高中数学5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切教案

二倍角与半角的正弦、余弦和正切

【教学目标】

1．掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据所在象限正确选择公式中的正、负号；

2．会根据具体情况灵活运用公式。用半角的正切公式时，往往选用：

；

【教学重难点】

半角公式的应用。

【教学过程】

一、引入

（设置情境）。

气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。

二、双基回顾

；；；

新课：

在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出的表达式？

探索研究证明：；

三、概念或定理或公式教学（推导）

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的：

1．在 中，以代2，代即得：∴；

2．在 中，以代2，代即得：

∴。

3．以上结果相除得：

开方得：。

特点：

1．左式中的角是右式中的角的一半。

2．公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。

3．根号前均有“”它由角“”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“”应保留。

注意：公式（3）成立的条件；

公式（1）（2）（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论。

四、概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用

注意：

1．左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。

2．公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。

3．上述公式称之谓半角公式：

。

4．还有一个有用的公式：（课后自己证）。

五、典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1．已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

解：∵

∴cos   0（否则2=5）；

∴，解得：tan  = 2；

∴原式。

例2．已知，，tan =，tan=，求2 +。

解：；

∴；

又∵tan2 < 0，tan < 0；

∴，；

∴；

∴2 +  =。

例3．已知sin  cos = ，，求和tan的值。

 解：∵sin  cos = ；

∴；

化简得：； 

∴；

∵，

∴，  

∴，  

即。

。

六、小结

证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”。

条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去。