北师大版必修43.1数乘向量教学设计

                     《数乘向量》 教学设计

【设计理念】

1.体现学生是课堂的主人、学生是学习的主体的生本思想．

2.将学生的自主思考与教师的启发引导有机地结合在一起．

3.将发现式学习与有意义的接受式学习有机地融汇成一体．

【教材分析】

  本节是北师大高中教材必修四第二章第三节第一课时的教学内容.是在学生掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算，教材首先通过分析，让学生认识现实世界中存在着大量数与向量积的实际背景，从而引入数乘向量运算，引导学生理解数乘向量即是求几个相同向量的和，再讨论他们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后再过渡到一般的向量数乘运算的定义，引入向量数乘运算后，考察运算律就是水到渠成了，教材不要求对三个运算律作出证明，只要求会用就行。教材介绍完向量数乘运算律后，接着分析，在数乘向量的定义中实际上已经蕴含了向量共线的判定定理和性质定理，这两个定理给出了向量共线的一个充分必要条件。

  本小节中教材有三个例题，例1要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律，但不能让学生将本题简单地看做字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点；例2给出了利用定理证明向量共线的方法；例3给出了判断三点共线的一个方法。有了向量的线性运算，平面中的点，线段（直线）就可以用向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础。

【学习者特征分析】

认知特征：本班学生属于普通高中平行班，数学基础较好，学习自觉性和主动性较强，具备一定的自主探究学习能力.

知识基础：本班学生对《向量加、减法》（第二节）的知识掌握得比较好，并且能够灵活运用加法、减法法则，班级学习氛围浓厚，学生对本节课知识的学习和掌握基本具备知识基础，毕竟是高中普通班，迁移能力还是有待加强的．

学情分析：在学生掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难，重点是运算和几何意义的应用，以及向量共线定理的应用.

【教学目标】

1.通过经历探究数乘向量运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。

 2.理解两个向量共线的等价条件，能够运用两个向量共线的条件判断两向量是否平行。

3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神，通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。

【重点难点】

教学重点：数乘向量的几何意义、运算律；两个向量共线的等价条件及其运用

教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用

【课时安排】

1课时

【教学媒体】

多媒体教室，直尺

【教学流程】

针对本节课内容的重点和难点，采取创设情境→提炼概念→解决问题→提炼方法→课堂小结→作业布置的教学设计思路，具体教学流程如下：

【教学过程】

一、创设情境

教师活动1：讲解现实生活中的例子，引发学生思考生活中的向量.

学生活动1：学生思考，体会数学与生活的紧密结合.

引例：在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上，光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的倍.

设计意图：让学生真实感受下，在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间存在着倍数关系，因此，有必要定义实数与向量积的运算.让学生体会数学也来源于生活，应用于生活.

教师活动2：提问学生回忆向量的加法、减法法则，为本节的作图做知识准备.

学生活动2：学生口答向量加法、减法法则.

前面两节，我们一起学习了向量的加法、减法运算，先来回忆这两个运算法则的特点，加法法则的三角形法则（满足首尾相接，起点指终点），平行四边形法则（同起点，对角为和），减法法则的平移同起点方向指被减。这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广。

设计意图：让学生回顾所学知识，为下一步作图做铺垫，起到承上启下的作用.

二、新知探究

已知非零向量，求作.

                     O        A         B         C   

 记，其中  与方向相同，   

教师活动3：学生已在导学案上完成作图，教师通过多媒体展示作图结果，供学生参考对照.让学生观察与图示的方向，并提问学生两个向量模长之间的关系.

学生活动3：结合课件展示结果，对照作图是否正确，通过观察图示回答 与方向相同，

②已知非零向量，求作.

                     N         M         Q         P   

 记，其中  与方向相反，   

教师活动4：和前面的问题一样，学生先自主完成作图，并观察 与方向和模长情况.

学生活动4：对照作图是否正确，并回答老师提出的问题.

设计意图：通过两个例题的设计让学生直观感受实数乘以向量的结果如何，学生通过作图思考其几何意义是什么？引入本节课题.

三、提炼概念

教师活动5：从前面的实例发现，我们可以规定实数与向量的积是一个向量，这个积向量的方向、大小如何规定的呢？

学生活动5：结合实例尝试给出结论.

师生活动1：讨论、交流总结.

1.   设，是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，它的长度和方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；

     当时，的方向与的方向相反；

     当时，；

设计意图：抽象概括，提炼出数乘向量的概念，以及它的长度和方向之间的关系，培养学生抽象概括能力.

教师活动6：提出问题：“和分别与的关系如何？”

学生活动6：跟着老师的问题，作出思考并回答问题，也可相互之间讨论.

设计意图：再次通过从特殊到一般的数学思想，让学生体会数乘向量的几何意义.

师生共同活动2：通过归纳并总结数乘向量的几何意义.

2.   实数与向量相乘，的几何意义是表示向量的有向线段的伸长（）

或压缩（）

设计意图：通过分析特殊例题，让学生归纳总结出的几何意义，培养学生的抽象概括能力.

教师活动7：引入向量数乘运算后，同样考察这种运算的运算律是一个自然而然的问题，请结合实数的乘法运算律，类比向量数乘的运算律，并画图加以验证.

学生活动7：探讨、讨论、交流，并画图验证.

3.   （1）根据定义，求作向量和

教师活动8：观察图示，同学们能发现什么？教师继续提问，若将问题中的3用替换，2用替换，能得到什么结论？

学生活动8：学生观察、思考并回答.

,            （结合律）

设计意图：通过具体实数由画图法得到运算律的第一个关系式，让学生体会借助从特殊到一般的数学思想，同时验证数乘运算律的第一条。

（2）已知和，求作向量和

教师活动9：观察图示，同学们能发现什么？教师继续提问，若将问题中的2用替换，能得到什么结论？

学生活动9：学生观察、思考并回答.

,          （第二分配律）

设计意图：通过具体实数由画图法得到运算律的第三个关系式，让学生体会借助从特殊到一般的数学思想，同时验证数乘运算律的第三条.

师生共同活动3：讨论、交流总结数乘向量的运算律.

（3）设、为实数，那么                        

①　（结合律）

②　（第一分配律）

③　（第二分配律）

特别的：

     我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.

设计意图：通过板书数乘向量的运算律，让学生加深印象，随堂记忆，在课堂上就能够多次运算律相遇.

教师活动10：多媒体展示如下随堂小练习，让学生快速回答问题

（4）小试牛刀：

①　

②　

③　

学生活动10：学生口答答案，加深公式的理解记忆.

设计意图：向量的线性运算与代数的多项式运算类似，但不能让学生简单地看作是字母的运算或代数方程，要让学生体会它们的几何意义.

教师活动11：引入了向量数乘的运算后，我们从“数”的意义上对其运算律进行了探讨，我们也研究了它的几何意义，你能发现向量与原向量之间的位置关系吗？

学生活动11：讨论前面学习的与的关系，得到向量与原向量共线.

（5）思考交流1：数乘向量与原向量有什么样的位置关系？

     若记，则与共线

设计意图：通过对刚才所学知识的继续分析，让学生自己发现向量共线的判定定理，体会知识的连贯性.

教师活动12：我们知道有判定定理，就有性质定理，我们将刚才所得结论的条件和结论交换，看看能得到什么关系？让学生分小组来讨论，并形成组内答案，与大家分享你们的讨论结果.教师多媒体展示问题

（6）思考交流2：如果向量与向量共线，那么是否存在实数，使得？

①　若，则实数是什么呢？

②　若，则实数是什么呢？

③　若，则实数是什么呢？

④　若，则实数是什么呢？

学生活动12：分小组讨论，讨论老师提出的问题，得到组内的讨论成果与大家分享.

①　若，则实数是什么呢？    不存在

②　若，则实数是什么呢？    无数个

③　若，则实数是什么呢？    

④　若，则实数是什么呢？    或

教师活动13：归纳总结本节课的重点及难点：向量共线定理，并再次强调共线定理的条件，同时多媒体展示出共线定理的内容，并板书.

综上所述，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得，

          即 与 共线           

学生活动13：理解向量共线定理

设计意图：通过教师的提问，让学生探讨交流，带着老师提出的第一个问题，思考第二个问题，进而思考第三、第四个问题，层层递进，从而完整的给出向量共线的性质定理，帮助学生更好地理解向量共线定理里面的限制条件.教师要做到严谨教学，学生要形成考虑问题全面化的思想，培养学生分类讨论的数学思想.

四、例题讲解

教师活动14：向量共线与三点共线和两直线平行的联系与区别分别是什么？

学生活动14：学生思考探究，得出：向量的平行与直线的平行的区别在于直线平行不包括重合情况.

设计意图：为利用向量共线的判定定理证明三点共线作铺垫.

教师活动15：向量的共线定理分判定定理和性质定理，向量共线定理有什么用途？请同学们完成我们的例1，多媒体出示例1

例1：已知,试判断A、C、E三点是否共线？

学生活动15：了解本节课的学习目标，积极思考，完成例1

解：因为

所以，与共线，又因为与有公共点A，

所以A、C、E三点共线.

设计意图：教师引导学生用向量的判定定理来证明向量共线，再得到三点共线，让学生体会向量共线的判定定理的应用，突出本节课的重点及难点.

教师活动16：如果我们先已知了三点共线，那么能不能得到向量共线，得到向量共线能用来干什么？引导学生利用向量共线的性质定理，来完成例2.

例2：设和是两个不共线的向量，,

若三点共线，求的值

学生活动16：积极思考，完成例2，并在导学案上写出求解过程.

解：由三点共线可得，，即，

所以，

所以，即

设计意图：通过多媒体展示解题过程，让学生有个正确的书写过程.通过探索问题的解题思路，让学生经历探索问题、分析问题与解决问题的过程．

师生共同活动4：总结证明三点共线的方法，既要证明两个向量共线，还要强调两个向量有一个公共点.培养学生勤于思考，善于总结的习惯.

五、当堂检测

1. 下列命题中正确的有（    ）

①　；

②　；

③　若，则与共线；

④　，则.

（A）1个     （B）2个     （C）3个      （D）4个

2. 点C在线段AB上，且,则（     ）

            （A）     （B）     （C）      （D）

六、归纳小结

本节课我们学习了向量数乘运算的意义、几何意义、运算律；向量共线的条件是什么？用平行向量共线定理证明几何问题时的步骤是什么？在应用时应注意什么问题？

设计意图：（1）总结方法，引导学生建构知识系统；（2）启发学生把握整节课的重难点；（3）感悟提炼数学思想方法．

教师活动17：引导学生就以下四个方面讨论总结：

◆通过本节课，你收获了什么？

◆通过本节课，你发现了什么？

◆在本节课的学习中，你还有什么不明白的？

◆本节课后，你还想继续探究什么？

学生活动17：交流学习收获，分享学习经验，学会梳理知识．

设计意图：（1）通过学生的交流反馈，评估“教学目标”的实现程度；（2）通过学生谈“不明白”的地方，了解学生理解的深度；（3）通过谈“想继续探究什么”来开放教学时空，让学生“带着问题进课堂，带着更多的问题走出课堂”．

七、作业布置

1. 化简下列各式：

(1)

(2)

(3)

2. 设、是两个不共线的非零向量，若向量 与共线，求实数K的值.

3. 设、是两个不共线的非零向量，已知，，，试判断A、C、D三点是否共线？

数乘向量板书设计

《数乘向量》课后反思

《数乘向量》选自北师大版高中数学必修4第二章第三节第一课时．这节课是在前面学习了向量的加法、减法法则的基础上进行的，同时向量的共线定理又对后面学习“平面向量的基本定理”进行了铺垫，所以本节课起到了一个承上启下的作用.

在本节课的教学设计中，无论是概念的提炼，定理的发现还是定理的应用，都利用了启发式教育，教师的作用就是通过设置恰当的问题，给学生相关的提示，留一定的时间，独立思考，相互交流，共同探究，得到结论，及时应用，加深理解，随堂消化.使学生既能有效地理解掌握所学知识，也能积极地进行思考，探究.通过教学实践，取得了良好的效果.

这节课是数乘向量的第一课时，由于时间关系，未对课本例3的题型进行讲解，预计放到第二课时去讲解.本节课在录课时，有些紧张，导致有处口误，在例1的讲解时，学生回答应用的是向量共线的性质定理，当时未能及时纠正错误，

告诫自己以后上课时，精神方面要高度重视，能及时纠正教学过程中出现的失误.

     通过本次的教学我也认识到了一些自身存在的问题：上课时不够抑扬顿挫，以后在这方面还应该多加练习，对学生的学习积极性还未能充分调动起来，以后多些采取些措施，调动学生的积极性，在今后的教学中，还要多听课，多研究.