2020-2021学年第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试单元测试练习

人教版八上数学第十四章整式乘法与因式分解

单元测试

一、单选题

1. 下列运算正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则分别进行计算即可．

详解：A．a3•a2=a5，故原题计算错误；

    B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；

    C．a7÷a5=a2，故原题计算正确；

    D．﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误．

    故选C．

：本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．

2. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（    ）

A. 100 B. 0 C. ﹣100 D. 50

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】解：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），

则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．

比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16

解得:a=-2,b=-8,m=-5,n=20

所以mn=-5×20=-100．

故选C．

3. 下列运算正确的是（　　）

A. 2a﹣a=1 B. 2a+b=2ab C. （a4）3=a7 D. （﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5

【答案】D

【解析】

【详解】【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．

【详解】A、2a﹣a=a，故本选项错误；

B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、（a4）3=a12，故本选项错误；

D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确，

故选D．

【】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.　

4. 已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c值为(　　)．

A. b＝3，c＝－1 B. b＝－6，c＝2

C. b＝－6，c＝－4 D. b＝－4，c＝－6

【答案】D

【解析】

【分析】利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.

【详解】解：∵2(x-3)(x+1)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6,

又∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)，

∴b=-4,c=-6,

故选D.

【】本题考查了因式分解与整式乘法的关系,中等难度,计算整式乘法,对应找到各项系数是解题关键.

5. 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；因为拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，根据“长方形的面积=长×宽”可得：(a+b)(a-b)，因为面积相等，进而得出结论．

【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；

拼成的长方形的面积：(a+b)(a-b)，

∴．

故选：A．

【】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．

6. 下面是一位同学做的四道题：①；②；③；④，其中做对的一道题的序号是（   ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方进行选择即可．

【详解】解：①，故错误；

②，故错误；

③，正确；

④，故错误．

故选C．

【】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键．

7. 将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（    ）

A. 2x B. ﹣4x C. 4x4 D. 4x

【答案】A

【解析】

【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.

【详解】A、4x2+1+2x，不完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；

B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；

C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；

D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，

故选A.

【】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.

8. 下列因式分解正确的是(　　)

A. x2－4＝(x＋4)(x－4) B. x2＋x＋1＝(x＋1)2

C. x2－2x－3＝(x－1)2－4 D. 2x＋4＝2(x＋2)

【答案】D

【解析】

【详解】根据因式分解的意义和方法步骤，可知：

根据平方差公式，可得x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故不正确；

根据式子特点，x2+x+1不能分解，故不正确；

根据因式分解的概念，x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4不是积的形式，故不正确；

根据提公因式法，可得2x+4=2（x+2），故正确.

故选D.

：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.

9. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　)

A. a2-1

B a2+a

C. a2+a-2

D. (a+2)2-2(a+2)+1

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．

考点：因式分解.

10. 已知则的大小关系是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先把a，b，c化成以3为底数的幂的形式，再比较大小.

【详解】解：

故选A.

【】此题重点考察学生对幂的大小比较，掌握同底数幂的大小比较方法是解题的关键.

二、填空题

11. =____________

【答案】

【解析】

【分析】先分别进行幂的乘方与积的乘方运算，然后再根据单项式乘除法的法则进行计算即可得.

【详解】原式＝a6•a6b2÷a2b

=a12b2÷a2b

=a10b，

故答案为a10b.

【】本题考查了单项式乘除混合运算，熟练掌握各运算的运算法则以及确定好运算顺序是解题的关键.

12. 目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米,已知1纳米=米,用科学记数法将16纳米表示为__________________米.

【答案】

【解析】

【分析】由1纳米=10-9米，可得出16纳米=1.6×10-8米，此题得解．

【详解】∵1纳米=10-9米，

∴16纳米=1.6×10-8米．

故答案为1.6×10-8．

【】本题考查了科学计数法中的表示较小的数，掌握科学计数法是解题的关键．

13. 因式分解：______．

【答案】

【解析】

【分析】先提公因式3a，然后再利用平方差公式进行分解即可得.

【详解】原式

，

故答案为．

【】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14. 如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为__________．

【答案】-11

【解析】

【详解】解：∵代数式﹣2y2+y﹣1的值为7，

∴﹣2y2+y﹣1=7，

∴﹣2y2+y=8，

∴2y2﹣y=﹣8，

∴4y2﹣2y=﹣16，

∴4y2﹣2y+5=﹣16+5=﹣11．

故答案为﹣11．

15. 若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________．

【答案】﹣7

【解析】

【详解】∵x+y=1，xy=﹣7，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.

16. 随着数系不断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换率、结合律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．

【答案】5

【解析】

【详解】分析：利用平方差公式进行计算，即可得出答案．

详解：原式=．

：本题主要考查的就是平方差公式的应用以及新运算的使用，属于简单题型．解决这个问题的时候理解新定义是解题的关键．

17. 计算：(1)(2＋3x)(－2＋3x)＝________；

(2)(－a－b)2＝____________．

【答案】    ①. 9x2-4    ②. a2+b2+2ab

【解析】

【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式进行计算即可得.

【详解】(2+3x)(-2+3x)

=(3x+2)( 3x-2)

=9x2-4；

(-a-b)2

= a2+b2+2ab，

故答案为9x2-4； a2+b2+2ab.

【】本题考查了平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握这两个公式的结构特征是解题的关键.

18. 若（2x﹣3）x+5=1，则x的值为________．

【答案】2或1或-5

【解析】

【详解】(1)当2x−3=1时,x=2,此时=1，等式成立；

(2)当2x−3=−1时,x=1,此时=1，等式成立；

(3)当x+5=0时,x=−5,此时=1，等式成立．

综上所述，x的值为：2，1或−5.

故答案为2，1或−5.

19. 记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=______．

【答案】64

【解析】

【详解】试题分析：先在前面添加因式（2﹣1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值．

解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），

=（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），

=（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），

=（2n﹣1）（1+2n），

=22n﹣1，

∴x+1=22n﹣1+1=22n，

2n=128，

∴n=64．

故填64．

考点：平方差公式

点评：本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（2﹣1）然后就能依次利用平方差公式计算了．

三、计算题

20. 已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．

【答案】2x2﹣2xy=28．

【解析】

【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．

【详解】∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．

【】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键.

21. 设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值．

【答案】a=﹣2或0．

【解析】

【详解】试题分析：因式分解得到原式=，再把当代入得到原式=，所以当满足条件，然后解关于a的方程即可．

试题解析：原式=，

当时，代入原式得，即，解得：a=﹣2或0．

考点：1．整式的混合运算；2．平方根．

22. 因式分解

(1)﹣2a3+12a2﹣18a

(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【详解】解：(1）原式

（2）原式=9a2(x﹣y)-4b2(x-y)

【】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

23. 计算:（1）     （2）

（3）                      （4）（3x+y）(-y+3x)

（5）2a(a-2a3)-(-3a2)2；                        （6）(x-3)(x+2)-(x+1)2

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（6）.

【解析】

【分析】（1）先进行乘方运算，然后再利用单项式的乘除法法则按顺序进行计算即可；

（2）先利用完全平方公式进行展开，然后再合并同类项即可；

（3）利用单项式乘多项式的法则进行计算即可；

（4）利用平方差公式进行计算即可；

（5）先进行单项式乘多项式运算、积的乘方运算，然后再合并同类项即可；

（6）利用多项式乘多项式法则以及完全平方公式进行展开，然后再合并同类项即可.

【详解】（1）原式=• =-18××6•xy5z3=；

（2）原式==；

（3）原式=；

（4）（3x+y）(-y+3x)=（3x）2-y2=9x2-y2；

（5）原式=2a2-4a4-9a4=2a2-13a4；

（6）原式=x2-x-6-(x2+2x+1)=-3x-7.

【】本题考查了整式加减乘除混合运算、乘法公式，熟练掌握各运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键.

24. (1)若3a=5，3b=10，则3a+b的值．

(2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．

【答案】(1)50；(2)2 .

【解析】

【分析】（1）逆用同底数幂的乘法进行计算即可得；

（2）由a+b=3，可得a2+2ab+b2=9，再根据a2+b2=5，即可求得ab的值.

【详解】（1）∵3a=5，3b=10，

∴3a+b=3a×3b=5×10=50；

（2）∵a+b=3，

∴（a+b）2=9，

即a2+2ab+b2=9，

又∵a2+b2=5，

∴ab=2.

【】本题考查了同底数幂乘法的逆用，完全平方公式，熟练掌握同底幂乘法的运算法则是解（1）的关键，掌握完全平方公式是解（2）的关键.

25. 某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：

原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）

=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）

=2ab﹣b2 （第三步）

（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；

（2）写出此题正确的解答过程．

【答案】(1)从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)2ab+b2．

【解析】

【分析】去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合并同类项即可.

【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；

(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)

=a2+2ab-a2+b2

=2ab+b2．

故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2．

【】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则；

26. 下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2－4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）

= y2+8y+16 （第二步）

=（y+4）2 （第三步）

=（x2－4x+4）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．

  A.提取公因式    B.平方差公式     C.完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．

【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4

【解析】

【分析】（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；

（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；

（3）类比例题中方法将原式分解即可．

【详解】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，

故选：C；

（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，

∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，

故答案为：不彻底，（x-2)4 ；

（3）设x2－2x=y，则:

原式=y(y+2)+1

=y2+2y+1

=(y+1)2

=( x2－2x+1)2

=(x﹣1)4．

【】本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．