2020-2021学年第十三章 轴对称综合与测试当堂达标检测题

2021-2022学年度人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元训练题

一．选择题

1．下面有4个图案，其中有（　　）个是轴对称图形．

A．一个 B．二个 C．三个 D．四个

2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，则∠B的度数为（　　）

A．35° B．53° C．63° D．43°

3．到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点 

B．三条中线的交点 

C．三条高的交点 

D．三条边的垂直平分线的交点

4．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（　　）

A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3，BC＝4，则DE等于（　　）

A．2 B． C． D．

6．若点A（x+y，1）与B（﹣3，x﹣y）关于x轴对称，则（　　）

A．x＝﹣2，y＝1 B．x＝﹣2，y＝﹣1 C．x＝2，y＝﹣1 D．x＝2，y＝1

7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm

8．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°

9．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（　　）

A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于D，M是BC的中点，若∠BAD＝30°，则图中等于30°的角的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题

11．在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在第　 　象限．

12．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：　       　．

13．点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab＝　              　．

14．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为　    　．

15．△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE＝CD＝BF，则△DEF为　   　三角形．

16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝3cm，△ABC的面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则△BDM周长的最小值为 　       　．

三．解答题

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．

19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．

20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．

（1）求∠C的度数；

（2）若CE＝1，求AB的长．

21．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

（1）将△ABC向右平移5个单位再向下平移2个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1；

（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；

（3）P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，请直接写出经过两次变换后在△A2B2C2中对应的点P2的坐标．

22．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，

（1）求证：DB＝DE．

（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．

23．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．

（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；

（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．

参考答案

一．选择题

1．解：由轴对称图形的概念可知第1个、第3个图形是轴对称图形；第2个、第4个图形不是轴对称图形．

故轴对称图形有二个．

故选：B．

2．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，

∴∠C＝25°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝53°．

故选：B．

3．解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．

故选：D．

4．解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．

故选：B．

5．解：连接AE，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝＝5，

由题意得，MN是线段AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

 在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即AE2＝32+（4﹣AE）2，

解得，AE＝，

由勾股定理得，DE＝＝，

故选：C．

6．解：∵点A（x+y，1）与B（﹣3，x﹣y）关于x轴对称，

∴，

解得：．

故选：B．

7．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，

∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，

∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，

∴BE＝AE＝6cm，

∴∠EAB＝∠B＝15°，

∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，

∵∠C＝90°，

∴∠AEC＝30°，

∴AC＝AE＝6cm＝3cm，

故选：D．

8．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ABC＝∠C＝70°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠DBA＝∠A＝40°，

∴∠DBC＝30°，

故选：C．

9．解：∵△ABC的两边BC和AC的垂直平分线分别交AB于D、E，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∵边AB长为10cm，

∴△CDE的周长为：CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10cm．

故选：A．

10．解：已知AB的垂直平分线交BC于D可得∠BAD＝∠B＝30°

又因为△ABC为等腰三角形，所以∠BAD＝∠ABD＝∠C

M为等腰三角形△ABC的中线，故AM⊥BC

∴△ADM∽△ACM，

∴∠DAM＝∠C＝30°．

故选：D．

二．填空题

11．解：点P（﹣2，3）满足点在第二象限的条件．关于x轴的对称点的横坐标与P点的横坐标相同，是﹣2；纵坐标互为相反数，是﹣3，则P关于x轴的对称点是（﹣2，﹣3），在第三象限．

故答案是：三

12．解：实际车牌号是K62897．

故答案为：K62897．

13．解：∵点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），

∴2+a＝4，2﹣b＝3，

解得a＝2，b＝﹣1，

所以，ab＝2﹣1＝．

故答案为：．

14．解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，

∠2+∠3＝90°，

∵∠3＝30°，

∴∠2＝60°，

∴∠1＝60°．

故答案为：60°．

15．解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

又AE＝CD＝BF，

∴AF＝BD＝CE，

∴△EAF≌△FBD≌△DCE（ASA），

∴EF＝FD＝DE，

即△DEF为等边三角形．

故填等边．

16．解：∵D为BC的中点，BC＝3cm，

∴BD＝1.5cm，

连接AD，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD为等腰三角形的高，

设AD＝hcm，

∵△ABC的面积是18cm2，

∴S△ABC＝×BC×AD＝18cm2，

即×3×h＝18，

解得：h＝12，

∴AD＝12cm，

∵EF为线段AB的垂直平分线，

∴A、B关于EF对称，

∴BM+DM的最小值为线段AD的长度，即12cm，

∴△BDM周长的最小值为12cm+1.5cm＝13.5cm，

故答案为：13.5cm．

三．解答题

17．解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，

∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝52°，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝64°，

∵点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝26°．

18．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠ACB＝∠BDE＝90°，

在Rt△BDE和Rt△BCE中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BCE，

∴ED＝EC，

∵ED＝EC，BD＝BC，

∴BE垂直平分CD．

19．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BED与△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF；

（2）解：∵∠B＝50°，

∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．

20．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，

∴∠BAE＝∠B＝30°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAE＝30°，

即∠BAC＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．

（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，

∴AC＝，

∴AB＝2．

21．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）∵P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，

∴将△ABC向右平移5个单位再向下平移2个单位后得到对应的点的坐标为：（a+5，b﹣2），

∴（a+5，b﹣2）关于x轴对称点的坐标为：（a+5，﹣b+2）．

22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°．

∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．

又∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠CED．

又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，

∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．

∴∠DBC＝∠DEC．

∴DB＝DE（等角对等边）；

（2）∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，

∴∠CDF＝30°，

∵CF＝4，

∴DC＝8，

∵AD＝CD，

∴AC＝16，

∴△ABC的周长＝3AC＝48．

23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，

∴∠BCE＝30°，BE＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠BCE＝30°，

∵∠ABD＝120°，

∴∠DEB＝30°，

∴DB＝EB，

∴AE＝DB；

（2）如图1，E在线段AB上时，

∵AB＝2，AE＝1，

∴点E是AB的中点，

由（1）知，BD＝AE＝1，

∴CD＝BC+BD＝3；

如图2，E在线段AB的反向延长线上时，

∵AE＝1，AB＝2，

∴BE＝3，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，

过E作EH∥AC交BC的延长线于H，

∴∠BEH＝∠BHE＝60°，

∴△BEH是等边三角形，

∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，

∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，

∴∠BED＝∠HEC，

在△BDE和△HCE中，

，

∴△BDE≌△HCE（SAS），

∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，

∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．

综上所述，CD的长为1或3．