高中数学1.1算法案例分析精练

第二章　算法初步

1　算法的基本思想

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．能设计算法求解下列各式中S的值的是(　　)

①S＝＋＋＋…＋；

②S＝＋＋＋…＋＋…；

③S＝＋＋＋…＋(n为确定的正整数)．

A．①②　　　　　　 B．①③

C．②③  D．①②③

解析：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解，易知①③能设计算法求解．

答案：B

2．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是(　　)

A．只能设计一种算法

B．可以设计两种算法

C．不能设计算法

D．不能根据解题过程设计算法

答案：B

3．对于一般的二元一次方程组在写解此方程组的算法时，需要注意的是(　　)

A．a1≠0  B．a2≠0

C．a1b2－a2b1≠0  D．a1b1－a2b2≠0

答案：C

4．下面给出的是一个已打乱的“找出a，b，c，d四个数中最大值”的算法：

①max＝a，②输出max，③如果max<d，则max＝d，④如果b>max，则max＝b，⑤输入a，b，c，d四个数，⑥如果c>max，则max＝c.正确的步骤序号为(　　)

A．⑤①④⑥③②  B．⑤②④③⑥①

C．⑤⑥③④①②  D．⑤①④⑥②③

答案：A

5．已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b.写出求斜边长c的算法如下：

第一步，输入两直角边长a，b的值．

第二步，计算c＝ 的值．

第三步，________________．

将算法补充完整，横线处应填____________________．

答案：输出斜边长c的值

6．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：

第一步，取A＝89，B＝96，C＝99；

第二步，_______________________________________________________；

第三步，________________________________________________________；

第四步，输出计算的结果．

解析：应先计算总分D＝A＋B＋C，然后再计算平均成绩E＝.

答案：计算总分D＝A＋B＋C　计算平均成绩E＝

7．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请将其补充完整．

1．求1×3得结果；

2．将第1步所得结果3乘5，得到结果15.

3．________________．

4．再将第3步所得结果105乘9，得945.

5．再将第4步所得结果945乘11，得到10 395，即为最后结果．

解析：由于第2步是计算3×5，故第3步应是计算第3次乘法15×7.

答案：再将第2步所得结果15乘7，得到结果105

8．下面是解决一个问题的算法：

第一步，输入x.

第二步，若x≥6，转到第三步；否则，转到第四步．

第三步，输出3x－2，结束算法．

第四步，输出x2－2x＋4.

当输入x的值为________时，输出的数值最小，且最小值为________．

解析：所给算法解决的是求分段函数f(x)＝的函数值的问题．当x≥6时，f(x)＝3x－2≥3×6－2＝16，当x<6时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，所以f(x)min＝3，此时x＝1，即当输入x的值为1时，输出的数值最小，且最小值是3.

答案：1　3

9．在一个笼子里，关了一些鸡和兔，数它们的头一共有36个，数它们的脚一共有100只，问鸡和兔各多少只？这个问题被称为“鸡兔同笼”问题，它是我国古代的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目．用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个解决此问题的通用算法．

解析：设鸡、兔的总头数为H，总脚数为F，求鸡、兔各有多少只．

算法如下：

第一步，输入总头数H，总脚数F.

第二步，计算鸡的只数x＝.

第三步，计算兔的只数y＝.

第四步，输出x，y的值．

10．已知直线l1：3x－y＋12＝0和直线l2：3x＋2y－6＝0，设计算法求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积．

解析：算法如下：

第一步，解方程组得l1，l2的交点为P(－2，6)．

第二步，在方程3x－y＋12＝0中，令x＝0，得y＝12，从而得到l1与y轴的交点为A(0，12)．

第三步，在方程3x＋2y－6＝0中，令x＝0，得y＝3，从而得到l2与y轴的交点为B(0，3)．

第四步，求出△ABP的边长AB＝12－3＝9.

第五步，求出△ABP的边AB上的高h＝2.

第六步，根据三角形的面积公式计算S＝·AB·h＝×9×2＝9.

第七步，输出S.

[B组　能力提升]

1．对于解方程x2－2x－3＝0的下列步骤：

①设f(x)＝x2－2x－3；

②计算判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0；

③作f(x)的图像；

④将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.

其中可作为解方程的算法的有效步骤为(　　)

A．①②  B．②③

C．②④  D．③④

解析：解一元二次方程可分为两步：确定判别式和代入求根公式，故②④是有效的，①③不起作用．

答案：C

2．一个算法的步骤如下：

第一步，令i＝0，S＝2.

第二步，如果i≤15，则执行第三步；否则执行第六步．

第三步，计算S＋i并用结果代替S.

第四步，用i＋2的值代替i.

第五步，转去执行第二步．

第六步，输出S.

运行该算法，输出的结果S＝________．

解析：由题中算法可知S＝2＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝58.

答案：58

3．给出下面的算法：

第一步，输入x.

第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．

第三步，输出x－1.

当输入的x的值分别为－1，0，1时，输出的结果分别为________、________、________．

解析：该算法实际上是分段函数f(x)＝

∴f(－1)＝－1＋2＝1，f(0)＝0－1＝－1，f(1)＝1－1＝0.

答案：1　－1　0

4．下面给出了一个解决问题的算法：

1．输入x.

2．若x≤3，则执行第3步，否则执行第4步．

3．使y＝2x－1.

4．使y＝x2－2x＋4.

5．输出y.

则这个算法解决的问题是________．

答案：求分段函数y＝的函数值

5．已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．

解析：算法如下：

第一步，输入x的值．

第二步，当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行第三步．

第三步，当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行第四步．

第四步，计算y＝x2.

第五步，输出y.

6．从古印度的汉诺塔传说中演变出一个汉诺塔游戏：如图有三根杆子A，B，C，A杆上有三个碟子(自上到下逐渐变大)，每次移动一个碟子，要求小的只能叠在大的上面，最终把所有碟子从A杆移到C杆上．试设计一个算法，完成上述游戏．

解析：第一步，将A杆最上面的碟子移到C杆上．

第二步，将A杆最上面的碟子移到B杆上．

第三步，将C杆上的碟子移到B杆上．

第四步，将A杆上的碟子移到C杆上．

第五步，将B杆最上面的碟子移到A杆上．

第六步，将B杆上的碟子移到C杆上．

第七步，将A杆上的碟子移到C杆上.