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高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册1.1 数列的概念练习
展开1.1 数列的概念(练习)解析
一.单项选择题:(每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列的通项公式为,则下列结论正确的是
A.不是数列中的项 B.一定是数列中的第项
C.一定是数列中的第项 D.是数列中的第项或第项
【答案】D
【解析】令解得或.故选D.
2.已知数列对于任意, 都有,若,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,,,所以.故选B.
3.如图,将石子摆成梯形形状,称石头的个数组成的数列5,9,14,20,……为“梯形数”,
则此数列的第2022项与2021项的差为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图形可知,,,,……,,
所以.故选D.
4.已知数列满足,,是数列的前n项和,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,,所以,,,……,
即,所以.故选A.
5.已知数列的通项,则数列中的最大项是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为(当且仅当时等号成立),
所以.故选C.
6.已知数列满足,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以,两式相除得
又,,所以.
所以,即,所以.故选C.
二.填空题(每小题5分)
7.已知数列的前项为,,,,…,若,则 .
【答案】
【解析】数列,,,,…中的各项可变形为,,,,…,所以通项公式为,
所以,得.
8.已知数列的前项和为.若,则 .
【答案】
【解析】.
9.已知在数列中,,且,则 .
【答案】
【解析】因为,且, 所以,
所以,,……
由上可知,数列是以为周期的周期数列,所以 .
10.已知在数列中,,,则 .
【答案】
【解析】因为,所以,
所以.
11.已知数列为递增数列,,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】数列为递增数列,,
所以,
所以.又.所以,即的取值范围为.
12.定义:为个正数,,…,的“均倒数”.若正项数列的
前项的“均倒数”为,则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】因为,
所以,
所以,,
两式相减可得,
当时,,
当时,也符合上式,所以.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
已知二次函数 有且只有一个零点,数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,定义所有满足的正整数的个数,称为这个数列的变号数,求数列的变号数.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)依题意,,所以或.
又得,所以,所以.
当时,;
当时,.
所以数列的通项公式为.
(2)由题意得.
由可知,当时,恒有.
又,,,,,,
即,,,
所以数列的变号数为.
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