高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义学案设计

5.1 导数的概念及意义

1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

（1）定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.

（2）几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率

2、函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数

称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.

题型一 增量

例1　已知函数y＝f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)

A．3 B．3Δx－(Δx)2

C．3－(Δx)2 D．3－Δx

【答案】D

【分析】

先计算Δy，再求.

【详解】

Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，

∴＝－Δx＋3.选D.

已知函数的图像上的一点及邻近一点，则______．

【答案】

【分析】

代入B点坐标解得,再求比值.

【详解】

∵，

∴．

题型二 变化率

例 2　直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么为(    )

A．从时刻到时，物体的平均速度

B．从时刻到时位移的平均变化率

C．当时刻为时该物体的速度

D．该物体在时刻的瞬时速度

【答案】D

【分析】

根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.

【详解】

根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.

故选：D.

物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若Δt→0时，→9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)

A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率

B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率

C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率

D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率

【答案】C

【分析】

由函数瞬时变化率的定义知C正确．

【详解】

由函数瞬时变化率的定义知Δt→0时，表示物体在t＝1 s这一时刻的速率，所以选C.

题型三 导数的概念

例 3　若，则=________.

【答案】

【详解】

由极限的定义可得：

，.

故答案为：

已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝________.

【答案】

【分析】

根据导数定义可得f′（0）=,即可得到答案.

【详解】

f′（0）=

故答案为-3

题型四 几何意义

例 4　函数y＝f（x）的图象在A（2，f（2））处的切线方程是y＝3x﹣1，则＝_    _．

【答案】8

【分析】

由切线方程和导数的几何意义求出（2）和（2）的值，再相加即可．

【详解】

∵在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3x﹣1，

∴f（2）＝6﹣1＝5，f′（2）＝3，

∴f（2）+f′（2）＝8，

故答案为：8．

设为可导函数，，则在点处的切线斜率为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】

由导数的几何意义,求出在曲线上点处的导数,即求得在此点处切线的斜率.

【详解】

由已知得，函数在点处的切线的斜率为．

故选：C.

1、f(x)在x＝x0处可导，则 (　　)

A．与x0，Δx有关

B．仅与x0有关，而与Δx无关

C．仅与Δx有关，而与x0无关

D．与x0，Δx均无关

【答案】B

【解析】

由定义知函数在处的导数，只与有关

故选

2、已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为(　　)

A．2－Δx B．－2－Δx

C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx

【答案】B

【解析】

∵f(2)＝－22＋2×2＝0，

∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)

＝－2Δx－(Δx)2，

∴＝－2－Δx，故应选B.

3、函数y＝x2在区间[x0, x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　 ）

A．k1＞k2                        B．k1＜k2

C．k1＝k2                        D．k1与k2的大小关系不确定

【答案】A

【详解】

由题意结合函数的解析式有：

，

，

则，因为Δx可大于零，所以k1>k2.

4、已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)

A．2 B．2x

C．2＋Δx D．2＋(Δx)2

【答案】C

【解析】

＝2＋Δx.故应选C.

5、在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，平均变化率最大的是(　　)

A．④ B．③

C．② D．①

【答案】B

【解析】

Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.

6、蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为_________.

【答案】

【分析】

根据平均变化率定义求结果.

【详解】

∵＝－1.6(℃/min)，

∴从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min.

7、将物体以速度v0(v0＞0)竖直上抛，t s时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．

【答案】

【分析】

先计算,再根据Δt→0求.

【详解】

因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，

所以＝v0－gt0－gΔt.

当Δt趋近于0时，趋近于常数v0－gt0.

故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.