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2020-2021学年河南省郑州高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版
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这是一份2020-2021学年河南省郑州高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在△ABC中，csB＝−17，A＝π3，BC=7，则AC=( )
A.9B.83C.82D.8
2. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.y＝x2+6+1x2+6B.y＝lgx+1lgx(1C.y=3x+3−x(x∈R)D.y＝sinx+1sinx(0
3. 若变量x，y满足约束条件x+y≥1x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−3y的最小值为（ ）
A.1B.−3C.−9D.−10
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“acsA＝bcsB＝csinC”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C：(x−2)2+(y−1)2＝2，直线l:a2x+b2y−1＝0，若圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，则点(a, b)必在（ ）
A.一个离心率为12的椭圆上B.一条离心率为2的双曲线上
C.一个离心率为22的椭圆上D.一条离心率为2的双曲线上
6. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，则a5b5=( )
A.3415B.2310C.317D.6227
7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cs2B+2sinAsinC=1，则B的最大值为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2
8. 已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有an+1>an，则实数p的取值范围是（ ）
A.(1，）B.(1，）C.(1, 2)D.（，2)
9. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5=64，a4=16，则(Sn2+9)24an的最小值为（ ）
A.4B.8C.16D.32
10. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|=|OF|=3|OM¯|（其中O为坐标原点），则该双曲线C的离心率为（ ）
A.5+12B.5+1C.10D.102
11. 已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2=5，S5=35．数列{1an⋅an+1}的前n项和为Tn，若对一切n∈N+都有2m+1>Tn恒成立，则m能取到的最小整数为（ ）
A.−1B.0C.1D.2
12. 设点P为椭圆C：x225+y216＝1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|:|PF2|=2:3，那么△GPF1的面积为（ ）
A.423B.22C.823D.32
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）
等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，若S6S3=78，则a2⋅a4=________．
若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(−∞, −3)∪(1, +∞)，则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是________．
已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，过点(4, 0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为(2, −1)，则椭圆E的离心率为________．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcsC+3ccsB=5asinA，且A为锐角，则当a2bc取得最小值时，ab+c的值为________．
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知a∈R，命题p：“∀x∈[0, 2]，2x−4x+a≤0均成立”，命题q：“函数f(x)＝ln(x2+ax+2)定义域为R”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，求实数a的取值范围．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(bcsC−a)=csinB，b=23．
（1）求B；
（2）若a+c=4，求△ABC的面积．
已知函数f(x)＝x2−2x+ax．
（1）当a=4时，求函数f(x)在x∈(0, +∞)上的最小值；
（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)>0恒成立．试求实数a的取值范围；
（3）若a>0时，求函数f(x)在[2, +∞)上的最小值．
已知数列{an}满足a1=1，nan+1−(n+1)an=n(n+1)，设bn=ann．
(1)求证数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)若cn=n⋅2bn，求数列{cn}的前n项和．
佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p(x)（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为45，离心率为255，直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P(0, 1)，PA→⋅PB→=−4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据正弦定理即可求解AC的值．
【解答】
因为csB＝−17，
故sinB＝437，
由正弦定理ACsinB＝BCsinA⇒AC＝BCsinBsinA＝8．
2.
【答案】
C
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
直接利用函数的导数求出函数的单调性，进一步利用单调性求出函数的最小值，从而判定选项A的结论．再利用均值不等式的应用判定BCD的结论，主要利用等号成立的充要条件判定B、C、D正误．
【解答】
对于选项B：由于1故选：C．
3.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据条件画出可行域，设z=x−3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x−3y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】
在坐标系中画出变量x，y满足约束条件x+y≥1x−y≥−12x−y≤2可行域，如图所示
由z=x−3y可得y=13x−13z，则−13z表示直线z=x−3y在y轴上的截距，截距越大，z越小
平移直线3x−2y=0经过点A时，z最小，
由x−y＝−12x−y＝2可得A(3, 4)，
此时最小值为：−9，
则目标函数z=x−3y的最小值为−9．
4.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
正弦定理
【解析】
先利用正弦定理进行化简得到A=B=π4，可得△ABC为等腰三角形，反之不成立，即可判断．
【解答】
在△ABC中，若“acsA＝bcsB＝csinC，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，
∴ tanA=tanB=1，
∴ A=B=π4，
∴ △ABC为等腰三角形，
反之△ABC为等腰三角形，则acsA＝bcsB＝csinC不一定成立，
∴ “acsA＝bcsB＝csinC”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，
5.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由条件可得直线l必经过点(2, 1)，则可得(a, b)必在椭圆2x2+y2＝1上，即可求出离心率e．
【解答】
根据条件可知圆心C(2, 1)，因为圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，
所以直线l过点(2, 1)，则2a2+b2＝1，
即有点(a, b)必在椭圆2x2+y2＝1上，所以a＝1，b=22，所以c=1−12=22，
则离心率e=ca=22．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，得出结论．
【解答】
数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，
则a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=9(a1+a9)29(b1+b9)2=S9T9=7×9−13×9=6227，
7.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用二倍角公式化简所给的式子，可得，基本不等式ac=b2，再利用余弦定理、基本不等式求得csB的最小值，可得B的最大值．
【解答】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cs2B+2sinAsinC=1，
∴ sinAsinC=sin2B，∴ ac=b2，
∴ csB=a2+c2−b22ac=a2c+c2a−12≥2a2c⋅ca−12=12，当且仅当a=c时，取等号，
∴ B的最大值为 π3，
8.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
分段情况下递增只需保证每一段递增，然后临界状态增即可．
【解答】
由题可知，将数列分为两部分进行研究：
（1）在a1到a6上，an＝(2−p)n−2，
若数列为递增数列，则2−p>0，
解得：p<2，
（2）在a7到an(n>7)上，
若数列为递增数列，则p>1，
（3）数列为递增数列，则a7>a6，
即：p>(2−p)×6−2，
解得：，
综上可知，p的取值范围为，
故选：D．
9.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
利用等比数列的通项公式与求和公式化简(Sn2+9)24an，再利用基本不等式即可得出最小值．
【解答】
设等比数列{an}的公比为q>0．
∵ a1a5=64，a4=16，
∴ a12q4=64，a1q3=16，
∴ q=2，a1=2．
∴ an=2n，Sn=2(2n−1)2−1=2(2n−1)．
则(Sn2+9)24an=(2n+8)24×2n=14(2n+642n+16)≥14×(22n×642n+16)=8．当且仅当n=3时取等号．
∴ (Sn2+9)24an的最小值为8．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出M的坐标，然后转化求解A的坐标，代入双曲线方程求解即可．
【解答】
双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|=|OF|=3|OM¯|（其中O为坐标原点），左焦点F′，
可得M(0, 13c)，tan∠MFO=13，所以tan∠AOF′=2×131−19=34，
所以A(−45c, 35c)，代入双曲线方程可得：16c225a2−9c225b2＝1，
可得16e2−9e2e2−1＝25，e>1，解得e2=52，
所以e=102．
11.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用恒成立问题的应用求出m的最小值．
【解答】
数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2=5，S5=35．
设首项为a1，公差为d，
所以a1+d＝55a1+5×42d＝35，解得a1＝3d＝2，故an=3+2(n−1)=2n+1，
所以1an⋅an+1＝1(2n+1)(2n+3)＝12(12n+1−12n+3)，
所以Tn＝12(13−15+15−17+…+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)<16．
对于切n∈N+都有2m+1>Tn恒成立，
只需满足2m+1≥16即可，
故m的最小整数为0．
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，求|PF1|，|PF2|的值，再由椭圆的第二定义可得P的坐标，可得直线PF1的方程，进而求出△PF1F2的重心G的坐标，可得G到直线PF1的距离d，代入三角形的面积公式求出△GPF1的面积．
【解答】
因为|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，
所以|PF1|=4，|PF2|=6，设P(x, y)，设y>0，因为a=5，b=4，所以c=a2−b2=3，离心率e=ca=35，左焦点F(−3, 0)，
由题意可得椭圆的左准线x=−a2c=−253，所以|PF1|x+a2c=e，即4x+253=35，解得x=−53，代入椭圆中可得y=823，
所以P(−53, 823)，直线PF1的方程为：y=823−53+3(x+3)，即22x−y+62=0，
所以△PF1F2的重心G(−59, 829)，
所以G到直线PF1的距离d=|−1029−829+62|3=423，
所以S△PGF1=12×|PF1|×d=12×4×423=823，
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）
【答案】
164
【考点】
等比数列的性质
【解析】
先求出公比，再根据通项公式即可求出
【解答】
等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，S6S3=78，
∴ S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=78，
即1+q3=78，
解得q=−12，
∴ a2⋅a4=(a1q)⋅(a1q3)=(−12×12)×(−12×18)=164，
【答案】
(−∞, −13)∪(1, +∞)
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
由不等式ax2+bx+c<0的解集求出a、b和c的关系，判断a<0；
代入不等式为cx2+bx+a>0化简并求解集即可．
【解答】
不等式ax2+bx+c<0的解集是(−∞, −3)∪(1, +∞)，
所以1和−3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0；
即−ba＝−3+1ca＝−3×1，解得b=2a，c=−3a；
所以不等式为cx2+bx+a>0可化为−3x2+2x+1<0，
即3x2−2x−1>0，
即(3x+1)(x−1)>0，
解得x<−13或x>1，
所以不等式的解集是(−∞, −13)∪(1, +∞)．
【答案】
32
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(2, −1)，求出斜率，得到a，b关系，即可求得椭圆E的离心率．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x12a2+y12b2＝1，x22a2+y22b2＝1，
两式相减得：(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2＝0，
∵ 线段AB的中点坐标为(2, −1)，
∴ x1+x2=4，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2＝2b2a2，
又AB斜率kAB=0+14−2=12，
∴ 2b2a2＝12，即a=2b，
e=ca=c2a2＝1−b2a2＝32．
【答案】
1010
【考点】
正弦定理
余弦定理
基本不等式
【解析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA，利用同角三角函数基本关系可求csA的值，进而利用余弦定理，基本不等式即可求解．
【解答】
解：由3bcsC+3ccsB=5asinA，及正弦定理可得：
3sinBcsC+3sinCcsB=5sin2A，
可得：3sin(B+C)=5sin2A.
由sin(B+C)=sinA>0，可得sinA=35.
因为A是锐角，所以csA=45，
则a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−85bc，
则a2bc=b2+c2−85bcbc=b2+c2bc−85≥2bcbc−85=25，
当且仅当b=c时，a2bc取得最小值25，
故a2=25b2，故a=105b，
所以ab+c=1010．
故答案为：1010.
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
若设t＝2x，可得t∈[1, 4]，得a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立．若设y＝t2−t，其中t∈[1, 4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2−t)min＝0；
若命题“p∨q“为真，命题“p∧q“为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2+ax+2>0在R上恒成立时，则△＝a2−8<0，得−220−22【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
（1）“∀x∈[0, 2]，2x−4x+a≤0均成立可分离变量转化为a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立，进而解出a的取值范围．
（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，则命题p，q一真一假，取交集得到a的取值范围即可．
【解答】
若设t＝2x，可得t∈[1, 4]，得a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立．若设y＝t2−t，其中t∈[1, 4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2−t)min＝0；
若命题“p∨q“为真，命题“p∧q“为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2+ax+2>0在R上恒成立时，则△＝a2−8<0，得−220−22【答案】
由于3(bcsC−a)=csinB，
则由正弦定理，得3(sinBcsC−sinA)=sinCsinB．
由sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
得−3csBsinC=sinCsinB．
由0所以−3csB=sinB．
又csB≠0（若csB=0，则sinB=0，sin2B+cs2B=0这与sin2B+cs2B=1矛盾），
所以tanB=−3．
又0得B=2π3．
由余弦定理及b=23，得(23)2=a2+c2−2accs2π3，
即12=(a+c)2−ac．将a+c=4代入，解得ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式可求tanB=−3，结合范围0（2）由已知利用余弦定理求出ac，从而求出三角形的面积．
【解答】
由于3(bcsC−a)=csinB，
则由正弦定理，得3(sinBcsC−sinA)=sinCsinB．
由sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
得−3csBsinC=sinCsinB．
由0所以−3csB=sinB．
又csB≠0（若csB=0，则sinB=0，sin2B+cs2B=0这与sin2B+cs2B=1矛盾），
所以tanB=−3．
又0得B=2π3．
由余弦定理及b=23，得(23)2=a2+c2−2accs2π3，
即12=(a+c)2−ac．将a+c=4代入，解得ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．
【答案】
当a=4时，f(x)=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈(0, +∞)时，f(x)=x+4x−2≥2x×4x−2=2，
当且仅当x=4x即x=2时等号成立，
所以f(x)的最小值为2．
根据题意可得x2−2x+a>0在x∈(0, +∞)上恒成立，
等价于a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，
因为g(x)=−x2+2x在(0, 1)上单调递增，
在(1, +∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，
所以a>1．
f(x)=x+ax−2，设0f(x1)−f(x2)=x1−x2+ax1−ax2=(x1−x2)(1−ax1x2)=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵ 0∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(0, a)单调递减，同理可证f(x)在(a, +∞)单调递增，
当0f(x)min=f(2)=a2，
当a>4时，a>2，函数f(x)在[2, a)上单调递减，
在(a, +∞)上单调递增，
f(x)min=f(a)=2a−2．
所以f(x)min=a2(04)．
【考点】
基本不等式及其应用
函数恒成立问题
【解析】
（1）当a=4时，f(x)=x+4x−2，利用基本不等式即可求得最小值；（2）由题意可得a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，根据二次函数的图象与性质求出y=−x2+2x的最大值即可得解；（3）先证明f(x)在(0, a)单调递减，在(a, +∞)单调递增，对04两种情况进行分类讨论分析函数的单调性从而求出最值．
【解答】
当a=4时，f(x)=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈(0, +∞)时，f(x)=x+4x−2≥2x×4x−2=2，
当且仅当x=4x即x=2时等号成立，
所以f(x)的最小值为2．
根据题意可得x2−2x+a>0在x∈(0, +∞)上恒成立，
等价于a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，
因为g(x)=−x2+2x在(0, 1)上单调递增，
在(1, +∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，
所以a>1．
f(x)=x+ax−2，设0f(x1)−f(x2)=x1−x2+ax1−ax2=(x1−x2)(1−ax1x2)=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵ 0∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(0, a)单调递减，同理可证f(x)在(a, +∞)单调递增，
当0f(x)min=f(2)=a2，
当a>4时，a>2，函数f(x)在[2, a)上单调递减，
在(a, +∞)上单调递增，
f(x)min=f(a)=2a−2．
所以f(x)min=a2(04)．
【答案】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）将已知等式两边同除以n(n+1)，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【答案】
解：1当0y=100x−12x2+40x−400
=−12x2+60x−400.
当x≥70时，
y=100x−101x+6400x−2060−400
=1660−x+6400x，
∴ y=−12x2+60x−400，02当0y=−12x2+60x−400
=−12x−602+1400，
当x=60时，y取最大值1400万元；
当x≥70时，
y=1660−x+6400x
≤1660−2x⋅6400x=1500，
当且仅当x=80时，取等号，
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1当0y=100x−12x2+40x−400
=−12x2+60x−400.
当x≥70时，
y=100x−101x+6400x−2060−400
=1660−x+6400x，
∴ y=−12x2+60x−400，02当0y=−12x2+60x−400
=−12x−602+1400，
当x=60时，y取最大值1400万元；
当x≥70时，
y=1660−x+6400x
≤1660−2x⋅6400x=1500，
当且仅当x=80时，取等号，
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【答案】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）利用椭圆的基本性质，求出即可；
（2）联立解方程组，用韦达定理和数量积公式，求出m，得到定点坐标．
【解答】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．
1. 在△ABC中，csB＝−17，A＝π3，BC=7，则AC=( )
A.9B.83C.82D.8
2. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.y＝x2+6+1x2+6B.y＝lgx+1lgx(1
3. 若变量x，y满足约束条件x+y≥1x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−3y的最小值为（ ）
A.1B.−3C.−9D.−10
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“acsA＝bcsB＝csinC”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C：(x−2)2+(y−1)2＝2，直线l:a2x+b2y−1＝0，若圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，则点(a, b)必在（ ）
A.一个离心率为12的椭圆上B.一条离心率为2的双曲线上
C.一个离心率为22的椭圆上D.一条离心率为2的双曲线上
6. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，则a5b5=( )
A.3415B.2310C.317D.6227
7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cs2B+2sinAsinC=1，则B的最大值为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2
8. 已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有an+1>an，则实数p的取值范围是（ ）
A.(1，）B.(1，）C.(1, 2)D.（，2)
9. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5=64，a4=16，则(Sn2+9)24an的最小值为（ ）
A.4B.8C.16D.32
10. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|=|OF|=3|OM¯|（其中O为坐标原点），则该双曲线C的离心率为（ ）
A.5+12B.5+1C.10D.102
11. 已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2=5，S5=35．数列{1an⋅an+1}的前n项和为Tn，若对一切n∈N+都有2m+1>Tn恒成立，则m能取到的最小整数为（ ）
A.−1B.0C.1D.2
12. 设点P为椭圆C：x225+y216＝1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|:|PF2|=2:3，那么△GPF1的面积为（ ）
A.423B.22C.823D.32
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）
等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，若S6S3=78，则a2⋅a4=________．
若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(−∞, −3)∪(1, +∞)，则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是________．
已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，过点(4, 0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为(2, −1)，则椭圆E的离心率为________．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcsC+3ccsB=5asinA，且A为锐角，则当a2bc取得最小值时，ab+c的值为________．
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知a∈R，命题p：“∀x∈[0, 2]，2x−4x+a≤0均成立”，命题q：“函数f(x)＝ln(x2+ax+2)定义域为R”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，求实数a的取值范围．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(bcsC−a)=csinB，b=23．
（1）求B；
（2）若a+c=4，求△ABC的面积．
已知函数f(x)＝x2−2x+ax．
（1）当a=4时，求函数f(x)在x∈(0, +∞)上的最小值；
（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)>0恒成立．试求实数a的取值范围；
（3）若a>0时，求函数f(x)在[2, +∞)上的最小值．
已知数列{an}满足a1=1，nan+1−(n+1)an=n(n+1)，设bn=ann．
(1)求证数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)若cn=n⋅2bn，求数列{cn}的前n项和．
佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p(x)（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为45，离心率为255，直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P(0, 1)，PA→⋅PB→=−4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据正弦定理即可求解AC的值．
【解答】
因为csB＝−17，
故sinB＝437，
由正弦定理ACsinB＝BCsinA⇒AC＝BCsinBsinA＝8．
2.
【答案】
C
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
直接利用函数的导数求出函数的单调性，进一步利用单调性求出函数的最小值，从而判定选项A的结论．再利用均值不等式的应用判定BCD的结论，主要利用等号成立的充要条件判定B、C、D正误．
【解答】
对于选项B：由于1
3.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据条件画出可行域，设z=x−3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x−3y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】
在坐标系中画出变量x，y满足约束条件x+y≥1x−y≥−12x−y≤2可行域，如图所示
由z=x−3y可得y=13x−13z，则−13z表示直线z=x−3y在y轴上的截距，截距越大，z越小
平移直线3x−2y=0经过点A时，z最小，
由x−y＝−12x−y＝2可得A(3, 4)，
此时最小值为：−9，
则目标函数z=x−3y的最小值为−9．
4.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
正弦定理
【解析】
先利用正弦定理进行化简得到A=B=π4，可得△ABC为等腰三角形，反之不成立，即可判断．
【解答】
在△ABC中，若“acsA＝bcsB＝csinC，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，
∴ tanA=tanB=1，
∴ A=B=π4，
∴ △ABC为等腰三角形，
反之△ABC为等腰三角形，则acsA＝bcsB＝csinC不一定成立，
∴ “acsA＝bcsB＝csinC”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，
5.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由条件可得直线l必经过点(2, 1)，则可得(a, b)必在椭圆2x2+y2＝1上，即可求出离心率e．
【解答】
根据条件可知圆心C(2, 1)，因为圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，
所以直线l过点(2, 1)，则2a2+b2＝1，
即有点(a, b)必在椭圆2x2+y2＝1上，所以a＝1，b=22，所以c=1−12=22，
则离心率e=ca=22．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，得出结论．
【解答】
数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，
则a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=9(a1+a9)29(b1+b9)2=S9T9=7×9−13×9=6227，
7.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用二倍角公式化简所给的式子，可得，基本不等式ac=b2，再利用余弦定理、基本不等式求得csB的最小值，可得B的最大值．
【解答】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cs2B+2sinAsinC=1，
∴ sinAsinC=sin2B，∴ ac=b2，
∴ csB=a2+c2−b22ac=a2c+c2a−12≥2a2c⋅ca−12=12，当且仅当a=c时，取等号，
∴ B的最大值为 π3，
8.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
分段情况下递增只需保证每一段递增，然后临界状态增即可．
【解答】
由题可知，将数列分为两部分进行研究：
（1）在a1到a6上，an＝(2−p)n−2，
若数列为递增数列，则2−p>0，
解得：p<2，
（2）在a7到an(n>7)上，
若数列为递增数列，则p>1，
（3）数列为递增数列，则a7>a6，
即：p>(2−p)×6−2，
解得：，
综上可知，p的取值范围为，
故选：D．
9.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
利用等比数列的通项公式与求和公式化简(Sn2+9)24an，再利用基本不等式即可得出最小值．
【解答】
设等比数列{an}的公比为q>0．
∵ a1a5=64，a4=16，
∴ a12q4=64，a1q3=16，
∴ q=2，a1=2．
∴ an=2n，Sn=2(2n−1)2−1=2(2n−1)．
则(Sn2+9)24an=(2n+8)24×2n=14(2n+642n+16)≥14×(22n×642n+16)=8．当且仅当n=3时取等号．
∴ (Sn2+9)24an的最小值为8．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出M的坐标，然后转化求解A的坐标，代入双曲线方程求解即可．
【解答】
双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|=|OF|=3|OM¯|（其中O为坐标原点），左焦点F′，
可得M(0, 13c)，tan∠MFO=13，所以tan∠AOF′=2×131−19=34，
所以A(−45c, 35c)，代入双曲线方程可得：16c225a2−9c225b2＝1，
可得16e2−9e2e2−1＝25，e>1，解得e2=52，
所以e=102．
11.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用恒成立问题的应用求出m的最小值．
【解答】
数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2=5，S5=35．
设首项为a1，公差为d，
所以a1+d＝55a1+5×42d＝35，解得a1＝3d＝2，故an=3+2(n−1)=2n+1，
所以1an⋅an+1＝1(2n+1)(2n+3)＝12(12n+1−12n+3)，
所以Tn＝12(13−15+15−17+…+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)<16．
对于切n∈N+都有2m+1>Tn恒成立，
只需满足2m+1≥16即可，
故m的最小整数为0．
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，求|PF1|，|PF2|的值，再由椭圆的第二定义可得P的坐标，可得直线PF1的方程，进而求出△PF1F2的重心G的坐标，可得G到直线PF1的距离d，代入三角形的面积公式求出△GPF1的面积．
【解答】
因为|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，
所以|PF1|=4，|PF2|=6，设P(x, y)，设y>0，因为a=5，b=4，所以c=a2−b2=3，离心率e=ca=35，左焦点F(−3, 0)，
由题意可得椭圆的左准线x=−a2c=−253，所以|PF1|x+a2c=e，即4x+253=35，解得x=−53，代入椭圆中可得y=823，
所以P(−53, 823)，直线PF1的方程为：y=823−53+3(x+3)，即22x−y+62=0，
所以△PF1F2的重心G(−59, 829)，
所以G到直线PF1的距离d=|−1029−829+62|3=423，
所以S△PGF1=12×|PF1|×d=12×4×423=823，
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）
【答案】
164
【考点】
等比数列的性质
【解析】
先求出公比，再根据通项公式即可求出
【解答】
等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，S6S3=78，
∴ S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=78，
即1+q3=78，
解得q=−12，
∴ a2⋅a4=(a1q)⋅(a1q3)=(−12×12)×(−12×18)=164，
【答案】
(−∞, −13)∪(1, +∞)
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
由不等式ax2+bx+c<0的解集求出a、b和c的关系，判断a<0；
代入不等式为cx2+bx+a>0化简并求解集即可．
【解答】
不等式ax2+bx+c<0的解集是(−∞, −3)∪(1, +∞)，
所以1和−3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0；
即−ba＝−3+1ca＝−3×1，解得b=2a，c=−3a；
所以不等式为cx2+bx+a>0可化为−3x2+2x+1<0，
即3x2−2x−1>0，
即(3x+1)(x−1)>0，
解得x<−13或x>1，
所以不等式的解集是(−∞, −13)∪(1, +∞)．
【答案】
32
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(2, −1)，求出斜率，得到a，b关系，即可求得椭圆E的离心率．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x12a2+y12b2＝1，x22a2+y22b2＝1，
两式相减得：(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2＝0，
∵ 线段AB的中点坐标为(2, −1)，
∴ x1+x2=4，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2＝2b2a2，
又AB斜率kAB=0+14−2=12，
∴ 2b2a2＝12，即a=2b，
e=ca=c2a2＝1−b2a2＝32．
【答案】
1010
【考点】
正弦定理
余弦定理
基本不等式
【解析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA，利用同角三角函数基本关系可求csA的值，进而利用余弦定理，基本不等式即可求解．
【解答】
解：由3bcsC+3ccsB=5asinA，及正弦定理可得：
3sinBcsC+3sinCcsB=5sin2A，
可得：3sin(B+C)=5sin2A.
由sin(B+C)=sinA>0，可得sinA=35.
因为A是锐角，所以csA=45，
则a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−85bc，
则a2bc=b2+c2−85bcbc=b2+c2bc−85≥2bcbc−85=25，
当且仅当b=c时，a2bc取得最小值25，
故a2=25b2，故a=105b，
所以ab+c=1010．
故答案为：1010.
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
若设t＝2x，可得t∈[1, 4]，得a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立．若设y＝t2−t，其中t∈[1, 4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2−t)min＝0；
若命题“p∨q“为真，命题“p∧q“为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2+ax+2>0在R上恒成立时，则△＝a2−8<0，得−22
复合命题及其真假判断
【解析】
（1）“∀x∈[0, 2]，2x−4x+a≤0均成立可分离变量转化为a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立，进而解出a的取值范围．
（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，则命题p，q一真一假，取交集得到a的取值范围即可．
【解答】
若设t＝2x，可得t∈[1, 4]，得a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立．若设y＝t2−t，其中t∈[1, 4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2−t)min＝0；
若命题“p∨q“为真，命题“p∧q“为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2+ax+2>0在R上恒成立时，则△＝a2−8<0，得−22
由于3(bcsC−a)=csinB，
则由正弦定理，得3(sinBcsC−sinA)=sinCsinB．
由sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
得−3csBsinC=sinCsinB．
由0
又csB≠0（若csB=0，则sinB=0，sin2B+cs2B=0这与sin2B+cs2B=1矛盾），
所以tanB=−3．
又0
由余弦定理及b=23，得(23)2=a2+c2−2accs2π3，
即12=(a+c)2−ac．将a+c=4代入，解得ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式可求tanB=−3，结合范围0
【解答】
由于3(bcsC−a)=csinB，
则由正弦定理，得3(sinBcsC−sinA)=sinCsinB．
由sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
得−3csBsinC=sinCsinB．
由0
又csB≠0（若csB=0，则sinB=0，sin2B+cs2B=0这与sin2B+cs2B=1矛盾），
所以tanB=−3．
又0
由余弦定理及b=23，得(23)2=a2+c2−2accs2π3，
即12=(a+c)2−ac．将a+c=4代入，解得ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．
【答案】
当a=4时，f(x)=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈(0, +∞)时，f(x)=x+4x−2≥2x×4x−2=2，
当且仅当x=4x即x=2时等号成立，
所以f(x)的最小值为2．
根据题意可得x2−2x+a>0在x∈(0, +∞)上恒成立，
等价于a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，
因为g(x)=−x2+2x在(0, 1)上单调递增，
在(1, +∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，
所以a>1．
f(x)=x+ax−2，设0
∴ f(x)在(0, a)单调递减，同理可证f(x)在(a, +∞)单调递增，
当0
当a>4时，a>2，函数f(x)在[2, a)上单调递减，
在(a, +∞)上单调递增，
f(x)min=f(a)=2a−2．
所以f(x)min=a2(0
【考点】
基本不等式及其应用
函数恒成立问题
【解析】
（1）当a=4时，f(x)=x+4x−2，利用基本不等式即可求得最小值；（2）由题意可得a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，根据二次函数的图象与性质求出y=−x2+2x的最大值即可得解；（3）先证明f(x)在(0, a)单调递减，在(a, +∞)单调递增，对0
【解答】
当a=4时，f(x)=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈(0, +∞)时，f(x)=x+4x−2≥2x×4x−2=2，
当且仅当x=4x即x=2时等号成立，
所以f(x)的最小值为2．
根据题意可得x2−2x+a>0在x∈(0, +∞)上恒成立，
等价于a>−x2+2x在x∈(0, +∞)上恒成立，
因为g(x)=−x2+2x在(0, 1)上单调递增，
在(1, +∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，
所以a>1．
f(x)=x+ax−2，设0
∴ f(x)在(0, a)单调递减，同理可证f(x)在(a, +∞)单调递增，
当0
当a>4时，a>2，函数f(x)在[2, a)上单调递减，
在(a, +∞)上单调递增，
f(x)min=f(a)=2a−2．
所以f(x)min=a2(0
【答案】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）将已知等式两边同除以n(n+1)，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【答案】
解：1当0
=−12x2+60x−400.
当x≥70时，
y=100x−101x+6400x−2060−400
=1660−x+6400x，
∴ y=−12x2+60x−400，0
=−12x−602+1400，
当x=60时，y取最大值1400万元；
当x≥70时，
y=1660−x+6400x
≤1660−2x⋅6400x=1500，
当且仅当x=80时，取等号，
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1当0
=−12x2+60x−400.
当x≥70时，
y=100x−101x+6400x−2060−400
=1660−x+6400x，
∴ y=−12x2+60x−400，0
=−12x−602+1400，
当x=60时，y取最大值1400万元；
当x≥70时，
y=1660−x+6400x
≤1660−2x⋅6400x=1500，
当且仅当x=80时，取等号，
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【答案】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）利用椭圆的基本性质，求出即可；
（2）联立解方程组，用韦达定理和数量积公式，求出m，得到定点坐标．
【解答】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．
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