【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第20讲 数学与数学模型 讲义

第20讲 数学与数学模型

【知识梳理】

知识点一　几类已知函数模型

知识点二　应用函数模型解决问题的基本过程

用函数模型解应用题的四个步骤

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

【典型例题】

考点一 选择函数模型

1. 在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在以下四个函数模型中，，为常数，最能反映，间函数关系的可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：将这组数据在直角坐标系中绘出，

依据散点图以及指数型函数图像的特征，即可判断选项较为准确，

故选：．

2. 若三个变量，，，随着变量的变化情况如下表．

则关于分别呈函数模型：，，变化的变量依次是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型变化，

随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，

相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化．

故选：．

考点二 指数模型与对数模型

3. 据统计，第年到滨河国家湿地公园越冬的白鹤数近似满足，观测发现第1年有越冬白鹤300只，估计第7年有越冬白鹤　　

A．700只 B．600只 C．500只 D．400只

【解答】解：第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只近似满足，

第1年有越冬白鹤300只，

，，

，解得，

当时，，解得．

故选：．

4. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中，为时间（单位：，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，，，，代入，

，解得，

故，解得．

故选：．

5. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，则的值约为　　．（参考数据：，

A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1

【解答】解：设数量没有扩增前数量为，

由题意可得，，即，

所以，即，

故．

故选：．

6. 点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量△与传播距离（单位：米）的关系视为（单位：，取，则从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，，当时，，

则衰减量的增加值约为．

故选：．

7. 我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后，厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注，根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折 　8　次．

【解答】解：由题意得

，

因为，，

所以，

所以的最大值为8．

故答案为：8．

8. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为，为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为　　小时．

【解答】解：由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，，

，解得．

又，解得，

得，

故当时，，

第49天检测过程平均耗时大致为小时．

故答案为：．

考点三 分段函数

9. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与存储温度（单位：满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则下列结论正确的有　　

A．该食品在的保鲜时间是8小时 

B．当，时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少 

C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 

D．到了此日14时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间

【解答】解：由题意，当时，保鲜时间小时，解得，

对于，当时，，故选项正确；

对于，当，时，时间不变，故选项错误；

对于，由已知可得，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了13点，已经过了保鲜时间，故选项错误；

对于，由已知可知，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了14点，已经过了保鲜时间，故选项正确．

故选：．

10. 根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒．若从喷洒药物开始，教室内空气中的药物浓度（毫克立方米）与时间（分钟）的关系为：，根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25毫克立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少 　30　分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过0.5毫克立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒 　　效果（填有或没有）．

【解答】解：由题设，只需，即，可得分钟，

所以30分钟后药物浓度不超过0.25毫克立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习；

当，则，当，则，可得，

即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过0.5毫克立方米，故分钟，

所以本次消毒有效果．

故答案为：30，有．

11. 对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．

（1）年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；

（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？

【解答】解：（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，

利润为，解得，

则．

（2）当，，，对称轴为，则函数在，上单调递增，故当时，，

当，时，，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以当年产量为84.1时，所获年利润最大，最大年利润是451.3．

考点四 基本不等式

12. 新能源汽车具有节约燃油能源、减少废气排放、有效保护环境等优点．据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的．小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用，年的总支出为万元，每年的收入为5.25万元．

（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？

（2）此汽车使用多少年报废最合算？

①利润收入支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）

【解答】解：（1）设此汽车使用年的总利润为万元，

则，，，

由得，，

解得，

所以从第3年起开始盈利；

（2）设此汽车使用年的年平均利润为万元，

则

因为，，由基本不等式得：，

所以，当且仅当，即时取等号，

答：所以此汽车使用6年报废最合算．

13. 某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随着业绩值（单位：万元）的增加而增加．

（1）某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数为常数）作为奖励函数模型，则业绩为200万元的业务员可以得到多少奖励？（精确到

（参考数据：，

（2）若采用函数作为奖励函数模型，为了响应国家的纳税政策，业务员还需要上交业绩值的作为个人所得税，求业务员纳税后获得最终奖金的最大值．

【解答】解：（1）对于函数模型为常数），

当时，，代入解得，

即当，时，，

当时，，

业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．

（2）对于函数模型．设业务员纳税后最终奖金记为，

则，化简可得，

，，，，

．

当且仅当时等号成立．

则业务员纳税后获得最终奖金的最大值为5万元．