高中数学北师大版必修5本节综合巩固练习

2.1正弦定理与余弦定理同步练习北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是

A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，无解
D. ，，，有一解

2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知在中，，则的形状为       

A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

4. 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为

A.  B.  C.  D. 12

5. 中，三边之比，则等于   

A.  B.  C. 2 D.

6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是       

A.  B.  C.  D.

7. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若，，，则

A.  B.  C. 或 D.

8. 设的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

9. 在中，，，，则

A.  B.  C.  D.

10. 在中，若，，则为   

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

11. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状是    

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

12. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为

A. 锐角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则________．
14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则________．
15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则______．
16. 中，，，，则BC边上的中线AD长          ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 在中，，，，点D在线段AC上若，则       ，       ．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，，则          ，若，则的面积为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

19. 如图，D是直角斜边BC上一点，．
     

若，求的大小；

若，且，求AD的长．






 

20. 在中，已知，D是BC边上一点，，，．

求AB的长；

求的值．






 

21. 在平面四边形ABCD中，，，，．
    求；
    若，求BC．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示，在四边形ABCD中，，，．
    
    求的值；
    若，，求BC的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
运用正弦定理，对各选项逐一分析，即可得到答案．
【解答】
解：选项A中，由，得，即，只有一解
选项B中，，且，，故有两解
选项C中，，，，，有解．
因此A，B，C都不正确，
故选D．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用两角和与差的三角函数公式化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．

【解答】

解：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
满足
，
可得：，
因为为锐角三角形，，
所以，
由正弦定理可得：．
故选A．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题．
法一：先用正弦定理将题中已知条件化为，又，得到，在中，，，或据此可得到答案．
法二：利用正余弦定理进行化简可得答案．

【解答】

解：方法一：，
由正弦定理得，
又，，．
在中，，，或，
或，为等腰三角形或直角三角形故选D．

方法二：，
由正弦定理、余弦定理得，
，，
或，即或，
为等腰三角形或直角三角形故选D．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了数学文化，正弦定理，属于简单题．
由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【解答】
解：因为，
所以由正弦定理得，
又因为的周长为，所以可得，，，
所以的面积为，
故选A．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．

先设出三边长，由余弦定理求出，由正弦定理把角化成边得，
代入数值即可．
【解答】

解：令，，  ，

由余弦定理得，

由正弦定理得．

故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．

【解答】

解：边长7所对应的角满足：，，
．
可得边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和．
故选：D．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
【解答】
解：，，，
由正弦定理可得：，
，
为锐角，．
故选A．  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】
解：，

，
，
，，
故三角形为直角三角形，
故选A．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出，以及B为锐角，是解题的关键．由正弦定理可求得，再由，可得B为锐角，，运算求得结果．
【解答】
解：由正弦定理可得 ，
，再由，可得B为锐角，
，
故选D．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
先根据题意化简，可以得到A的值，结合即可判断三角形的形状．

【解答】解：由正弦定理知，，

则，即．

，，，
或．

又，
，，
为等边三角形．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查判断三角形的形状，属于一般题．
利用同角关系和正弦定理，得，则，求得，即可判断形状．
【解答】
解：由，
得，
由正弦定理，得，
即，
则，
因为A，B为的内角，
故A，
故为直角三角形，
故选C．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简，求出sinC，进一步求得C，即可判断得解．
【解答】
解：由，结合正弦定理可得：，
，即，
在中，，，
又，
．
故选：D．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题．
根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可得解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
，

，，
由正弦定理可得  
，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于基础题．
运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
【解答】
解：因为，，且A，B，
，
，
，
由正弦定理可得．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查正弦定理、诱导公式的运用．根据三角函数等式判断是解题的关键先用正弦定理变形，再结合诱导公式可判断，从而求出结论．
【解答】

解：，
由正弦定理得，
，
因为A为三角形内角，所以，
即，


，
，
，
而函数在上单调递增，
，
，
．
故答案为．

16.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用余弦定理解三角形，属于较易题．
在和中，分别利用余弦定理求解即可．

【解答】

解：设，，，
由余弦定理得：，
所以，或舍去，
在中，，
由余弦定理得：，
所以．
故答案为1．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用．考查学生计算能力，属于基础题．
在中，利用正弦定理计算BD，利用正弦的和角公式计算，再利用诱导公式即可得到的值．
【解答】解：在中，易得，．
在中，由正弦定理得
，

．
又，
所以．
故答案为 ；   

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合，可得，结合范围，可求，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】

解：，
由正弦定理可得：，
可得，
，
，且，
可得，
，
，
又，，
，
，
，
．
故答案为：，．

19.【答案】解：，，
，
在中，由正弦定理可得：，
，，
或，
又，
；
，
，
在中，由勾股定理可得：，可得：，
，，，
令，由余弦定理：
在中，，
在中，，
可得：
解得：，可得：．
 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于中档题．
由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得；
由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．
 

20.【答案】解：在中，由余弦定理，
得，解得，
又因为，所以，所以．
在中，由正弦定理，
得，解得；
在中，由余弦定理，
得，解得．
又因为，所以，
因为，
所以


．
 

【解析】此题考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数的应用．属中档题．
在中，利用余弦定理表示出，把三角形的三边长代入，化简可得值，由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出，再利用正弦定理即可求出AB的长；
利用余弦定理求出，利用同角三角函数的基本关系求出，最后根据，利用两角和的正弦公式即可解答．
 

21.【答案】解：，，，．
由正弦定理得：，即，
，
，，
．
，，
，

．
 

【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由正弦定理得，求出，由此能求出；
由，得，再由，利用余弦定理能求出BC．
 

22.【答案】解：，，，
Ⅰ在中，由余弦定理，
得
；
Ⅱ设，则，
，且都为三角形内角，
，



，
在中，由正弦定理，，
解得：．
即BC的长为3．
 

【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题．
Ⅰ在中，由余弦定理直接求解可得的值．
Ⅱ由，，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC的长．