高中数学北师大版必修5本节综合当堂检测题

1.1数列同步练习北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 数列1，，，，，的一个通项公式

A.  B.  C.  D.

2. 数列，，，，的第14项是

A.  B.  C.  D.

3. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是  

A.  递增数列 B.  递减数列 C.  常数列 D.  摆动数列

4. 数列1，，，，，的一个通项公式

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为

A.  B.  C.  D.

6. 已知数列的前n项和为，且，则

A.  B.  C.  D.

7. 定义：称为n个正数，，，的“均倒数”若数列的前n项的“均倒数”为，则数列的通项公式为   

A.  B.  C.  D.

8. 数列中，，则等于

A.  B. 24 C. 48 D. 54

9. 设a，，数列满足，，，则    

A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，

10. 数列1，，，，，的一个通项公式

A.  B.  C.  D.

11. 数列1，3，6，10，的一个通项公式是

A.  B.
C.  D.

12. 数列满足，则数列的前60项和等于

A. 1830 B. 1820 C. 1810 D. 1800

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则           ．
14. 已知数列满足，且点在直线上．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______．
15. 在数列中，已知，，记为数列的前n项和，则________．
16. 数列满足，前16项和为540，则          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

17. 已知数列满足，，则          ，数列的最小值为          ．
18. 已知数列的前n项和为，满足，，则          ；          ．
19. 在数列中，，，  则          ，对所有恒成立，则的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

20. 已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    令，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知，，对任意，有成立．
    求的通项公式；
    设，，是数列的前n项和，求正整数k，使得对任意，恒成立；
    设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知数列满足：，．
    计算数列的前4项；
    求的通项公式．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知数列满足，的前n项和满足．
    求数列的通项公式；
    记数列的前n项和为，证明：．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知数列的前n项和为，且满足．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ设，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查数列的通项公式的求法属于基础题．
分析数列的前几项找出规律即可．
【解答】
解：由已知得，数列可写成，，，，
即数列可以写成，
故通项为．
故选B．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查数列通项公式，属于基础题．
先由题意可得数列的通项公式，故可得数列第14项．

【解答】

解：数列，，，，的通项公式为，
故．
故选D．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的单调性，属于基础题．
由即可得出．
【解答】

解：由是关于n的增函数，
数列是关于n的递增数列，
故选A．

4.【答案】C
 

【解析】解：依题意，数列的符号正负项间隔出现，故符号为，
各项的绝对值为为，
故数列的一个通项公式为，
故选：C．
根据给出的项的符号和数值分别归纳，即可得到其通项公式．
本题考查了通过数列的前几项归纳数列的通项公式，主要考查了归纳能力和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：当时，，
当时，得：，
得，
若，则由知，舍去．
若，则，又  ，
联立可得：，．
由，时，，
相减可得：，
化为：．
数列是等比数列，公比为，首项为．
数列是等比数列，公比为，首项为．
的前n项和为．
．
当n为奇数时，可得数列为单调递增数列，且故．
当n为偶数时，可得数列为单调递减数列，且故．
综上可得：．
则数列中的最大值为．
故选：A．
当时，；当时，得：，相减得，对分类讨论可得，又，联立可得：，由，时，，相减可得：，化为：可得数列是等比数列，公比为，首项为．的前n项和为可得对n分类讨论，利用数列单调性即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：时，，
化为：，变形为：，
时，，解得，，
数列是等比数列，首项为，公比为2．
则．
故选：D．
时，，化为：，变形为：，时，，解得，利用等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列通项公式的求解，利用与的关系是解决本题的关键．属于中档题．

根据“均倒数”的定义，得到，然后利用与的关系即可得到结论． 

【解答】

解：根据“均倒数”的定义可知，若数列的前n项的“均倒数”为，
则，即，
则当时，，
两式相减得：，
当时，，满足，
故数列的通项公式为，
故选C 

8.【答案】B
 

【解析】解：因为，所以数列是等比数列，且公比为2．
所以，
故选：B．
由，可知数列为等比数列，然后利用等比数列的定义确定公比，然后求第四项的值．
本题主要考查等比数列的判断，以及等比数列的通项公式的应用，利用条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，属于难题．逐项检验，可得结果．
【解答】
解：对于B，令，得，
取，，
当时，，故B错误；
对于C，令，得或，
取，，，，
当时，，故C错误；
对于D，令，得，
取，，，，
当时，，故D错误；
对于A，，，
，
，递增，
当时，，
故A正确．
故选：A．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了通过观察求数列的通项公式，考查了推理能力，属于基础题．
由数列：1，，，，，可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，每项的绝对值为，即可得出．
【解答】
解：由数列：1，，，，，．
可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，每项的绝对值为．
数列：1，，，，，的一个通项公式是．
故选：B．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了求数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力和观察能力，属于中档题．
仔细观察数列1，3，6，10，，便可发现其中的规律：第n项应该为，便可求出数列的通项公式．

【解答】

解：仔细观察数列1，3，6，10，可以发现：





第n项为，
数列1，3，6，10，的通项公式为，
故选C．

12.【答案】D
 

【解析】解：由，
可得数列的前60项和为

．
故选：D．
由数列的递推式，可得，3，5，，59时的式子，再将它们相加，结合等差数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，，若对于一切，中的第项恒等于中的第项，可得于是，，，即可得出．

【解答】

解：，，若对于一切，
中的第项恒等于中的第项，
 ，
，，，
 ，
．
故答案为2．

14.【答案】
 

【解析】解：数列满足，且点在直线上，
可得，即，则为等差数列，
可得，
对任意的，恒成立，
即为的最小值，
由，
，
即，可得递增，
即有为最小值，且为，
可得，
则实数的取值范围为
故答案为：
由题意可得数列为首项和公差均为1的等差数列，求得，由条件可得的最小值，令，判断的单调性，可得最小值，即可得到所求范围．
本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】1010
 

【解析】

【分析】
本题考查数列的前2019项和的求法，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，从而，数列是一个以4为周期的数列，由此能求出的值．
【解答】
解：数列中，，，
，
，，
，，
；
可以判断：，数列是一个以4为周期的数列，
，
．
故答案为1010．  

16.【答案】7
 

【解析】

【分析】

在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得与，利用累加法得到n为奇数时与的关系，求出偶数项的和，然后列式求解．
本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是较难题．

【解答】

解：由，
当n为奇数时，有，
可得，

，
累加可得
；
当n为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：7．

17.【答案】33

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推关系和函数属性，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
根据已知条件用累加法求出的通项，把代入可求，再构造函数，利用函数单调性，
求出数列的单调性，即可求的最小值．
【解答】
解：时，
时，         

，也满足上式，所以
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且，
或5时最小，时，；
时，，
的最小值为．
故答案为．  

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的周期性以及数列的递推关系，属于中档题．
可得，由，进而可得可知：数列是周期为2的周期数列，即可求解．

【解答】

解：，，
，
，
，
即
可知：数列是周期为2的周期数列，
故；
故答案为．

19.【答案】

【解析】解：由于，
所以当时，有，
两式相减可得，
即当时，，
当时，求得，即也符合该递推关系，
所以．
由于，令，
由于，
当时，，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
故数列最大项为，即．
故答案为：；．
利用已知条件写出的表达式．利用作差法推出，利用累加法求解通项公式，通过不等式判断最大项即可得到结果．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列的函数的特征，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．
 

20.【答案】解：，，化为：．
，，成等比数列，，可得，，化为：．
联立解得：，．
．


，
数列的前n项和


．
 

【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．
，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．
 

21.【答案】解：由，，对任意，有成立，
得，
时，，
两式相减，得，故．
又时，，．
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
数列的通项公式为；
，，即为，
可得为首项为4，公差为的等差数列，
则，即有，
，
，
两式相减可得
，
化简可得，
由，当时，，时，，
可得，，，，，，则，取得最大值64，
可得的最大值为，
则存在正整数k，且为4，使得对任意，恒成立；
，
可得，
对任意均有恒成立，可得，
即的最小值为．
 

【解析】由向量垂直的条件：数量积为0，运用数列的递推式，结合等比数列的定义、通项公式可得所求；
将等式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和，等比数列的求和公式，结合恒成立思想，求得最大值可得所求k；
求得，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，恒成立思想，可得所求最小值．
本题考查数列递推式的运用，考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和、裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
，
，
．
总之，数列的前4项为：、、、．
，
两边取倒数得：，
，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，
．
 

【解析】根据数列的递推关系得到数列的前4项；
根据数列的递推关系得到数列是等差数列，从而得到的表达式，再去求解的通项公式．
本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推公式求得通项公式是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，当时，，
，即，
解得，
当时，由，可得
，
两式相减，可得，
整理，得，
两边同时加1，可得
，
，，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
，．
证明：由题意及，可知
，．
则当时，
，
故，，，，
各项相乘，可得
，即，．




，
，故得证．
 

【解析】本题第题先根据公式并结合题干已知条件代入进行计算，进一步转化可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再通过计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后先计算出的结果并进行放缩可得，再运用累乘法可得即，，在求和时根据放缩的通项公式代入，根据等比数列的求和公式计算并进一步放缩可证明成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及求和不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，累乘法，放缩法，等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．
 

24.【答案】解：Ⅰ，令，解得，，又，两式相减，得，
是以为首项，为公比的等比数列，；
Ⅱ，，
．
 

【解析】Ⅰ先求数列的首项，再研究数列相邻项的关系，得出通项公式；
Ⅱ先求，再求，然后利用裂项相消法求．
本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和，属于基础题．