2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知a，b是非零任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A.a2>b2B.C.D.ac2≥bc2

2. 在△ABC中，A＝60∘，a＝43，b＝42，则B等于（ ）
A.B＝45∘或135∘B.B＝135∘
C.B＝45∘D.以上答案都不对

3. 已知实数列−1，x，y，z，−2成等比数列，则xyz等于（ ）
A.−4B.±4C.−22D.±22

4. 已知a>0，不等式组x≥0y≤0y≥a(x−2)，表示的平面区域的面积为1，则a的值为（ ）
A.14B.12C.1D.2

5. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：
①若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
②；
③若sin2A＝sin2B，则A＝B；
④等式c＝acsB+bcsA一定成立．
以上结论正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4

6. 已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x+13y的最小值是（ ）
A.4B.22C.2D.23

7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2019>0，S2020<0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（ ）
A.1008B.1009C.1010D.1011

8. 数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an+1＝a1+an+n，则＝（ ）
A.B.C.D.

9. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(a+b)：(a+c)：(b+c)＝9:10:11，则下列结论正确的是（ ）
A.sinA:sinB:sinC＝4:5:8
B.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
C.△ABC是钝角三角形
D.若c＝6，则△ABC外接圆半径为

10. 已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，不等式(x+y)2−a(x+y)+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.(−∞,658]B.(−∞, 8]C.(−∞,654]D.(−∞, 16]

11. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝1，且．若b＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，则△ACD的面积为（ ）
A.B.C.D.

12. 设等差数列{an}满足，公差d∈(−1, 0)，当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（ ）
A.B.[，]
C.（，）D.[，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

已知实数x，y满足，则z＝2x−2y的最大值是________．

已知数列{an}满足：a1＝1，，则a6＝________．

海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD=80，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则图中海洋蓝洞的口径为________.


设正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z＝0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知关于x的一元二次不等式x2−(a+1)x+a≥0，其中a∈R．
(Ⅰ)若不等式的解集为(−∞, 1]∪[2, +∞)，求实数a的值；
(Ⅱ)解上述含参一元二次不等式．

如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足＝，D是BC边上的一点．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求△ABC的面积．


已知数列{an}是等比数列，a1a2＝，a3＝，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝n2+n+1(n∈N*)．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式．

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

在锐角三角形△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，，且b＝1．
(Ⅰ)若a+c＝2，求a与c；
(Ⅱ)求△ABC的周长的取值范围．

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且(n+1)an=2Sn(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝12，b2＝14，对任意n∈N*，都有bn+12＝bnbn+2．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）令Tn=a1b1+a2b2+...+anbn．若对任意的n∈N*，不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)恒成立，试求实数λ的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B小于A，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．
【解答】
∵ A＝60∘，a＝43，b＝42，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=42×3243=22，
∵ b则B＝45∘．
3.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
【解析】
根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于(−1)×(−2)，开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．
【解答】
∵ xz＝(−1)×(−2)＝2，y2＝2，
∴ y=−2（正不合题意），
∴ xyz＝−22．
4.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，求出直线y=a(x−2)在两坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式得答案．
【解答】
解：由约束条件x≥0y≤0y≥a(x−2)作出可行域如图，
∴ S△OAB=12×2×|−2a|=1，
解得：a=12．
故选：B．
5.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
A
【考点】
基本不等式
对数的运算性质
【解析】
由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=(x+3y)lg2，结合题意可得，x+3y=1；
【解答】
解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=(x+3y)lg2，
又由lg2x+lg8y=lg2，
则x+3y=1，
进而由基本不等式的性质可得，
1x+13y=(x+3y)(1x+13y)=2+3yx+x3y≥4，
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
先根据等式确定x+y≥8，再将对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式(x+y)2−a(x+y)+1≥0，转化为a≤(x+y)+1x+y对任意满足条件的正实数x，y恒成立，求出右边的最小值，即可得到结论．
【解答】
∵ 正实数x，y满足等式x+y+8=xy，
∴ x+y+8≤(x+y)24，
∴ (x+y−8)(x+y+4)≥0，
∵ x+y+4≥0，
∴ x+y−8≥0，
∴ x+y≥8（当且仅当x=y=4时，取等号），
∵ 对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式(x+y)2−a(x+y)+1≥0，
∴ a≤(x+y)+1x+y对任意满足条件的正实数x，y恒成立，
令t=x+y(t≥8)，则f(t)=t+1t在(8, +∞)上为单调增函数，
∴ f(t)=t+1t≥8+18=658（当且仅当t=8，即x=y=4时，取等号），
∴ a≤658，
∴ 实数a的取值范围是(−∞, 658]．
11.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
数列与三角函数的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
6
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
805
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据题意画出图形，△BCD中利用正弦定理求出BD的值，△ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在△ABD中由余弦定理求得AB的值．
【解答】
解：如图所示，
在△BCD中，CD=80，∠BDC=15∘，
∠BCD=∠ACB+∠DCA
=120∘+15∘=135∘，
所以∠CBD=30∘.
由正弦定理得：BDsin135∘=80sin30∘，
解得BD=80×2212=802，
在△ACD中，CD=80，∠DCA=15∘，
∠ADC=∠ADB+∠BDC
=135∘+15∘=150∘，
所以∠CAD=15∘，
所以AD=CD=80；
在△ABD中，由余弦定理得：
AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠ADB
=802+(802)2−2×80×802×cs135∘
=802×5，
所以AB=805，即A，B两点间的距离为805.
故答案为：805.
【答案】
1
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z＝0，可得z＝x2−3xy+4y2．于是xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x＝2y>0时取等号，此时z＝2y2．于是2x+1y−2z=22y+1y−22y2=−(1y−1)2+1，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】
由正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z＝0，∴ z＝x2−3xy+4y2．
∴ xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤12xy⋅4yx−3=1，当且仅当x＝2y>0时取等号，此时z＝2y2．
∴ 2x+1y−2z=22y+1y−22y2=−(1y−1)2+1≤1，当且仅当y＝1时取等号，即2x+1y−2z的最大值是1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
（1）由题意知，1和2是方程x4−(a+1)x+a＝0的两根，
∴ 5×2＝a，
∴ a＝2．
（2）不等式x8−(a+1)x+a≥0可化为(x−a)(x−8)≥0，
当a＝1时，有(x−2)2≥0，∴ x∈R；
当a>8时，x≥a或x≤1；
当a<1时，x≥8或x≤a．
综上所述，
当a＝1时，不等式的解集为R；
当a>1时，不等式的解集为{x|x≥a或x≤7}；
当a<1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤a}．
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）由正弦定理知，＝＝，
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ sinCcsB−sinAcsB＝csAsinB，即，
∵ sinC≠0，
∴ csB＝，
∵ B∈(0, π)．
（2）在△ACD中，由余弦定理知＝＝，
cs∠ADC＝＝＝，
∵ C、∠ADC∈(0，
∴ sinC＝，sin∠ADC＝，
∴ sin∠BAC＝sin(B+C)＝sinBcsC+csBsinC＝×+×＝，
在△ABD中，由正弦定理知，＝＝，
∴ ＝，∴ AB＝，
∴ △ABC的面积S＝AB⋅ACsin∠BAC＝×＝．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则
，
解得，
∴ an＝1⋅（）​n−1＝（）​n−1，n∈N*，
对于数列{bn}：
当n＝1时，b7＝S1＝3，
当n≥3时，bn＝Sn−Sn−1＝n2+n+4−(n−1)2−(n−6)−1＝2n，
∴ bn＝．
（2）由(Ⅰ)，可得
cn＝an+bn＝，
∴ Tn＝c1+c4+c3+...+cn
＝4+[6×2+（）​1]+[2×4+（）​8]+...+[2n+（）​n−1]
＝4+8×(2+3+...+n)+[（）​1+（）​2+...+（）​n−1]
＝3+2×+
＝n8+n+-•（）​n−1．
【考点】
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．
再由C(0)=8，得k=40，
因此C(x)=403x+5．
而建造费用为C1(x)=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．
解得x=5，x=−253（舍去）．
当00，
故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数模型的选择与应用
【解析】
（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5．建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．
（2）由①中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．
【解答】
解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．
再由C(0)=8，得k=40，
因此C(x)=403x+5．
而建造费用为C1(x)=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．
解得x=5，x=−253（舍去）．
当00，
故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
【答案】
（1）因为，a+c＝6，
所以csC+sinC＝2）＝2）＝6，
因为C为锐角，C+，），
可得C+＝，可得C＝，
又因为b＝1，a+c＝8，
由余弦定理c2＝a2+b7−2abcsC，可得(2−a)6＝a2+1−a，解得a＝c＝2．
（2）因为，且b＝4，
由正弦定理可得sinBcsC+sinBsinC−sinA−sinC＝0，
因为sinA＝sin(B+C)＝sinBcsC+csBsinC，可得，
所以sinB−csB−1＝5）＝，
因为B为锐角，可得B＝，
因为，
可得△ABC的周长a+b+c＝(sinA+sinC)+1＝−A)]+2＝）+7，
因为，可得，A+，），可得sin(A+，1]．
可得△ABC的周长a+b+c＝2sin(A+）+1∈(2．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ (n+1)an=2Sn，∴ Sn＝(n+1)an2，n∈N*
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝(n+1)an2−nan−12，
∴ nan−1=(n−1)an，即anan−1＝nn−1( n≥2)．
∴ an＝anan−1⋅an−1an−2…a3a2⋅a2a1⋅a1＝nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3…32⋅21⋅1＝n(n≥2)，
又a1=1，也满足上式，
故数列{an}的通项公式an=n(n∈N*)．．
由bn+12＝bn⋅bn+2，且b1≠0，b1＝12，b2＝14，
可知：数列{bn}是等比数列，其首项、公比均为12，
∴ 数列{bn}的通项公式：bn=(12)n．
∵ anbn=n⋅(12)n．
∴ Tn=12+2×(12)2+3×(12)3+...+n⋅(12)n．
12Tn=(12)2+2×(12)3+...+(n−1)⋅(12)n+n⋅(12)n+1，
∴ 12Tn=12+(12)2+...+(12)n−n⋅(12)n+1=12(1−12n)1−12−n⋅(12)n+1，
∴ Tn＝2−n+22n．
又Sn=1+2+...+n=n(n+1)2．
不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)恒成立，
即λn(2−n+22n)+n(n+1)2n<2(λn+32n)，
即(1−λ)n2+(1−2λ)n−6<0，(n∈N*)恒成立．
设f(n)=(1−λ)n2+(1−2λ)n−6，(n∈N*)．
当λ=1时，f(n)=−n−6<0恒成立，则λ=1满足条件；
当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ>1时，由于对称轴x=1−2λ1−λ<0，则f(n)在[1, +∞)上单调递减，
∴ f(n)≤f(1)=−3λ−4<0恒成立，则λ>1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1, +∞)．
【考点】
数列与不等式的综合
数列递推式
【解析】
（1）由(n+1)an=2Sn，可得Sn＝(n+1)an2，n∈N*，利用递推关系可得：anan−1＝nn−1( n≥2)．利用“累乘求积”方法即可得出an．利用等比数列的通项公式即可得出bn．
（2）由anbn=n⋅(12)n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出Tn．代入不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】
∵ (n+1)an=2Sn，∴ Sn＝(n+1)an2，n∈N*
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝(n+1)an2−nan−12，
∴ nan−1=(n−1)an，即anan−1＝nn−1( n≥2)．
∴ an＝anan−1⋅an−1an−2…a3a2⋅a2a1⋅a1＝nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3…32⋅21⋅1＝n(n≥2)，
又a1=1，也满足上式，
故数列{an}的通项公式an=n(n∈N*)．．
由bn+12＝bn⋅bn+2，且b1≠0，b1＝12，b2＝14，
可知：数列{bn}是等比数列，其首项、公比均为12，
∴ 数列{bn}的通项公式：bn=(12)n．
∵ anbn=n⋅(12)n．
∴ Tn=12+2×(12)2+3×(12)3+...+n⋅(12)n．
12Tn=(12)2+2×(12)3+...+(n−1)⋅(12)n+n⋅(12)n+1，
∴ 12Tn=12+(12)2+...+(12)n−n⋅(12)n+1=12(1−12n)1−12−n⋅(12)n+1，
∴ Tn＝2−n+22n．
又Sn=1+2+...+n=n(n+1)2．
不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)恒成立，
即λn(2−n+22n)+n(n+1)2n<2(λn+32n)，
即(1−λ)n2+(1−2λ)n−6<0，(n∈N*)恒成立．
设f(n)=(1−λ)n2+(1−2λ)n−6，(n∈N*)．
当λ=1时，f(n)=−n−6<0恒成立，则λ=1满足条件；
当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ>1时，由于对称轴x=1−2λ1−λ<0，则f(n)在[1, +∞)上单调递减，
∴ f(n)≤f(1)=−3λ−4<0恒成立，则λ>1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1, +∞)．