浙教版八年级上册2.6 直角三角形课后测评

2.6直角三角形同步练习浙教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，AE平分交BC于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为若，，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

2. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是

A.  B.
C. 两个内角互余 D. ：：：3：5

3. 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题是真命题的是

A. 同旁内角互补
B. 三角形的一个外角大于内角
C. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和
D. 直角三角形的两锐角互余

5. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且若，则等于

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，则下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，取AC的中点E，连接DE，则图中与DE相等的线段有                                                                                           

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

9. 在中，，OB为AC边上的中线，若以AC为斜边作，连接OD，则下列说法错误的是

A.  B.  C.  D.

10. 在下列条件：，：：：3：2，，中，能确定是直角三角形的条件有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11. 把与放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

12. 在中，，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，，垂足为D，点E是AB的中点，，，则AB的长为______．

14. 如图，在中，，CD为斜边上的中线，将沿EF折叠，点B的对应点G落在线段AC上，点G不与点A、C重合，CD与EG、FG分别交于点H、O，连接FH，则的度数为______
15. 如图，在中，，，如果，那么          度
     

16. 如图，已知，一条光线从点A出发后射向OB边若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时当时，光线射到OB边上的点后，经OB反射到线段AO上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点A，此时          ．
    
    若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角的最小度数为          ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，，点E是CF的中点．求证：；

．






 

18. 如图，在中，AD是BC边上的高，CF是AB边上的中线，，点E是CF的中点．求证：
     

19. 如图，，，垂足为求证：．
    
     

20. 如图所示，在中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，，求证：．

21. 如图，在中，点D在边AC上，，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：．
    
     

22. 如图，，垂足为E，的中线EF的反向延长线交CD于点G，C.
    
    求证：EG是的高线即
    若EG是的中线，探索的形状请写出完整过程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，B.
    求证：是直角三角形．
    
     

24. 如图，，EG、FG分别是和的平分线求证：是直角三角形．
    
    
     

25. 如图，在中，AD是BC边上中线，．
    
    求证：是直角三角形
    此题实际上是直角三角形的一个判定方法，请你用文字语言叙述出来．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】，，

，

平分，

，
，
，
，
，
．

2.【答案】A
 

【解析】解：A、设，则，，
，
，
最大的角，
该三角形不是直角三角形，选项A符合题意；
B、，，
，
最大的角，
该三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、两个内角互余，且三个内角的和为，
最大角，
该三角形是直角三角形，选项C不符合题意；
D、设，则，，
，
，
最大角，
该三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：A．
利用三角形内角和定理及各角之间的关系，求出三角形最大角的度数，取最大角的度数不为的选项即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定义、余角以及直角三角形的判定，根据各角之间的关系及三角形内角和定理，求出各选项三角形中最大的角的度数是解题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．根据直角三角形的两个角互余即可求解．
【解答】
解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则，
解得：．
故选：B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题的真假判断，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理，根据平行线的性质、三角形的外角的性质以及直角三角形两锐角互余的性质即可判断．
【解答】
解：，只有两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
B.三角形的一个外角大于与它不相邻的内角，故原命题是假命题；
C.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故原命题是假命题；
D.直角三角形的两锐角互余，是真命题．
故选D．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】
解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于，
另一个锐角的度数是．
故选：D．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出和的度数是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据等腰三角形性质得出，，根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质得出，代入求出即可．
【解答】

解：在中，，E是AB的中点，
，

，
，，
，
，
，
故选D．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，

在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，

由此可得点A，C，D，B四点共圆，
平分，
，
，故选项C正确，
点M是BC的中点，
，
又，
，
点N是线段AB的中点，
，
，
，，
，
，，
点M是BC的中点，
，
≌，
，
故选项D正确，
，
故选项B正确，
综上，可知选项A的结论不正确．
故选：A．
根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得，又，，可得≌，可得，延长DM交AB于点N，可得MN是的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，得到角之间的关系，可得．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，关键在于推出，根据已知条件即可推出，然后，由，即可推出为等边三角形，所以．
【解答】
解：等边三角形ABC中，AD是BC上的高，
，，
的中点是E，
，
，
为等边三角形，
，
图中与DE相等的线段有AE、EC、DC、BD，4条．
故选D．  

9.【答案】D
 

【解析】解：如图，
、是直角三角形，O为AC的中线，

，，
，
、B、C都正确，
故选：D．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，熟记此性质是解题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，
是直角三角形；
：：：2：3，
设，则，
解得：，
，
是直角三角形；
，
，
，
是直角三角形；
，
，
，
为钝角三角形．
能确定是直角三角形的有共3个，
故选：C．
根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：过点C作，
．
又，
．
．
．

故选：B．
过点C作，易知，所以可得，，根据即可求解．
本题主要考查了平行线的判定和性质，解决角度问题一般借助平行线转化角，此题属于“拐点”问题，过拐点处作平行线是此类问题常见辅助线．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：
在中，，
，
，
故选：A．
由直角三角形的性质可直接求得答案．
本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
点E是AB的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据已知条件得到，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，证得是等腰直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】57
 

【解析】解：在中，CD为斜边上的中线，
，
，
，
将沿EF折叠，
，
，
点C，点G，点H，点F四点共圆，
，
故答案为：57．
由直角三角形的性质可求，，由折叠的性质可求，可证点C，点G，点H，点F四点共圆，可得．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

15.【答案】40
 

【解析】，，
，
．
 

16.【答案】76

6

【解析】由题图可知，
，．
设光线从点A发出后，经n次反射能沿原路返回到点A，
记光线自发出后与边的交点依次为，，，，，
即，则，，， ，依次为的n倍2，3，，
，即，
，
当时，最小，最小度数为．
 

17.【答案】证明：连接DF，
是边BC上的高，
，
点F是AB的中点，
，
，
，
点E是CF的中点．
．
 

【解析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
连接DF，根据直角三角形的性质得到，进而证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
 

18.【答案】证明：连接DF，
是BC边上的高，CF是AB边上的中线，
，
，
，
，
，
，
．

 

【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后求出，根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
 

19.【答案】证明：，

．
 

又，

．

．

【解析】本题主要考查直角三角形的性质首先利用直角三角形得出，进而得证．
 

20.【答案】证明：连接DE，如图：

是边BC上的高，CE是边AB上的中线，
，E是AB的中点，
，
，
，
，
是CE的中点，
．
 

【解析】连接DE，根据直角三角形的性质得到，再根据，得到，从而可得，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质．解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，明确在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

21.【答案】证明：如图，连结BE，，E是CD的中点，， ，
是AB的中点，．

 

【解析】见答案
 

22.【答案】解：证明：，EF是的中线，
 ，
，
，，
 ，
，
，
，
是的高线．
是的中线，，
直线EG是CD的垂直平分线，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
 

【解析】略
 

23.【答案】证明：如图，作CD平分交AB于点D，过D作于点E．

平分，，
，，
是等腰三角形，
又，．
，．

在与中，

，
，
是直角三角形．

【解析】略
 

24.【答案】证明：，两直线平行，同旁内角互补
、FG分别是和的平分线，
，，
，
，
是直角三角形．
 

【解析】利用两直线平行的性质进行证明，具体证明过程可以见答案
 

25.【答案】解：证明：，，
，
，，
，
，
，是直角三角形．
如果一个三角形一边上的中线长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形．
 

【解析】见答案