高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示课时作业理含解析北师大版

第二章 第一节 函数及其表示

授课提示：对应学生用书第271页

[A组　基础保分练]

1.（2021·宣城模拟）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－1，3]　　　　　　　 B.（－1，0）∪（0，3]

C.[－1，3]  D.[－1，0）∪（0，3]

解析：由已知得解得x∈（－1，0）∪（0，3].

答案：B

2.（2021·吉安模拟）已知f＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（　　）

A.  B.－

C.  D.－

解析：令t＝x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，则f（a）＝4a－1＝6，解得a＝.

答案：A

3.已知定义在[0，＋∞）上的函数f（x）＝2f（x＋1），当x∈[0，1）时，f（x）＝，则当x∈[1，2）时，f（x）＝（　　）

A.－   B.

C.   D.－

解析：根据f（x）＝2f（x＋1）得f（x－1）＝2f（x）.当x∈[1，2）时，x－1∈[0，1），f（x－1）＝＝，所以f（x）＝f（x－1）＝ .

答案：B

4.（2021·芜湖模拟）如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a的值为（　　）

A.－2  B.－1

C.1  D.2

解析：因为－2x＋a＞0，所以x＜，所以＝1，得a＝2.

答案：D

5.（2021·邢台模拟）下列函数满足f（log32）＝f（log23）的是（　　）

A.f（x）＝2x＋2－x  B.f（x）＝x2＋2x

C.f（x）＝  D.f（x）＝

解析：由于log32＝，故问题等价于满足f（x）＝f的函数.对于A选项，f＝2＋2－≠f（x），不符合题意；对于B选项，f＝＋≠f（x），不符合题意；对于C选项，f（x）＝x＋，f＝＋x＝f（x），符合题意；对于D选项，f＝＝≠f（x），不符合题意.

答案：C

6.（2021·揭阳模拟）已知函数f（x）＝2x2－a，f（）＝，则f（－）＝（　　）

A.1  B.－

C.  D.

解析：依题意f（）＝23－a＝＝2－2，故3－a＝－2，解得a＝5.故f（x）＝2x2－5，所以f（－）＝22－5＝2－3＝.

答案：D

7.已知函数y＝f（2x－1）的定义域是[0，1]，则函数的定义域是（　　）

A.[1，2]  B.（－1，1]

C.  D.（－1，0）

解析：由f（2x－1）的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f（x）的定义域是[－1，1]，所以要使函数有意义，需满足解得－1<x<0.

答案：D

8.设函数f（x）＝则满足f[f（a）]＝2f（a）的a的取值范围是（　　）

A.  B.[0，1]

C.  D.[1，＋∞）

解析：由f[f（a）]＝2f（a）得，f（a）≥1.

当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1；

当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.

综上，a≥.

答案：C

9.（2021·郴州模拟）已知函数f（x）＝若f（f（－2））＝－2，则a＝__________.

解析：f（f（－2））＝f（3）＝a＝－2.

答案：－2

10.设函数f（x）＝若f（a）<1，则实数a的取值范围是__________.

解析：若a<0，则f（a）<1⇔－7<1⇔<8，解得a>－3，故－3<a<0；若a≥0，则f（a）<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1.综上可得－3<a<1.

答案：（－3，1）

[B组　能力提升练]

1.（2021·聊城模拟）已知函数f（x）＝

则f（2 019）＝（　　）

A.2　　 B.　　　

C.－2　　　 D.e＋4

解析：因为当x＞2时，f（x）＝－f（x－2），所以f（x＋2）＝－f（x），故f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），因此当x＞2时，函数f（x）是以4为周期的函数，所以f（2 019）＝f（3＋4×504）＝f（3）＝－f（1），又当x≤2时，f（x）＝ex－1＋x2，所以f（2 019）＝－f（1）＝－（1＋1）＝－2.

答案：C

2.设f（x），g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f·g）（x）：任意x∈R，（f·g）（x）＝f（g（x））.若f（x）＝g（x）＝则（　　）

A.（f·f）（x）＝f（x）　　　　 B.（f·g）（x）＝f（x）

C.（g·f）（x）＝g（x）  D.（g·g）（x）＝g（x）

解析：对于A选项，（f·f）（x）＝f（f（x））＝当x＞0时，f（x）＝x＞0，（f·f）（x）＝f（x）＝x；当x＜0时，f（x）＝x2＞0，（f·f）（x）＝f（x）＝x2；当x＝0时，f（x）＝0，（f·f）（x）＝f2（x）＝0＝f（x），因此对任意的x∈R，都有（f·f）（x）＝f（x），故A正确.

答案：A

3.（2021·大庆模拟）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有（　　）

A.1个  B.2个

C.3个  D.4个

解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个.

答案：C

4.（2021·乌鲁木齐模拟）函数f（x）＝则不等式f（x）＞1的解集为（　　）

A.（1，2）  B.

C.  D.[2，＋∞）

解析：当x＜2时，不等式f（x）＞1即ex－1＞1，

∴x－1＞0，∴x＞1，则1＜x＜2；

当x≥2时，不等式f（x）＞1即－log3（x－1）＞1，

∴0＜x－1＜，∴1＜x＜，此时不等式无解.

综上可得，不等式的解集为（1，2）.

答案：A

5.（2021·荆州模拟）已知函数f（x）＝

若f（f（1））＞3a2，则a的取值范围是__________.

解析：由题知，f（1）＝2＋1＝3，f（f（1））＝f（3）＝32＋6a，若f（f（1））＞3a2，则9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.

答案：（－1，3）

6.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是__________.

解析：由题意知y＝ln x（x≥1）的值域为[0，＋∞），故要使f（x）的值域为R，则必有y＝（1－2a）x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜.

答案：

[C组　创新应用练]

1.下列函数中，不满足f（2 018x）＝2 018f（x）的是（　　）

A.f（x）＝|x|　　　　　　　 B.f（x）＝x－|x|

C.f（x）＝x＋2  D.f（x）＝－2x

解析：若f（x）＝|x|，则f（2 018x）＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f（x）；若f（x）＝x－|x|，则f（2 018x）＝2 018x－|2 018x|＝2 018（x－|x|）＝2 018f（x）；若f（x）＝x＋2，则f（2 018x）＝2 018x＋2，而2 018f（x）＝2 018x＋2 018×2，故f（x）＝x＋2不满足f（2 018x）＝2 018f（x）；若f（x）＝－2x，则f（2 018x）＝－2×2 018x＝2 018×（－2x）＝2 018f（x）.

答案：C

2.（2021·郑州模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（　　）

A.{0，1，2，3}  B.{0，1，2}

C.{1，2，3}  D.{1，2}

解析：f（x）＝＝＝1＋，

因为2x＞0，所以1＋2x＞1，所以0＜＜1，

则0＜＜2，所以1＜1＋＜3，

即1＜f（x）＜3，

当1＜f（x）＜2时，[f（x）]＝1，

当2≤f（x）＜3时，[f（x）]＝2.

综上，函数y＝[f（x）]的值域为{1，2}.

答案：D

3.设f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋2）＝f（x），f（x）＝其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若f＝f，则的取值范围为__________.

解析：因为f（x＋2）＝f（x），所以f＝f＝（）2f＝2eb，f＝f＝f＝＝（a－1），因为f＝f，所以（a－1）＝2eb，所以a＝eb＋1，因为b为正实数，所以＝＝e＋∈（e，＋∞）.故的取值范围为（e，＋∞）.

答案：（e，＋∞）