高中数学北师大版必修12.3映射教学设计

第二章 2.3 映射

教学目标

知识目标：

1、明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；

2、能准确使用数学符号表示映射，把握映射与映射的区别；

3、会求给定映射的指定元素的像与原像，了解求像与原像的方法。

思想目标：

使学生认识到事物间的有联系的，对应的，映射是一种联系方式，使学生理解动与静的辩证关系。

能力目标：

1、在概念形成过程中，培养学生的观察、比较和归纳的能力；

2、通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力。

教学重点：

映射与函数的关系

教学难点：

映射的概念

教学方法：

观察法：通过观察事物的联系与区别得出一般性的结论，让学生观察分析升华为理论，然后在应用中发现规律，培养学生的自主学习的能力与创新能力。

学习方法：

学生通过观察讨论分析得出规律发现结论。

教法建议：

1、在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识。

2、在刚开始学习映射时，为了能让我们的学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽像的数学符号表示映射。这种表示方法比较简明、抽像，且能看到三者之间的关系，除此之外，映射的一般表示方法为f：A→B，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数是三要素构成的整体是非常有帮助的。

3、对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括。最后师生加以概括，对于学生层次高的学生，再从中引出映射概念。

4、关于求像和原像的问题，应在计算的过程中总结方法，对层次较高的学生是求原像的方法是解方程，不同情况（有唯一解，无解或有无数解）加深对映射的认识。

5、在教学方法上可以采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较、启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用。

教具准备：

多媒体课件

教学时间：一课时

教学过程

一、引入

在现实生活中我们经常遇到两集合间的对应关系，今天我们学习一种特殊的对应：映射。

课件展示1：

像这样按照某种对应法则建立的两个集合元素之间的一种联系就是对应。出示这个课件的目的是让学生对对应有感性认识。

二、新课

在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起（展示课件2）。

（1）每个同学都对应自己的性别对应

                确定性别

注：出示这个课件的目的是让学生知道这是一种对应关系，而且对于A中的任意一个元素（每个同学）在B中都有唯一的元素（性别）与它对应。这种对应是多对一。

课件展示：

（2）y=x2的意义： ∨x∈R，x→y∈¬R¯

注：这个例子主要是让学生知道在实数集中对于任意一个实数x在非负定实数集中都有唯一的实数y与它对应，这个体现了多对一。

课件展示：

（3）每个同学都有自己的座位

注：这个例子是让学生知道在结合A中的元素（每位同学）在B中都有唯一的元素（特有座位）与之对应，这是一对一。

课件展示：

将三个例子放在一起，让学生分小组讨论这个对应有什么共性？

经过师生共同推敲，教师强调A中的元素具有任意性，B中的元素具有唯一性，这三个例子都体现多对一或一对一，即B中元素之唯一。将映射的定义引出。（主体内容由学生完成，教师做必要的补充）

（课件）

一、映射

1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的。

对应（包括集合A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B告诉学生这里的顺序不能调，不能说f：B→A。定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之徒上在于元素与元素之间的对应必须做到“任意对唯一”。

课件展示：

注：给学生说这个例子虽然是对应，但B中的元素不唯一，所以不是映射，通过这个例子进一步巩固映射概念中要求B中的元素必须是唯一的。

2、像与原像

展示课件：

           A                    B

思考：值域是B吗？

注：对于这个集合A到集合B的映射，其中A中的元素a叫做b的原像，集合B中的元素b叫做a的像，集合A叫做原像集，A中a的取值范围叫做定义域，所求像f(x)构成的集合C叫做f的值域。

集合B的元素1没有原像，所以集合B

称为f的陪域，由于集合B中的元素2、3、            加1

4都有原像，则由2、3、4组成的集合C才是

f的值域，这里让学生知道值域C=B或C是

B的真子集，还说明了A中的元素一定有像，      A           B

但B中的元素不一定都有原像。

课堂练习：出示课件

下列对应是不是映射？

1、A=R、B=R，对应法则f取倒数

注：对于集合A中任意一元素R通过取倒数这个对应法则，在B中都有唯一的实数R与它对应，也体现了B中元素的唯一性。

2、

此题进一步巩固映射概念任意对唯一。

练习题：课件展示

（1）{数轴上的点}，实数与数轴上相应的点对应。

（2）A={中国，法国，英国}，对应法则f：找首都

     B={巴黎，北京，伦敦，东京}（注：进一步巩固一对一和多对一都是映射）

3、讲解对概念的认识

（1）A到B与B到A是不同的，即A与B有序的。

（2）像的集合是集合B的子集。

（3）集合A，B是可以是数集，也可以是点集或其它集合。

4、一一映射：课件展示

1、A          B           2、 f:x   |→   2x          3、 f:x →

平方              A           B                A           B

对于这个概念主要是对成绩好的学生，让他们观察这三个映射有什么不同，可以小组讨论，从而掌握一一映射的概念。

课件展示：

（1）定义：设A、B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的像，而且B中每一个元素都有原像，那么这个映射叫做A到B的一一映射。

（2）特点：两个集合间元素是一对一的关系，不同的元素对应的像也一定是不同的（元素个数相同）；集合B与像集C是相等的集合。

对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的像与原像。

5、求像与原像

在1中，从A到B的映射，则A中的-1在B中的像是        ，3题中的1/3在B中的原像是         。

由学生先回答第1小题，之后让学生自己总结一下，这里有箭头符号可以看出结果，如果没箭头符号，应用什么方法求像和原像，可小组讨论学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求像用代入法，求原像用解方程或解方程组。

注意：所解的方程解的情况可能有多种，如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的，但如果是一一映射，则方程一定有唯一解。

三、课堂练习：课件展示

求像与原像

         求倒数                               乘以2减1

四、小结：课件展示

1、映射是特殊的对应；

2、一一映射是特殊的映射；

3、掌握求像与原像的方法。

五、作业：书80页的第1、2、3题

六、有课件板书略

七、探究与课堂检测：课件展示

（1）A={偶数}，B={整数}，试问：如果我们建立一个由B到A的映射对应法则：乘以2吗？

答案：它们之间可以形成映射。

（2）我们班的全体同学测量身高如何建立一一映射？

答案：A={全班同学}，B={身高数}，对应法则：测量

（3）你能建立一个一一映射吗？