高考数学一轮复习第一章第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课时作业理含解析北师大版

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

授课提示：对应学生用书第269页

[A组　基础保分练]

1.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则（　　）

A.任意x∈Q，x∈P　　　　 B.任意x∉Q，x∉P

C.存在x∉Q，x∈P  D.存在x∈P，x∉Q

解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，由此可知A项错误，B项正确，C项错误，D项错误.

答案：B

2.若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则非p为（　　）

A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0

B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0

C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0

解析：命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定非p：存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0.

答案：D

3.命题p：存在常数列不是等比数列，则命题非p为（　　）

A.任意常数列不是等比数列

B.存在常数列是等比数列

C.任意常数列都是等比数列

D.不存在常数列是等比数列

解析：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题非p：任意常数列都是等比数列.

答案：C

4.（2021·淮北模拟）命题p：若向量a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin（α＋β）＝0.下列命题为真命题的是（　　）

A.p  B.非q

C.p且q  D.p或q

解析：当a，b方向相反时，a·b＜0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；

若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin（α＋β）＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.

答案：D

5.（2021·惠州模拟）设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则对任意的x∈R，f（－x）≠f（x）.命题q：f（x）＝x|x|在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数.则下列判断错误的是（　　）

A.p为假命题　　　　　　　 B.非q为真命题

C.p或q为真命题  D.p且q为假命题

解析：函数f（x）不是偶函数，仍然存在x，使得f（－x）＝f（x），p为假命题；f（x）＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题.所以p或q为假命题.

答案：C

6.若命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－，）

B.（－∞，－）∪[，＋∞）

C.[－，]

D.（－∞，－]∪（，＋∞）

解析：命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“任意x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

答案：C

7.（2021·株洲模拟）已知命题p：任意x＞0，ex＞x＋1，命题q：存在x∈（0，＋∞），ln x≥x，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且q　　　　　　　 B.（非p）且q

C.p且（非q）  D.（非p）且（非q）

解析：令f（x）＝ex－x－1，则f′（x）＝ex－1，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，所以ex＞x＋1，命题p为真命题；

令g（x）＝ln x－x，x＞0，则g′（x）＝－1＝，x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，＋∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）max＝g（1）＝－1＜0，所以g（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以q假.

答案：C

8.若命题“任意x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则实数k的取值范围是（　　）

A.（－4，0）  B.（－4，0]

C.（－∞，－4]∪（0，＋∞）  D.（－∞，－4）∪[0，＋∞）

解析：命题：“任意x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题.当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0，且Δ＝（－k）2－4×k×（－1）＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0.综上所述，实数k的取值范围是（－4，0].

答案：B

9.若命题p的否定是“任意x∈（0，＋∞）， ＞x＋1”，则命题p可写为“　　　　　　　　　　　　”.

解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案：存在x∈（0，＋∞），≤x＋1

10.已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，则x＝__________.

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，

由题意，得x＝－2.

答案：－2

[B组　能力提升练]

1.（2021·西安模拟）下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非q’为真”的是（　　）

A.p：y＝在定义域内是减函数；q：f（x）＝ex＋e－x是偶函数

B.p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0；q：x>1是x>2成立的充分不必要条件

C.p：x＋的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆（x－3）2＋y2＝25截得的弦长为3

D.p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是（2，0）；q：过椭圆＋＝1的左焦点的最短的弦长是3

解析：A.y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数.则命题p是假命题；易知q是真命题，则非q是假命题，不满足题意.

B.判别式Δ＝1－4＝－3<0，则对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题；x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非q’为真”，故B满足题意.

C.当x<0时，x＋的最小值不是6，则p是假命题；圆心到直线的距离d＝＝＝3，则弦长＝2＝8，则q是假命题，则p或q为假命题，不满足题意.

D.抛物线y2＝8x的焦点坐标是（2，0），则p是真命题；椭圆的左焦点为（－1，0），当x＝－1时，y2＝，则y＝±，则最短的弦长为×2＝3，即q是真命题，则非q是假命题，不满足题意.

答案：B

2.已知直线m，n，平面α，β，命题p：若α∥β，m∥α，则m∥β；命题q：若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.下列是真命题的是（　　）

A.p且q  B.p或（非q）

C.p且（非q）  D.（非p）且q

解析：对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⃘β才能推出m∥β，所以命题p为假命题，命题非p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题非q为假命题.所以（非p）且q为真命题.

答案：D

3.（2021·南昌模拟）设命题p：存在x∈（0，＋∞），x＋＞3，命题q：任意x∈（2，＋∞），x2＞2x，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且（非q）  B.（非p）且q

C.p且q  D.（非p）或q

解析：命题p：存在x∈（0，＋∞），x＋＞3，当x＝3时，3＋＞3，命题为真.命题q：任意x∈（2，＋∞），x2＞2x，当x＝4时，两式相等，命题为假，则p且（非q）为真.

答案：A

4.（2021·汕头模拟）已知命题p：任意x∈[0，1]，a≥ex；命题q：存在x∈R，x2＋4x＋a＝0.若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（4，＋∞）  B.[1，4]

C.[e，4]  D.（－∞，－1）

解析：∵任意x∈[0，1]，a≥ex，∴a≥（ex）max，可得a≥e.∵存在x∈R，x2＋4x＋a＝0，∴Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.∵命题p且q是真命题，∴p与q都是真命题，∴实数a的取值范围是[e，4].

答案：C

5.若存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是__________.

解析：因为存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，所以任意x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即任意x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f（x）＝2x＋，则f′（x）＝2－，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，所以f（x）≥f＝2，则λ≤2.

答案：（－∞，2]

6.已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题：

①p或q；②p且q；③（非p）且（非q）；④（非p）或q.

其中为假命题的序号为__________.

解析：显然命题p为真命题，非p为假命题.因为f（x）＝x2－x＝－，所以函数f（x）在区间上单调递增.所以命题q为假命题，非q为真命题.所以p或q为真命题；p且q为假命题，（非p）且（非q）为假命题，（非p）或q为假命题.

答案：②③④

[C组　创新应用练]

1.不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：任意（x，y）∈D，x－2y≥2；

p2：存在（x，y）∈D，x－2y≥3；

p3：任意（x，y）∈D，x－2y≥；

p4：存在（x，y）∈D，x－2y≤－2.

其中的真命题是（　　）

A.p2，p3  B.p1，p4

C.p1，p2  D.p1，p3

解析：不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，

由解得

所以M.

由图可知，当直线z＝x－2y过点M处时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，

所以真命题是p2，p3.

答案：A

2.已知命题p：任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f（x）＝（2a－5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p且（非q）是真命题，则实数a的取值范围是__________.

解析：因为任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f（x）＝（2a－5）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p且（非q）是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞）.

答案：∪［3，＋∞）