苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型精品一课一练

8.2函数与数学模型同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是   

A.  B.  C.  D.

2. 有一组实验数据如下表所示：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

A.  B.  C.  D.

3. 有一组实验数据如下表所示：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

A.  B.  C.  D.

4. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是

A.  B.  C.  D.

5. 茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律   

A.
B.
C. 且
D. 且

6. 某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为   

A.  B.
C.  D.

7. 下面给出了红豆生长时间月与枝数枝的图象，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是

A. 指数函数：
B. 对数函数：
C. 幂函数：
D. 二次函数：
 

8. 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据，则x，y的函数关系与下列函数最接近其中a，b为待定系数的是

A.  B.  C.  D.

9. 今有一组实验数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

A.  B.  C.  D.

10. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为参考数据   

A. 60 B. 62 C. 66 D. 63

11. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y与 其采摘后时间小时近似满足的函数关系式为为非零常数，若采摘后20小时，这种 水果失去的新鲜度为，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为那么采摘下来的这种水果 大约经过多长时间后失去新鲜度参考数据，结果取整数   

A. 33小时 B. 23小时 C. 35小时 D. 36小时

12. 在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为克，同时小明发现可以用指数型函数k为常数来描述以上糖块的溶解过程，其中单位：克代表分钟末未溶解糖块的质量，则   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某产品的总成本单位：万元与产量单位：台之间的函数关系式是，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时销售收入不小于总成本的最低产量是          台．
14. 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，，则总利润的最大值是          ．
15. 某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg，如果该地区人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x的解析式是          ．
16. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润单位：万元分别为，，其中x为销售量单位：吨若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为          万元．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

17. 某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍，且知病毒的繁殖规律为其中k为常数，t表示时间，单位：时，y表示病毒个数，则          ，经过5时，1个病毒能繁殖为          个
18. 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数，则       ，经过5小时，1个病毒能繁殖为       个
19. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位，其中Q表示燕子的耗氧量．则当燕子静止时的耗氧量是          单位；当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度是          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

20. 2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量单位：克的关系为：当时，y是x的二次函数；当时，测得数据如下表部分
     
     求y关于x的函数关系式；
     当该产品中的新材料含量x为何值时，产品的性能指标值最大．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某地为开拓当地的一种农产品销售市场，将该农产品进行网上销售．该地统计了一个月的网上销售情况，在30天内每斤的交易价格元与时间天组成有序数对，点恰好落在如图中的两条线段上；该农产品在30天内包括第30天的日交易量万斤与时间天满足，且已知第十天的交易量为20万斤．
     

根据提供的图象，写出该农产品每斤交易价格元与时间天所满足的函数关系式；

用万元表示该农产品日交易额日交易额每斤交易价格日交易量，求y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少？






 

22. 习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．

当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？






 

23. 南通地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．

求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；

若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数模型的应用，属于基础题．
根据题中数据画出散点图，由图可分析得答案．

【解答】

解：根据题中数据画出散点图，如图所示．

图上点大体分布在函数  的图象附近，故  可以近似地反映这些规律．
故选A．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的解析式的求解，而针对该类选择题，利用特值检验可以快速有效地解决，属于基础题．
因为所给数据无明显规律，且是选择题，故可用特值检验，排除错误答案即可求解．

【解答】

解：当时，
A、，B、，
C、，D、，可排除CD；
当时，A、，B、，可排除A．
故选B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的解析式的求解，而针对该类选择题，利用特值检验可以快速有效地解决，因为所给数据无明显规律，且是选择题，故可用特值检验，排除错误答案即可求解．
【解答】
解：当时，，，，，可排除CD；
当时，，，可排除A．
故选B．  

4.【答案】A
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了函数模型的应用，根据题中数据画出散点图，由图可分析得答案
【解答】
解：根据题中数据画出散点图，如图所示．

图上点大体分布在函数  的图象附近，故  可以近似地反映这些规律．故选A．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，属于基础题．
根据散点图结合各选项中函数模型即可得出结果．

【解答】

解：选项A中，函数的图象以y轴为对称轴，不符散点图；
选项B中，函数的图象是直线，不符散点图；
选项D中，，与y轴无限接近，与散点图不符．
故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数模型．
设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意得：  ，解方程即可．

【解答】

解：设年平均增长率为x，原生产总值为，

则，
解得，
故选D．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了由函数图象选解析式，属于基础题．

分析各选项中的函数，根据图象走势特征以及过点即可得答案．

【解答】

解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度快，且图象过点，
图象由指数函数来模拟比较好，
故选A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数模型的应用以及函数的图象，函数是描述数集之间的一种特殊的对应关系，运用集合与对应的语言来刻画、理解函数的概念，领悟函数就是一个数集到另一个数集的单值对应，理解同一个函数可以用不同的方法表示．
由题中表格数据画出散点图，由图观察它是指数型函数图象．
 

【解答】

解：由题中表格数据画出散点图：

观察图象，类似于指数函数，
分析选项可知模拟函数为．
故选A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查对数、二次函数、一次函数型模型．属于基础题．
将表中的值对比A，B，D三个选项的解析式可判断．
【解答】解：选项A中，当时，，当时，，显然A选项不满足；
B选项中，当，，，，时，，故B选项不满足；
D选项显然也不满足，
故选C．  

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题．
根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】
解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得．
故选D．  

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题．
根据题设条件先求出m、k，从而得到，据此可求失去新鲜度对应的时间．
【解答】
解：由题意函数关系式为，设由题意可得
解得，，，
故．
令，可得，
两边同时去对数，故小时．
故选A．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题．
根据题意先求得a，再利用已知代入函数模型进行求解即可．
【解答】
解：由题意可得，当时，，
因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为克，所以，解得 ．
故选C．  

13.【答案】150
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数模型的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意设产品的利润为万元，从而可根据利润得出最低产量．

【解答】

解：设产品的利润为万元，
总成本y与产量x之间的函数关系式是，
利润，
若生产者不亏本，则，
解得或舍去，即最低产量为150台．
故答案为150．

14.【答案】2500万元
 

【解析】

【分析】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查配方法的运用，正确确定函数表达式是关键．
先计算单位产品数Q时的总成本，再确定利润，利用配方法，即可求得结论．

【解答】

解：每生产一单位产品，成本增加10万元，单位产品数Q时的总成本为万元
，
利润
时，利润的最大值是2500万元
故答案为：2500万元

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了增长率的应用问题，指数函数模型的运用，属于基础题．
根据题意，设该乡镇现在人口量为a，求出x 年后粮食总产量与人口总数，再求出年人均粮食占有量即可．

【解答】

解：设该乡镇现在人口量为a，则该乡镇现在一年的粮食总产量为420akg，
1年后，该乡镇粮食总产量为，人口数量为，则人均1年占有粮食为，
2年后，人均一年占有粮食为，

x年后，人均一年占有粮食为，
即所求函数解析式为
故答案为

16.【答案】34
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求二次函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式，属于基础题．
先根据题意，设甲地销售x吨，则乙地销售吨，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．  

【解答】

解：设该公司在甲地销售该农产品x吨，则在乙地销售该农产品吨，
所以可得利润．
因为，所以当时，y取得最大值34，
即当该公司在这两地销售量分别为4吨，6吨时，总利润取得最大值34万元．
故答案为34．

17.【答案】 

1024

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数模型的应用，解题的关键是根据已知求出函数解析式．
由题意可得，在函数中，当时，，从而可求k，然后利用所求函数解析式可求当时的函数值．

【解答】

解：某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，
在函数中，当时，
，即，
当时，．
故答案为；1024．

18.【答案】

1024

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数模型的应用，解题的关键是根据已知求出函数解析式．
由题意可得，在函数中，当时，，从而可求k，然后利用所求函数解析式可求当时的函数值．
【解答】
解：某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，
在函数中，当时，
，即，
当时，．
故答案为；1024．  

19.【答案】10个

【解析】

【分析】

本题主要考查对数函数模型的应用，属于基础题．
由题意，令，求Q；令求v．

【解答】

解：由题意，令，
；
令，则．
故答案为：10个；．

20.【答案】解：当时，由题意，设，
由表格数据得，解得，
所以，当时，，
当时，，由表格数据可得，
解得，所以当时，，
综上，；
当时，，
         可知时，，         
当时，单凋递减，
        可知时，．
综上可得，当时，产品的性能指标值最大．
 

【解析】本题考查函数模型及二次函数和指数函数，属于中档题．
由表中数据，结合二次函数和指数函数，分段求解即可；
分段求出每一段的最大值，然后比较大小，得到整个定义域内的最大值．
 

21.【答案】解：当时，设，
将，带入上式，得，解之得
所以，当时，同理可求，
所以．
由，当时，，故得，
所以，
因为
当时，当时，y取得最大值80；
当时，当时，y取得最大值
所以，这30天中第10天的日交易额最大，最大值为80万元．
 

【解析】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题．
设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式．
求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值．
 

22.【答案】解：当时，该项目获利为S，
则，
当时，，
因此，该项目不会获利当时，S取得最大值，
所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

当时，，
所以当时，取得最小值240；
当时，
，
当且仅当，即时，取得最小值200，
因为，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
 

【解析】本题考查函数模型的构建，考查函数的最值、基本不等式的应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式，属于中档题．
先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； 
确定生活垃圾的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
 

23.【答案】解由题意知，k 为常数，
，，
 
；
由，
可得，
当时，，
令，当时单调递减，当时单调递增，
当时取得最小值，
则在时取得最大值，最大值为．
当时，，当时等号成立，
综上，当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
 

【解析】本题主要考查分段函数的应用，函数最值，属于中档题．
由题意知为常数，将代入即可得出的表达式及的值；
由，可得，利用分段函数的单调性和对勾函数的性质，分别求出各段的最大值即可得出结果．