华师大版八年级上册14.2 勾股定理的应用精品课后练习题

14.2勾股定理的应用同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是

A. 3cm B.  C. 6cm D. 8cm

2. 如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为

A.  B.  C. 3 D.

3. 小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边6米远的水底，竹竿高出水面2米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为

A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m

4. 小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是

A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 13米

5. 如图，架在消防车上的云梯AB长为，，，云梯底部离地面的距离BC为，则云梯的顶端离地面的距离AE为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使是等腰三角形是其中一腰，则图中符合条件的格点有

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

7. 如图，一艘轮船以16海里时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，两船相距   

A. 36海里 B. 48海里 C. 60海里 D. 84海里

8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是   

A.
B. 25
C.
D. 35

10. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是

A. 8米
B. 10米
C. 12米
D. 14米

11. 如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为       

A.  B.  C.  D. 10

12. 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为   

A. 15dm B. 17dm C. 20dm D. 25dm

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”注：丈，尺是长度单位，1丈尺这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是______尺．
14. 如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，点B到点C的距离为3，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则爬行的最短路程是____．
     

15. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为__________．
    
    
     

16. 如图，有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点点在一条棱上距离顶点 cm处，需爬行的最短路程是___cm。
17. 如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是______cm．
    
    
     

18. 如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是          ．
    
    
    
    
    
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．

求的度数；

若射线BA为公园的车辆进出口道路道路的宽度忽略不计，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米包含100米，求被监控到的道路长度．






 

20. 如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米？

21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
    问CH是否为从村庄C到河边的最近路？即问：CH与AB是否垂直？请通过计算加以说明；
    求原来的路线AC的长．

22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
     

海港C受台风影响吗？为什么？

若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？






 

23. 如图，一架长为的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为若梯子的顶端沿墙下滑，那么梯足将外移多少米

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：将一根长为18cm的牙刷，置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
最长时等于牙刷斜边长度是：，
的取值范围是：，
即．
故选D．  

2.【答案】D
 

【解析】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段BF为所求的最短路程．
设．
，
即．
为弧中点，
，，
，
最短路线长为．
故选：D．
将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，线段AC与的交点为F，线段BF是最短路程．
本题考查了平面展开最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：在直角中，．
设河深，则．
根据勾股定理得出：


解得：．
即河水的深度为8m，
故选：B．
河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：如图，已知，，，米，米，设米．

在中，，
，
，
米，
故选：D．
根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在利用勾股定理构建方程即可解决问题．
此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造出直角三角形，将实际问题抽象成数学问题，难度不大设，由以及AB的长，利用勾股定理可建立方程，求出AD的长，即可求出云梯的顶端离地面的距离AE的长度．
【解答】
解：设AD为xm，
，
为，
长为，
在中，
，
解得，不符合题意，舍去
．
故选B．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想．先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：如图，

 ，
若，则符合要求的有：，，共3个点；
若，则符合要求的有：，共2个点．
故选D．  

7.【答案】C
 

【解析】略
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【解答】
解：如图：

小巷左右两侧是竖直的墙，，
与均为直角三角形，
在中，米，米，
．
又梯子长度是不变的，
，
在中，米，，
，
，
，
米，
米．
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．

如图，，，
由勾股定理得，．

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：

长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
，，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选B．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为米，利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意，继而构造直角三角形是解决本题的关键．
【详解】
解：画出示意图如下所示：









设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为，
在中，，
，
解得：，
，即旗杆的高是12m．
故选C．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，利用折叠的性质表示出相应线段的长度是解答此题的关键．
先根据长方形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，得出，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解．
【解答】
解：为长方形，
，，
由折叠可知：，，
在中，
，
，
设，则，

在中，，即，

解得：，

即线段CE的长为．
故选C．

12.【答案】B
 

【解析】略
 

13.【答案】12
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，，
解得：，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为12．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】
解：如图1中，

根据勾股定理，
如图2中，

根据勾股定理，
如图3中，

根据勾股定理，
，
蚂蚁需要爬行的最短路程是，
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
【解答】
解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

，
故答案为．  

16.【答案】15
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．在中，根据勾股定理即可求出AC．
【解答】

解：，，

故答案为15．  

17.【答案】5
 

【解析】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，
此时，
故；
故答案为：5．
根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．
【解答】解：如图，当吸管的一段AB、杯子的底面直径BC、杯子的高AC恰好构成直角三角形时，h最小，

此时，则，故
当吸管竖直插入水杯时，h最大，此时．
综上，  

19.【答案】解：，，

是等腰直角三角形，
，，

在中，
有，

是直角三角形，
，
：

过点D作，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图，由轴对称的性质，得，，

由知，，
，

是等腰直角三角形，即，

在中，有，
解得：，
．

被监控到的道路长度为米．

【解析】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理，灵活运算勾股定理是解决本题的关键．
由已知中可得到是等腰直角三角形，应用勾股定理可得到AC的长，进而得到
过点D作，然后作点A关于DE的对称点F，根据的结果，在中应用勾股定理，可得到AE，进而得到AF的长．
 

20.【答案】解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得：
解得：，舍去
答：此时树的顶端离树的底部有4米．
 

【解析】设此时树的顶端离树的底部有x米，再由勾股定理即可得出结论．
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
 

21.【答案】解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线AC的长为千米．
 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
 

22.【答案】解：海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作于D，

，，，
．
是直角三角形．
，
，
，
以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
海港C受到台风影响．
当，时，正好影响C港口，
，
，
台风的速度为，
小时，
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
 

【解析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
利用勾股定理得出ED的长，根据等腰三角形三线合一的性质得到EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
 

23.【答案】解：在直角中，已知，，
则，

，
在直角中，，且为斜边，
，

答：梯足向外移动了．
 

【解析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度．