数学北师大版2 探索轴对称的性质精品课后练习题

5.2探索轴对称的性质同步练习北师大版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，将沿DE向内折叠，使AD与重合，与AE重合，若，则的度数为

A.  B.  C.  D. 以上都不对

2. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知，，则BE的长是

A. 1
B.
C. 2
D.

3. 下列图形，关于直线对称的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 长方形有且只有一条对称轴
B. 垂直于线段的直线就是线段的对称轴
C. 角的对称轴是角的平分线
D. 角平分线所在的直线是角的对称轴

5. 如图，点P在的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，若，则

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. 全等的两个图形一定成轴对称
B. 成轴对称的两个图形一定全等
C. 两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
D. 两个图形关于某直线对称，对称点这直线上

7. 如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点、处，则阴影部分图形的周长为    

A. 15
B. 20
C. 25
D. 30

8. 如图，在中，，BD平分，将连续翻折两次，C点的对应点E点落在边AB上，B点的对应点F点恰好落在边AC上，则下列结论正确的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

9. 如图，的面积等于9，边，现将沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是   

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

10. 等腰三角形的对称轴最多有条．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 下列说法正确的是

A. 如果两条直线互相垂直平分，那么这两条直线互为对称轴
B. 如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段的长度相等
C. 如果两个三角形形状、大小完全相同，那么它们一定成轴对称
D. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称点一定在这条直线的两旁

12. 下列说法中，正确的是

A. 作一个图形的轴对称图形只能作一个
B. 作一个图形的轴对称图形有有限个
C. 因为选取对称轴的不同，所以作一个图形的轴对称图形可有无数个
D. 不规则的复杂图形不存在对称图形

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，若，厘米，则的边BC的长为______厘米．

14. 如图，四边形ABCD的对称轴是AD所在的直线，，，则四边形ABCD的周长为______．
    
     

15. 如图，点E，F分别在长方形ABCD的边AD，CD上，连接将长方形ABCD沿BE对折，点A落在处；将对折，点D落在的延长线上的处，得到折痕EF，若，______．
16. 如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若的周长为24cm，的周长为8cm，四边形纸片ABCD的周长为______．
17. 如图，中，，，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为______．
    
     

18. 如图，三角形纸片ABC中，，，在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处，若的周长为，的周长为，求四边形纸片ABCD的周长．
     

20. 如图，与关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
     

指出图中的两对对称点

指出图中相等的线段

指出图中其他关于直线MN对称的三角形．






 

21. 如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．
    若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
    若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？
    分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．

22. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为16，宽AB为8，求：
    和DE的长；
    求阴影部分的面积．
    
     

23. 如图，点P是外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若，．
    求线段QM、QN的长；
    求线段QR的长．
    
    
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，点P是x轴上的一点，求的最小值．

25. 尺规作图：已知和C、D两点，请在图中用尺规作图找出一点E，使得点E到OA、OB的距离相等，而且E点到C、D的距离也相等．不写作法，保留作图痕迹．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．
    在图中画出与关于直线l成轴对称的；
    在直线l上找出一点P，使得的长最短．保留画图痕迹并标上字母
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：；．


．
故选：B．
；据此得的表达式，结合三角形内角和定理求解．
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：与关于AD对称，
≌，
，，
．
，
．
，
．
在中，．
故选：D．
由轴对称的性质可以得出，，就可以得出，根据直角三角形的性质就可以求出，然后利用勾股定理解答即可．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质的运用，解答时根据折叠的性质求解是关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：关于直线对称的是图C，
故选：C．
根据轴对称的性质判断即可．
本题考查了轴对称的性质，成轴对称的两个图形既要考虑形状和大小，还要考虑位置．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：长方形有两条对称轴，故本选项不合题意；
B.垂直平分线段的直线就是线段的对称轴，故本选项不合题意；
C.角的对称轴是角的平分线所在直线，故本选项不合题意；
D.角平分线所在的直线是角的对称轴，故本选项符合题意；
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
，，，，，
，
．
设，，则．
，，
，
，
．
同理，．
，
．
故选B．
本题考查了轴对称的性质，等边对等角的性质，三角形、四边形内角和定理．熟记各性质并确定出相等的角是解题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握其性质是解题关键．分别根据轴对称图形的性质判断得出即可．
【解答】
A.全等的两个图形不一定成轴对称，原说法错误，故A错误；
B.成轴对称的两个图形一定全等，原说法正确，故B正确；
C.两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁或这条直线上，原说法错误，故C错误；
D.两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁或这条直线上，原说法错误，故D错误．
故选B．  

7.【答案】D
 

【解析】解：根据折叠的性质，得
，，．
则阴影部分的周长矩形的周长．
故选：D．
根据折叠的性质得，，，则阴影部分的周长即为矩形的周长．
此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：，BD平分，
设，则，
，
第一次折叠可得：，，
第二次折叠可得：，，，
，
，
在三角形BDC中，由内角和定理可得：
，
解得：，
即，
，
，
，
，
．
故选：D．
设，由折叠的性质可得到，在三角形BDC中，由内角和定理列出方程可得到，得到的度数，再证明，从而可得．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】 如图，过B作直线AC于N，于M，

将沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的处，

，

，，

，

的面积等于9，边，

，

，

，

即点B与直线AD上的点所连线段的长度的最小值为6，

10.【答案】C
 

【解析】解：当等腰三角形的腰和底相等时，等腰三角形的对称轴有3条．
因此等腰三角形的对称轴最多有3条．
故选：C．
当等腰三角形的腰和底不相等时，等腰三角形的对称轴只有一条．但是当等腰三角形的腰和底相等的情况下，即为等边三角形时，其对称轴有3条．
本题主要考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；本题很易出错，往往漏掉等边三角形的情况，做题时，思考要全面．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：A、直线不能平分，故本选项错误；
B、符合轴对称的性质，故本选项正确；
C、两个三角形形状、大小完全相同，它们不一定成轴对称，故本选项错误；
D、两个图形关于某直线对称，不一定对称点一定在这条直线的两旁，故本选项错误．
故选：B．
根据轴对称的性质对各选项进行分析即可．
本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：由于对称轴的不同，作一个图形的轴对称图就可以作多个，因此选项A不符合题意；
B.由于选择的对称轴的数量可以是无数条，因此作一个图形的轴对称图形就可能作无数个，所以选项B不符合题意；
C.因为选取对称轴的不同，所以作一个图形的轴对称图形可有无数个，是正确的，因此选项C符合题意；
D.不规则的复杂图形也存在对称图形，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的意义和性质进行判断即可．
本题考查轴对称图形以及轴对称图形的性质，理解轴对称图形的意义，掌握轴对称图形的性质是正确判断的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
，，，
，厘米，
，
，
是等边三角形，
，厘米，
厘米，，
厘米，
厘米，
故答案为：．
由折叠的性质得出，，，得出，厘米，由等腰三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，厘米，厘米，证出，由勾股定理得出厘米，即可得出结果．，
此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．
 

14.【答案】24
 

【解析】解：四边形ABCD的对称轴是AD所在的直线，，，
，，
四边形ABCD的周长为：．
故答案为：24．
直接利用轴对称图形的性质得出AB，CD的长，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出AB，CD的长是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由翻折的性质可知：，，
．
．
故答案为：．
先由翻折的性质得到，，从而可知，然后根据余角的性质即可得到结论．
本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．
 

16.【答案】32cm
 

【解析】解：由折叠的性质知，，．
所以矩形的周长等于和的周长的和为．
故矩形ABCD的周长为32cm．
故答案为：32cm．
根据折叠的性质易知矩形ABCD的周长等于和的周长的和．
本题考查了折叠的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，作点B关于AC的对称点，
过点作于点D，交AC于点P，
点P即为所求作的点，此时有最小值，
连接，根据对称性的性质，
，
在中，，，，
，
，，，
≌，
，
即，
，
．
故答案为：．
作点B关于AC的对称点，过点作于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，，证明≌，根据，即可求出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

18.【答案】3
 

【解析】解：由勾股定理得，，
由折叠的性质可得，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：3．
由勾股定理可求AC的长，由折叠的性质可得，，，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，将问题转化到一个直角三角形中是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可知，和关于直线AE成轴对称，
所以，．
因为的周长为，的周长为，
即，，
所以四边形纸片ABCD的周长为



．
 

【解析】略
 

20.【答案】解：和D，C和E，A和A，F和任写两对即可

，，，，．

和，和．

【解析】略
 

21.【答案】解：如图



 

【解析】要使货站到A、B两个开发区的距离相等，可连接AB，线段AB中垂线与MN的交点即为货站的位置；
由于两点之间线段最短，所以过点A作关于MN对称，连接，与MN的交点即为货栈站的位置，
熟练掌握中垂线的性质，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题．
 

22.【答案】解：由折叠可得，，
设，则，
在中，，
，
解得，
，；

如图所示，过G作于M，
，，，且，
，
，
即阴影部分的面积为．
 

【解析】设，则，依据勾股定理列方程，即可得到AE和DE的长；
过G作于M，依据面积法即可得到GM的长，进而得出阴影部分的面积．
本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

23.【答案】解：，Q关于OA对称，
垂直平分线段PQ，
，
，
．

，R关于OB对称，
垂直平分线段PR，
，
．
 

【解析】利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题．
利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．
本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：的最小值为10．
 

【解析】略
 

25.【答案】解：解：如图所示：

如图1所示是所画图形，


如图2所示，点P为所求作的点，


 

【解析】此题主要考查了复杂作图，利用基本作图得出角平分线与线段垂直平分线是解题的关键，培养了学生动手作图的能力．
首先作出的角平分线OW，以及作出CD垂直平分线MN，交角平分线的点就是E点．
根据图形的对称的性质找出点B，C的对称点即可，
先找出点C的对称点连接与直线l的交点为P．