数学八年级上册2.7 探索勾股定理精练

2.7探索勾股定理同步练习浙教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知每个小正方形的边长为1，点A，B，C在小正方形的顶点上，则的周长为

A.
B.
C.
D.

2. 已知M、N是线段AB上的两点，，，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则一定是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是

A. 3，4，5 B. 6，8，9 C. 1，2，3 D. 5，12，14

4. 如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则  

A. 171
B. 79
C. 100
D. 81

5. 如图，已知在四边形ABCD中，，，，，则CD的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和若，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

7. 如图所示，在中，，，，点M为AC边上任意一点，则BM的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在数轴上，点A表示的数是2，，，现以点O为圆心，线段OB长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C表示的实数是

A.  B.  C.  D.

9. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是

A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 4，6，7 D. 5，12，13

10. 下列几组数中，能构成直角三角形的是

A. 3，4，6 B. 5，6，7
C. a，，是大于4的数 D. 6，8，10

11. 给出下列四个说法：
    由于，，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形不是直角三角形；
    由于以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数；
    若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有；
    若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 三角形三边的长为13，12，5则它的面积是

A. 20 B. 30 C. 32或24 D. 30或34

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为          ．
    
     

14. 如图，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的底边的长为_______________cm．
15. 在中，，，，则边AB的长是______．
16. 中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，点D是AC上一点，，，．
    求的长；
    求AD的长．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的各顶点均在格点上，直线l过点，且平行于y轴．
    在图中画出关于y轴对称的；并写出点、、的坐标：______，______，______；
    在图中画出关于直线l对称的；并写出点、、的坐标：______，______，______；
    在y轴上确定一点P，使最小；直接画在图中
    如果点Q的坐标是，其中，点Q关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点是，则线段的长是______．

19. 在矩形ABCD中，E是BC边上一定点，F是直线AD上一动点，将沿直线EF翻折，点B的对应点为G．

若点G落在矩形的内部，且E、G、D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线EF；请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法

若，，，当E、G、D三点在一条直线上，直接写出AF的长度为________．






 

20. 如图，在中，，，，将折叠，使点A，C重合，得折痕DE，求的周长．
     

21. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．
    在图中画出与关于直线L成轴对称的；
    求的面积．
    在直线L上找出一点P，使得的值最小．在图上直接标记出点P的位置
    
    
    
    
    
    
     
22. 学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，且，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
    
     

23. 如图，网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识：
    判断是什么形状？并说明理由；
    求的面积．
    
     

24. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在小正方形的顶点处．
    求的周长；
    求的度数．
    
    
     

25. 如图，每个小正方形的边长都为求四边形ABCD的周长及面积．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，，，
所以的周长，
故选：A．
根据勾股定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
依据作图即可得到，，，进而得到，即可得出是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：如图所示，，，，
，
是直角三角形，且，
故选：B．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足a   ，则是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、，能构成直角三角形，故本选项正确
B、，不能构成直角三角形，故本选项错误
C、，不能构成直角三角形，故本选项错误
D、，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】
解：由题意可知：，，，，

连接BD，在和中，
，
即，
因此，
故选B．  

5.【答案】A
 

【解析】解：如图，分别作于E点，于F点，
则有，，
，
又，
，
故选：A．
作于E点，于F点，则有，，由此可以求出DF、AE，又，由此求出CD．
此题主要考查了直角梯形的性质，通过作辅助线综合利用解直角三角形、直角三角形性质等知识解决问题，同时也考查学生逻辑推理能力和运算能力．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
正方形的边长，
，
故选：C．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：作于，
在中，，
，
，即，
解得，，
当M与C重合时，BM最长为4，
则，
故选D．
根据垂线段最短，作于，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出；当M与C重合时，BM最长，即可得到答案．
本题主要考察线段的最值；根据垂线段最短和临界点线段取最长．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是实数与数轴以及勾股定理，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
【解答】
解：，，，
，
以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，
，
点C表示的实数是．
故选：B．  

9.【答案】D
 

【解析】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：A、因为，所以不能构成直角三角形；
B、因为，所以不能构成直角三角形；
C、因为，所以不能构成直角三角形；
D、因为，所以能构成直角三角形；
故选：D．
分别计算最大数的平方是否等于其它两个数的平方的和，判断是否为直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形；判断时用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、6、满足，但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：由于，，不是整数，所以，，不是勾股数，但是，，所以以，，为边长的三角形是直角三角形，故说法错误；
虽然以，，为边长的三角形是直角三角形，但是，，不是整数，所以，，不是勾股数，故说法错误；
若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有，故说法正确；
若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故说法正确．
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，以及三角形的面积先判断是否是直角三角形，若是则用两个直角边相乘除以2即可得解．
【解答】
解：三角形三边的长为13，12，5，且，
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为12和5，
它的面积为．
故选B．  

13.【答案】29
 

【解析】由题图易得．
 

14.【答案】，或
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论有关知识，因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分腰长在矩形相邻的两边上，一腰在矩形的宽上，一腰在矩形的长上，三种情况讨论为等腰直角三角形，直接利用直接勾股定理求解即可；先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再利用勾股定理求出结论；先利用勾股定理求出BF，再利用勾股定理求出底边．
【解答】
解：分三种情况计算：
当时，
如图：

；
当时，
如图：

则，
，
；
当时，如图：

则，
，
．
故答案为，或．  

15.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

16.【答案】或或
 

【解析】解：在中，，，，
，．
沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：

当时，如图所示，
；
当时，且P在AC上时，如图所示，
作的高BD，则，
，
，
；
当时，如图所示，
．
综上所述：等腰三角形的面积可能为或或．
故答案为或或．
在中，通过解直角三角形可得出、，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
 

17.【答案】解：在中，
，
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
在中，，
，
．
．
 

【解析】根据已知条件得到：是等腰直角三角形，于是得到结论；
由勾股定理求得AC的长度；则．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】            6
 

【解析】解：如图，即为所求．点，，，，
故答案为：，，．

如图，即为所求．点，，．
故答案为：，，．

如图，点P即为所求．

点Q的坐标是，其中，点Q关于y轴的对称点是，
，
点关于直线l的对称点是，
，
线段的长．
故答案为：6．
利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对称点，，即可．
连接交y轴于点P，点P即为所求．
求出的坐标，可得结论．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
 

19.【答案】解：


或

或11．
 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，尺规作图作一个角的平分线，勾股定理和等腰三角形的判定与性质等知识．
解决此类题目的关键是熟悉折叠的性质，会作一个角的平分线，由勾股定理先求出DE，再等腰三角形的判定与性质得出，即可不就出AF．
【解答】
解：作法：连接DE，                         
                  以E为圆心EB为半径作弧交DE于G，
                  作BED的角平分线交AD于F，     
                  作直线EF，则直线EF即为所求．
或作法：连接DE并延长，                         
                  以E为圆心EB为半径作弧交DE延长线于G，
                  作BEG的角平分线，BEG的角平分线所在直线交AD延长线于F，     
                  作直线EF，则直线EF即为所求．


如图：

           因为，，，
            所以，   
            由勾股定理得
           依题意
           所以
           所以 
或如图：

依题意可得为等腰三角形，即，
  所以  ．  

20.【答案】解：在中，，，，
由勾股定理，得．
由翻折的性质，得．
的周长．
答：的周长等于7cm．
 

【解析】由勾股定理求出，由折叠的性质可得出，则可求出答案．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

的面积为：．
如图，点P即为所求．
 

【解析】根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线L成轴对称的；
根据网格即可求的面积．
连接交直线L一点P，使得的值最小．
本题考查了作图旋转变换，勾股定理，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和轴对称的性质．
 

22.【答案】解：连接AC，
，，，
，
则，
，，
，
，
是直角三角形，
四边形ABCD的面积，
学校征收这块地需要：元．
答：学校征收这块地需要36000元．
 

【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的性质得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键．
 

23.【答案】解：，，，
，
为直角三角形；
，
的面积为5．
 

【解析】根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形解答．
 

24.【答案】解：由勾股定理得：，，，
所以的周长为；

，，，
，
是直角三角形，且．
 

【解析】先根据勾股定理分别求出BC、AB、AC的长度，再求出周长即可；
根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

25.【答案】解：根据勾股定理得，，，，
故四边形ABCD的周长为；
面积为．
 

【解析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积．
本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理以及逆定理的应用，此题难度不大．