在时，y随x的增大而增大，
，
，故C正确，
时，y随x的增大而增大，
当时，，
又当时，，
，
，
故D错误，
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】解：将点和点代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
函数的顶点坐标为，
抛物线顶点在第四象限，
且，
解得：，
故答案为：．
将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，得到用a表示b的式子并列出关于a的不等式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
经过点，代入得：，
则，
故答案为：．
根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可．
本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】
解：抛物线向下平移2个单位，得：；
再向右平移1个单位，得：即：．
故答案是：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法．先求出抛物线的顶点坐标，然后根据翻折和平移的性质求出新抛物线的顶点坐标，从而求出新抛物线的解析式，结合抛物线解析式求得抛物线与y轴交点坐标即可．
【解答】解：由得到：抛物线顶点坐标是，抛物线沿x轴翻折后抛物线顶点坐标是，再向右平移2个单位长度后顶点坐标是，
所以此时抛物线解析式为：．
令，则．
所以此时抛物线与y轴交点坐标是．
故答案是：．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键根据二次函数的性质逐项分析解答即可．
【解答】
解：由二次函数的图象开口向上可得，对称轴在y轴的右侧得，

所以，故错误

由图象可知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，

所以，

所以，故错误

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，故正确

因为抛物线与y轴的一个交点为，

所以抛物线为，

因为抛物线与x轴的交点为，

所以的一个根为1，根据根与系数的关系，得

其另一个根为，故正确．
故答案为．

18.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，对称轴为，
，
．
 

【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，再根据对称轴，即可得到结论．
 

19.【答案】解：二次函数图象过点，，
，
得，
即这个二次函数的解析式是；
如右图所示；
由图象可得，
当函数值小于0时，自变量x的取值范围是．
 

【解析】根据表格中的数据可以求得这个二次函数的解析式；
根据表格中的数据可以画出该函数的图象；
根据中的函数图象，可以写出当函数值小于0时，自变量x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

20.【答案】 解：抛物线的顶点为，

设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
点B关于x轴的对称点的坐标为，
由轴对称确定最短路线问题，连接与x轴的交点即为点P，
设直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为，
令，则，
解得，
所以，当的值最小时的点P的坐标为．

【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用顶点式解析式求解更简便，熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．
设抛物线顶点式解析式，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
先求出点B关于x轴的对称点的坐标，连接与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出与x轴的交点即可．
 

21.【答案】解：过A作于E，如图，
，，
，
又平行四边形ABCD的周长为8，
，
；

，
，
当时，y有最大值，其最大值为2．
 

【解析】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：，当时，，y有最大值k；当，，y有最小值也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
过A作于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，利用平行四边的周长可表示出，则；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y与x的函数关系式；
把中的关系式配成顶点式得到，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．
 

22.【答案】解：由条件得，，即；

当时，二次函数图象的对称轴为，即为顶点
当时，图象开口向上，为最小值



当时，图象开口向下，为最大值
，

当时，即函数表达式为
函数图象经过定点，
要当时，函数y随x的增大而增大
必须满足：图象开口向上，对称轴在直线的左侧
即，
的取值范围是．
 

【解析】根据函数图象与x轴只有一个交点得出，再求出即可；
先求出二次函数的对称轴，分为两种情况：当时，图象开口向上，为最小值，当时，图象开口向下，为最大值，再比较即可；
根据得出函数表达式为，求出函数图象经过定点，，再分析求解即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线过点，
，
；
，
该二次函数对称轴为直线，
设BC与y轴交于点G，与对称轴交于点H，则，
，，，

，，
对称轴为直线，，
，，
，
由对称性知，
，，
点的坐标为；
由得二次函数解析式为，
当时，，
当时，，
，
求得DF的解析式为：，
在DF上，
把，代入得，
求得直线AF解析式为：  ，
当时，，
所以直线AF必过定点，
方法二设二次函数解析式为，
，，，
求得直线DE解析式为：，
，E，F三点共线，
，
解得，
二次函数解析式为  ，
这时，，
求得直线AF解析式为：，
即 ，
当时，，
直线AF经过定点．
 

【解析】将点A坐标代入解析式可求解；
分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得，由对称轴为，可求BC中点M的坐标，由线段的数量关系，可求，可求解；
先求出点F坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得，由二次函数的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式，一次函数图象的性质，求出是本题的关键．