高考数学一轮复习第一章第一节集合课时作业理含解析北师大版

第一章 第一节 集合

授课提示：对应学生用书第265页

[A组　基础保分练]

1.设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有（　　）

A.5个　　　　　　　 B.4个

C.3个  D.无数个

解析：依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素.

答案：C

2.（2021·宣城模拟）如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A.{2，4}  B.{7，8}

C.{1，3，5}  D.{1，2，3，4，5}

解析：由题图可知阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以（∁UA）∩B＝{2，4}.

答案：A

3.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）

A.{－1，0，1}  B.{0，1}

C.{－1，1，2}  D.{1，2}

解析：A∩B＝{－1，0，1，2}∩（0，3）＝{1，2}.

答案：D

4.（2021·保定模拟）已知A＝{x|lg x＞0}，B＝{x||x－1|＜2}，则A∪B＝（　　）

A.{x|x＜－1或x≥1}  B.{x|1＜x＜3}

C.{x|x＞3}  D.{x|x＞－1}

解析：A＝{x|lg x＞0}＝{x|x＞1}，B＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＞－1}.

答案：D

5.已知集合A＝{x|（x＋1）（x－1）≤0}，B＝{x|0＜x≤1}，则∁AB＝（　　）

A.{x|－1≤x≤0}  B.{x|－1≤x＜0}

C.{x|x≤0}  D.{x|0≤x≤1}

解析：A＝{x|－1≤x≤1}，∁AB＝{x|－1≤x≤0}.

答案：A

6.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A.{2}  B.{2，3}

C.{－1，2，3}  D.{1，2，3，4}

解析：由条件可得A∩C＝{1，2}，故（A∩C）∪B＝{1，2，3，4}.

答案：D

7.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为（　　）

A.1  B.2

C.4  D.8

解析：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}.所以集合A∩B的子集个数为22＝4.

答案：C

8.定义P⊙Q＝，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，则P⊙Q＝（　　）

A.{1，－1}  B.{1，－1，0}

C.  D.

解析：x，y取不同值时z的值如下表所示.

所以P⊙Q＝.

答案：C

9.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有　　　　个.

解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.

答案：6

10.已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为__________.

解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.

答案：[1，＋∞）

[B组　能力提升练]

1.已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A.9  B.8

C.5  D.4

解析：法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数.

答案：A

2.（2021·厦门模拟）已知集合A＝{x|x2－4x＋3＞0}，B＝{x|x－a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　）

A.（3，＋∞）  B.[3，＋∞）

C.（－∞，1）  D.（－∞，1]

解析：A＝{x|x2－4x＋3＞0}＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}.因为B⊆A，所以a≤1.

答案：D

3.（2021·许昌、洛阳模拟）已知集合A＝{x|y＝}，B＝（0，1），则A∩B＝（　　）

A.（0，1）  B.（0，1]

C.（－1，1）  D.[－1，1]

解析：由题意得A＝[－1，1]，又B＝（0，1），所以A∩B＝（0，1）.

答案：A

4.已知集合A＝{y|y＝x，0≤x≤1}，B＝{y|y＝kx＋1，x∈A}，若A⊆B，则实数k满足（　　）

A.k＝－1  B.k＜－1

C.－1≤k≤1  D.k≤－1

解析：因为A＝{y|y＝x，0≤x≤1}＝{y|0≤y≤1}，所以B＝{y|y＝kx＋1，x∈A}＝{y|y＝kx＋1，0≤x≤1}，又因为A⊆B，所以或解得k≤－1.所以实数k的取值范围为k≤－1.

答案：D

5.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝__________.

解析：集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因为log3（2－x）≤1＝log33，所以0＜2－x≤3，所以－1≤x＜2，所以B＝{x|－1≤x＜2}，所以∁UB＝{x|x＜－1或x≥2}，所以A∩（∁UB）＝{x|x＜－1或x≥2}.

答案：{x|x＜－1或x≥2}

6.已知集合A＝{x|y＝log2（x＋1）}，集合B＝，则A∩B＝__________.

解析：集合A为函数y＝log2（x＋1）的定义域，即A＝{x|x＞－1}，集合B为函数y＝，x＞0的值域，即B＝{y|0＜y＜1}，所以两个集合的交集为（0，1）.

答案：（0，1）

[C组　创新应用练]

1.已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　）

A.mn  B.m＋n

C.n－m  D.m－n

解析：因为（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素.

答案：D

2.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合.

其中错误结论的序号是__________.

解析：①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉（A1∪A2），故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确.

答案：①③

3.高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有　　　　人.

解析：记高一（1）班的学生组成全集U，参加数学和物理兴趣小组的学生分别组成集合A和B，用Venn图表示它们之间的关系如图所示，可得数学、物理两个兴趣小组都没有参加的学生有9人.

答案：9

4.设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝__________.

解析：不等式＜2x＜8的解为－3＜x＜3，

所以B＝（－3，3）.

若x∈A∩B，则，

所以[x]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.

若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]＜0，没有实数解；

若[x]＝－1，则x2＝1，得x＝－1；

若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解；

若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解；

若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝.

因此，A∩B＝{－1，}.

答案：{－1，}