2021学年12.4椭圆的性质教学设计及反思

这是一份2021学年12.4椭圆的性质教学设计及反思，共15页。


课 题椭圆内接三角形面积的最大值
执 教年 级高二
教学内容分析
《上海市中小学数学课程标准》将高中数学内容分为基础型课程、拓展型课程和研究（探究）型课程。基础型课程是所有学生必备的、共同的数学基础；“拓展内容”具有可选择性，有利于学生充实与其个性发展相适应的数学基础；“专题研究与实践”是研究（探究）性学习的题材，注重于学生的过程经历和体验。
平面解析几何的基本思想就是用代数的方法研究几何问题，它将代数和几何有机地结合起来了；解析几何的创立将变量引入数学，极大地推动了数学的发展——“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；……”（恩格斯语）。解析几何中的最值是中学数学比较常见的问题，这类问题往往是以直线与圆锥曲线为背景，以函数思想和数形结合思想为解决策略，综合性比较强。同时，这类问题没有固定的解题模式，解法灵活，对数学能力要求较高。因此，解析几何中的最值问题是中学数学教学中的教学重点，也是教学难点。
椭圆相关知识是学生在学习了坐标平面上的直线、圆的方程等知识后的学习内容，对后继的双曲线、抛物线等知识的学习有着重要作用。尤其是在解析几何最值问题中，有关椭圆的最值问题有着摹本的作用。把椭圆内接三角形的面积最大值问题作为探究性、研究性课题进行专题教学，可以一定程度上培养学生的数学学习能力。
学情分析
学生已经在高中数学教材（高二上）中学习了直线和圆锥曲线的相关知识，同时学生对圆的知识比较熟悉，具备了应用函数思想和数形结合思想解决问题的能力。同时，由于椭圆的特殊性，圆的一些结论可以类比到椭圆问题中，所以学生对椭圆中的最值问题会更熟悉一些。当然，本课题的研究难度比较大，对数学能力的要求比较高。考虑到学习者是高中生，数学研究能力不高，所以在本课题中鼓励学生利用TI图形计算器进行数学实验的方法进行课题研究。
设计思路
数学教学的主旋律永远应该是注重数学理解，数学解题教学更是要理解教材、理解数学、理解学生，在数学问题解决过程中实现数学知识的内化。为了促进学生的主动学习，更好地调动学生的学习积极性，我们通过借助TI图形计算器进行数学实验的方式展开教学，让学生在试验中研究数学，在试验中寻找解决问题的策略。
教学目标
1．通过学习圆内接三角形面积的最大值，类比研究椭圆的内接三角形面积的最大值；
2．通过研究椭圆内接三角形面积的最大值，体会解析几何、平面几何、三角函数、平面向量和函数等知识的内在联系，以及假静驭动的几何精髓；
经历探究椭圆内接三角形面积最大值的过程，体验数字思考方式在数学问题解决中的应用，培养实事求是的科学素养。
教学重点与难点
1．椭圆内接三角形面积最大值；
2．椭圆内接三角形面积最大值的求解策略的探求。
TI创新数学实验
实验过程：
附：教学祥案
任务1 探究圆内接三角形面积最大值
内容1 圆内接三角形面积最大值测定
在TI-Nspire图形计算器“图形”以为例，固定点和点，移动点，测量圆内接的面积，观察的面积的变化。
结论1 如图1，作出圆及其内接三角形，移动点，可以得到的面积的最大值为。
内容2 圆内接三角形面积最大值条件探究
如图2-1，继续以为例，移动点和点并固定，移动点，测量圆内接的面积，观察的面积的变化；固定点，移动点和点，观察的面积的变化，判断的面积取得最大值时，点应该满足的条件。
结论2 如图2-1，作出圆及其内接三角形，固定点和点移动点、固定点移动点和点，容易发现，当边上的高最大、边平行于点切线时，的面积最大，此时。

如图2-2，过点分别作圆的切线与边平行线(红色线)，若直线与圆相交，则取直线的外侧圆弧上的点，则的面积更大，所以只有当切线与直线重合时，的面积最大，此时。
由上述研究可以得到，圆内接的面积最大时，必须是等腰三角形。那么三角形是否是钝角等腰三角形呢？即圆心是否会在外部？
如图2-4，若是钝角三角形，则分别作点和点关于圆心对称点和点，此时的面积更大，此时圆心在内部，即为锐角三角形。
结论3 如图2-4，当内接的面积最大时，圆心必在内部，即为锐角三角形。
内容3 圆内接三角形面积最大值
从上述研究可知，当内接的面积最大时，必须是包含圆心的锐角三角形。不妨设圆的半径为，为了求出的面积最大值，再设，则边上的高为，于是的面积。如图3，可以求得当时，，此时为等边三角形。
结论4 如图3，若圆的半径为，当圆内接为等边三角形时，其面积最大，最大为。
任务2 探究椭圆内接三角形面积最大值
内容4 椭圆内接三角形面积最大值测定
在TI-Nspire图形计算器“图形”窗口，以为例，固定点，移动点和点，测量圆内接的面积，观察的面积的变化。
结论5 如图4-1，作出椭圆及其内接三角形，移动点和点，可以得到的面积的最大值为。
内容5 椭圆内接三角形面积最大值条件探究
如图5-1，仍然以椭圆为例，移动点和点并固定，移动点，测量椭圆内接的面积，观察的面积的变化；固定点，移动点和点，观察的面积的变化，判断的面积取得最大值时，点应该满足的条件。
结论6 如图5-1，作出椭圆及其内接三角形，固定点和点移动点、固定点移动点和点，容易发现，当边上的高最大、边平行于点切线时，的面积最大。

事实上，如图5-2，过点分别作椭圆的切线与边平行线(红色线)，若直线与椭圆相交，则取直线的外侧圆弧上的点，则的面积更大，所以只有当切线与直线重合时，的面积最大。
继续以椭圆为例，探究椭圆内接三角形面积取得最大值时所满足的条件。根据结论6，很容易得到这样一个结论：当椭圆在点、点、点的切线分别与对边平行时，椭圆内接三角形面积取得最大值。如图5-3，分别作出椭圆在点、点、点的切线，同时过这三点作对边的平行线，如图5-4，调节点、点、点位置，只有当椭圆在点、点、点的切线分别与对边平行时，椭圆内接三角形面积取得最大值。猜想得到验证。
结论7 如图5-4，当椭圆在点、点、点的切线分别与对边平行时，椭圆内接三角形面积取得最大值。
从上述的探究，我们还发现一个“事实”：当椭圆的内接面积取得最大值时，必然包含椭圆的中心。这难道是巧合吗？为了证实我们的发现这个“事实”，我们做这样的研究：如图5-5，若不包含椭圆中心，则分别作点和点关于椭圆中心对称点和点，此时的面积更大，此时椭圆中心在内部。于是可以得到这样一个结论。
结论8 当椭圆的内接的面积取得最大值时，一定包含椭圆的中心。

内容6 椭圆内接三角形面积最大值
在上述的研究中，我们一再经历了这样一个过程：如果固定椭圆内接三角形的两个顶点，拖动第三个顶点，我们发现椭圆内接三角形的面积可能取不到最大值；但是，如果固定椭圆内接三角形的一个顶点，拖动第二、第三个顶点，我们发现有且只有一个内接三角形的面积可以取得最大值；再改变椭圆内接三角形的第一个一个顶点并固定，拖动第二、第三个顶点，我们发现还是有且只有一个内接三角形的面积可以取得最大值。于是，我们得到这样一个结论：
结论9 使得椭圆内接三角形面积取得最大值的三角形不只一个，它只跟三角形的第一个定点有关，如果第一个定点位置固定，那么这个能取得面积最大的椭圆内接三角形的形状和位置也固定。
既然如此，那么我们能不能在给定的椭圆上作出一个面积最大的内接三角形？
当椭圆内接三角形面积取得最大值时的三个顶点的离心角分别为，，，其坐标分别为，，。根据结论7，我们有直线的斜率等于椭圆在点的切线的斜率（假设斜率都存在）。又过椭圆上一点的切线为，于是可以得到，化简得，进而可以得到离心角的差。根据结论9易知，，于是可得离心角的差都是。如图6-2，在椭圆分别作出离心角的差的三个点、、，移动其中一个点，经测量的面积都是最大值，结论得到验证。
结论10 对于椭圆的内接，当三个顶点的坐标分别为，，时，内接的面积最大。
下面计算椭圆内接三角形面积的最大值。
根据结论6，有如下解法：
解法一：设，则易得椭圆在点的切线方程为，由结论6，当内接面积最大时，必有//，于是设。
由得……（*）
又，于是（*）式可化简为
由，于是，所以
由弦长公式可得，。
又到直线的距离
所以，，、
由于，
当且仅当即时“=”成立。
于是，，即椭圆内接面积最大值为。
根据结论10有如下解决方法:
方法二：

方法三：

结论11 椭圆的内接三角形的面积最大值为。实验课题
椭圆内接三角形面积的最大值
学习目标
1．通过学习圆内接三角形面积的最大值，类比研究椭圆的内接三角形面积的最大值；
2．通过研究椭圆内接三角形面积的最大值，体会解析几何、平面几何、三角函数、平面向量和函数等知识的内在联系，以及假静驭动的几何精髓；
3．经历探究椭圆内接三角形面积最大值的过程，体验数字思考方式在数学问题解决中的应用，培养实事求是的科学素养．
重点与难点
1．椭圆内接三角形面积最大值；
2．椭圆内接三角形面积最大值的求解方法．
实验环节
实验内容
设计说明
【课前实验】
已知圆，求其内接三角形面积的最大值。
【实验感悟】
在问题的实验、解决过程中，你观察到了什么？如何思考你观察到的现象？你还有什么新的发现？
实验感悟
观察
思考
发现
组织学生分享课前数学实验，初步感受TI数学实验在问题解决中的作用。
实验环节
实验内容
设计说明
【实验问题】
三个顶点都在椭圆上的三角形称为椭圆内接三角形。已知椭圆。求其内接三角形面积的最大值。
在感悟课前实验的基础上，引导学生提出实验问题，并组织学生分析研究策略。
【数学实验1】
已知椭圆内接三角形为面积，当边固定时，移动顶点，借助TI-Nspire图形计算器对面积的最大值进行实验探究。并记录当面积最大时所满足的条件。
【实验结论】
请把你的实验结论记录下来
【实验感悟】
在问题的实验过程中，你观察到了什么？如何思考你观察到的现象？你还有什么新的发现？
实验感悟
观察
思考
发现
考虑到实验问题有一定难度，引导学生先简化问题，通过数学实验研究简化后的数学问题，为后继的数学实验2提供研究方向。
【数学实验2】
已知椭圆内接三角形为面积，只固定三角形的一个顶点，移动另外两个顶点，借助TI-Nspire图形计算器对面积的最大值进行实验探究，并记录当面积最大时所满足的条件。
【实验结论】
请把你的实验结论记录下来
【实验感悟】
在问题的实验过程中，你观察到了什么？如何思考你观察到的现象？你还有什么新的发现？
实验感悟
观察
思考
发现
在实验1的基础上，进行合情推理，得到椭圆内接三角形面积取得最大值时所满足的条件，并用实验2验证猜想。
在数学实验的指引下，探究椭圆内接三角形面积取得最大值时三角形的三个顶点的离心角满足关系式，同时得到椭圆内接三角形面积取得最大值时三角形位置的任意性，从而得到圆内接三角形面积取得最大的充要条件。
【问题解决】
根据以上探究经验，解决问题：
三个顶点都在椭圆上的三角形称为椭圆内接三角形。已知椭圆，求其内接面积的最大值。
在数学实验结论的指引下，给出求椭圆内接三角形面积最大值的三种解法，最终问题顺利解决。
【实验体会】
通过今天的数学实验、数学问题的解决，你觉得自己学到了什么？请记录下来。
组织学生谈谈学习体会，画龙点睛。
【推荐作业】
1．（必做）：结合今天的数学实验，完成一篇数学作文。
2．（选做）：将椭圆内接面积的最大值问题推广到一般情况，并尝试解决。
3．（推荐）．椭圆内接三角形面积最大值问题还有其他解决方法吗？
作业分为“必做”、“选做”、“推荐”三个层次，满足不同学生的学习需要。
图1-圆内接三角形面积最大值探究
图2-1-圆内接三角形面积最大值条件探究
图2-2-圆内接三角形面积最大值条件探究
图2-3-圆内接三角形面积最大值条件探究
图2-4-圆内接三角形面积最大值条件探究
图3-圆内接三角形面积最大值
图4-1-椭圆内接三角形面积最大值测定
图5-1-椭圆内接三角形面积最大值条件探究
图5-2-椭圆内接三角形面积最大值条件探究
图5-3-椭圆内接三角形面积最大值条件探究
图5-4-椭圆内接三角形面积最大值条件探究
图5-5-椭圆内接三角形面积最大值条件探究
图6-1-椭圆内接三角形面积最大值
图6-2-椭圆内接三角形面积最大值