2021-2022学年苏科版八年级数学上册第一次月考模拟试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年苏科版八年级数学上册第一次月考模拟试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形形状一定相同D．两个正方形一定是全等图形
2、下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
3、图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4

(5) (6) (7)
4、小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
5、在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
6、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝ECB．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝ECD．BC＝EC，AC＝DC
7、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，
则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）

A．3B．4C．6D．8
8、在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．
A．5B．6C．7D．8

(9)
9、已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．无法确定

10、如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点处修建一个水泵站向， 两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是( )
A．B．C．D．
二、填空题
11、如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填序号）

12、判断下列图形（如图所示）是轴对称图形的是________________．（填序号）
13、如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．

(14) (15) (16)
14、如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若△PMN的周长是10，则P1P2的长为___.
15、如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为 ．
16、如图，中，，，为中线，求中线的取值范围=_____________．
17、如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF//AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为_____．

(18) (19) (20)
18、如图，已知，平分，且于点D，则________．

19、如图，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，PEC与QFC全等．
20、如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．
三、解答题
21、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，
每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点
（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线的对称图形
（要求点与，与，与相对应）．
（2）在直线上找一点，使得的周长最小．
22、如图，在△ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD
及其延长线上的点，且CF∥BE．求证：DE＝DF
23、如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．
24、明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
25、（1）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
（2）如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
26、如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F。
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．
27、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
28、已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
解析
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形形状一定相同D．两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念即可得出答案.
【解析】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；C、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形，故答案选C.
2、下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
3、图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）

A．l1B．l2C．l3D．l4
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴.
【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；
沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；
沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，
所以该图形的对称轴是直线l3，
故选C．
4、小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
【详解】9点的时钟，在镜子里看起来应该是3点，所以最接近9点的时间在镜子里看起来就更接近3点，所以应该是图B所示，最接近9点时间．
故选：B．
5、在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（ ）

A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS判定即可得出答案．
【解析】在和中，故选：D．
6、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）

A．∠B＝∠E，BC＝ECB．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝ECD．BC＝EC，AC＝DC
【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
故选：A．
7、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，
则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）

A．3B．4C．6D．8
【答案】C
分析：由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．
【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．
8、在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．

A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.
【详解】如图，最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．

故选：．
9、如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点处修建一个水泵站向， 两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】确定点A关于l的对称点A′，连接A′B，则：A′B即为是所需管道最短长度．
【详解】如下图，
画出点A关于l的对称点A′，则：A′P=AP
连接A′B，交直线l于P点，
∵AP+BP=A′P+BP=A′B，
这时，A′B最小，即：所需管道最短，
故选D．
10、已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．无法确定

【答案】A
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解析】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．故选A．
二、填空题
11、如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填序号）

【分析】根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．
【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，
故答案为：②③．
12、判断下列图形（如图所示）是轴对称图形的是________________．（填序号）
【答案】（1）（5）
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．
【详解】解：根据轴对称的定义可知（1）（5）为轴对称图形.
故答案为：（1）（5）
13、如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．
【答案】66°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解析】解：，，，
在和中，，
即，解得．故答案为：．
14、如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若△PMN的周长是10，则P1P2的长为___.
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．
【详解】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是10cm，∴P1P2=10cm．
故答案为：10.
15、如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为 ．
【分析】先证出∠DBF＝∠DAC，由AAS证明△BDF≌△ADC，得出对应边相等AD＝BD＝BC﹣CD＝5，DF＝CD＝2，即可得出AF的长．
【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，
在△BDF与△ADC中，

∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴AD＝BD＝BC﹣CD＝7﹣2＝5，DF＝CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3；
故答案为：3．
16、如图，中，，，为中线，求中线的取值范围=_____________．
【答案】
【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，然后根据三角形三条边的关系求解即可．
【详解】解：延长至点，使，连接，
是中线，，
在和中，，
，，
在中，，
，，．
17、如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF//AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为_____．
【答案】4
【分析】根据CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，证明△ADE≌△CFE就可以求出答案．
【详解】∵CF∥AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A．∵点E为AC的中点，∴AE=EC．
∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD=CF=5，
∵BD=1，∴AB=AD-BD=5-1=4．故答案为：4．
18、如图，已知，平分，且于点D，则________．
【答案】12
【分析】如图，延长BD交AC于点E，根据已知证得，则得，由三角形的面积公式得，，即可证明，从而可以解答本题．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵平分，，∴，．
∵，∴．∴．
∴，．∴．即．
∵，∴．
故答案为：12．
19、如图，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，PEC与QFC全等．
【答案】2或或6
【分析】分点Q在BC上和点Q在AC上，根据全等三角形的性质列式计算．
【解析】解：由题意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，
①如图1，当△PEC≌△CFQ时，则PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，
②如图2，当点Q与P重合时，△PEC≌△QFC全等， 则PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，
③如图3，当点Q与A重合时，△PEC≌△CFQ， 则PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，
综上所述：当t＝2秒或秒或6秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：2或或6．
20、如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．
【分析】（1）欲证明AE＝CD，只要证明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）结论：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分线的判定定理证明即可；
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．
（3）结论：② 理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴•AE•BK=•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然可不能，故①错误．
故答案为②．
三、解答题
21、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．
（2）在直线上找一点，使得的周长最小．
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求的点．

22、如图，在△ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，且CF∥BE．
求证：DE＝DF
【答案】见解析
【分析】根据平行线性质得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根据ASA推出△CDF≌△BDE即可．
【解析】∵CF∥BE∴∠FCD＝∠EBD ∵D是线段BC的中点∴CD＝BD
又∵∠CDF＝∠BDE∴△CDF≌△BDE ∴ CF＝BE
23、如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；
（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DF∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．
24、明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】两堵木墙之间的距离为30cm．
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
25、（1）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
（2）如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（SAS）．∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠DCE＝90°．BD⊥CE．
26、如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F。
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．
【分析】（1）过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，根据同角的余角相等求出∠EBM＝∠A，然后利用“角角边”证明△ABC和△BEM全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝EM，再求出BD＝EM，然后利用“角角边”证明△EMF和△DBF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝DF，从而得证；（2）根据全等三角形的面积相等和等底等高的三角形的面积相等进行证明．
【详解】证明：（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，
∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
在△ABC和△BEM中，
∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，
∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，
∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴点F是ED的中点；
（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，
∵点F是ED的中点，∴S△BEF＝S△DBF=S△BEM=S△ABC，∴S△ABC＝2S△BEF．
27、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】（1）①如图1，

延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中， ，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中， ，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
28、已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出即可得出结论；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】（1）证明：如图1，

∵，，∴，
在和中，
∴，∴，∴；
（2）如图2，
延长至点，使得，连接
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）；如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
在和中，∴，
∴，∴，
∴，∴．