高中数学北师大版必修1第一章 集合2集合的基本关系第2课时教案设计

这是一份高中数学北师大版必修1第一章 集合2集合的基本关系第2课时教案设计，共8页。

2.掌握充分、必要、充要条件的应用.
3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.
教学重点、难点
重点：充要条件的意义.
难点：对充要条件的理解.
教学方法
探究讨论指导法
教学过程[中国教育*出&@^#版网][来源:*中@^~教网#]
【问题思考】 [来源^:*&中教%网~]
一、充要条件的含义
1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?
提示:因为p⇒q,所以p是q的充分条件.
又q⇒p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,且q⇒p都成立,即p⇔q.
2.抽象概括
一般地,如果 p⇒q ,且 q⇒p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p⇔q .
3.想一想:符号“⇔”的含义是什么?
提示:符号“⇔”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断 [来源:zzstep.%c@#m&*]
【问题思考】
1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},
(1)集合A,B满足什么关系?
(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件? [来#%源&:~中教网^]
提示:(1)B⫋A.
(2)p是q的必要条件.
2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?
提示:充分条件与必要条件是共存的,若p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
3.若p q,但q p,则p是q的充分条件，但不是必要条件，若q p,但pq,则p是q的必要条件，但不是充分条件.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
设条件p,q对应的集合分别为A,B.
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分条件,但不是必要条件; [来源&:z*zstep.c@~m%]
(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;
(3)若A=B,则p,q互为充要条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ )
（3）若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.（√）
(4)“1合作探究·释疑解惑
探究一 充要条件的判断
例1. 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;
(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.
解:(1)由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,
故p是q的充要条件. [来源:%@中~&教*网]
(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
点睛：判断充要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解.
变式1.a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab=0B.ab>0
C.a2+b2=0D.a2+b2>0
解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
答案:D [中@国*教育%&出版#网]
探究二 充分、必要条件的判断
例2：在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;
(2)p:a>b,c<0,q:ac(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解: (1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q⇒p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.
(2)当a>b,c<0时,有acb,c<0,也可能是a0,即q p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.
(3)如图.由图可知p,q对应集合间无
包含关系,故p既不是q的充分条件,[来^&%源:中教网@~]
也不是q的必要条件. [ww#w%.zzstep@.*cm~]
点睛：充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;
(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;
(3)集合法. [来源:zz@st#e^*%p.cm]
变式2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; [来源:#中国教育~出版网%^@]
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中为真命题的是 .(填序号)
解: ①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.
答案:②④
探究三 充要条件的证明
例3 .已知x,y都是非零实数，且x>y,求证：的充要条件是xy>0.
证明：（1）充分性：∵xy>0，且x>y,
∴，即.
（2）必要性：，即
又x>y,即＜0，∴xy>0.
点睛：1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.
2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.
变式3.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.[来源:&中%国教育^出版~网@]
必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
所以＜0，
所以.
充分性：由可得，
所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根. [来源:z~@z^step.#*cm]
探究四 与 充分、必要及充要条件相关的参数值的求解
例4. 已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.
分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论 .
解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.
因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,而当a=1时,A={1},显然成立;
当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1当a<1时,A={x|a≤x≤1},显然不满足A⫋B. [www#.~zz%ste@p.^cm]
综上可知1≤a<2时,p是q的充分条件,但不是必要条件. [www.*z@z&step.~c^m]
拓展：
1.本例中条件不变,若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围. [中#国教@育出&%版网^]
解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B⫋A,则A={x|1≤x≤a},且a>2,所以a>2时p是q的必要条件,但不是充分条件.
2.本例中条件不变,若p是q的充要条件,求实数a的值.
解:因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2.
3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件?
解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,与例4同理,可得-2点睛：应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:
(1)根据已知条件将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.[中国教~#育出*版网%@]
易 错 辨 析
不能准确判断充要条件致误
例：“函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0错解 设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当00恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q⇒p.
当函数的图象在x轴的上方时，有，
得0所以p是q的充要条件.
答案 充要 [来源:%^中教网~@&]
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? [来源:zz^@step.&cm*%]
提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.
正解: 设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当0而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,
所以p q.
故p为q的必要条件,但不是充分条件.
答案:必要不充分
警示：用定义判断时无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
随 堂 练 习
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,
∴a∈B,且a≠1,
∴a=2或a=3,
∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件,但不是必要条件.
答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2B.m=2
C.m=-1D.m=1
解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称. [w@ww.zzs*&te#p.cm~]
答案:A
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.
答案:B
4.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分条件,但不是必要条件
C.必要条件,但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为p:x<3,q:-1答案:C [中国&%@教育^出版~网]
5.若“p:x(x-3)<0”是“q:2x-3解析：由p:x(x-3)<0，得p:0由q:2x-3由题意，得p⇒q,q推不出p，则≥3，解得m≥3.
答案:[3,+∞)
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课堂总结[来源%:#zzstep.&c^m*]
1.充要条件的概念；
2.充要条件的判断[来源:中国教&育~出版网@%#]
课后作业
课本第16页练习1，2题
板书设计
充要条件
1.充要条件的概念[www.z#zste&*p~.c@m]
2.充分条件、必要条件、充要条件的判断[中&国教育@^出*版网#]
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