高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像学案，共7页。学案主要包含了学习过程，探究问题等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝x·sin x是（ ）。
A．奇函数，不是偶函数B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数
2．下列图像中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图像的是（ ）。
3．点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sin x的图像上，则m等于（ ）。
A．0B．1
C．－1D．2
二、合作探究
探究一：正弦函数的性质与图像
【例1】用五点法做出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间。
①y>1；②y<1。
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值。
探究二：正弦函数的单调性及应用
【例2】比较下列各组数的大小。
（1）sin 194°和cs 160°；
（2）sin eq \f(7,4)和cs eq \f(5,3)；
（3）sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,8)))和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))。
[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。
探究三：正弦函数的值域与最值问题
【探究问题】
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在x∈[0，π]上最小值能否为－1？
【提示】不能。因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函数图像可知函数的最小值为－eq \f(\r(2),2)。
2．函数y＝Asin x＋b，x ∈ R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】不是。因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋B．
【例3】求下列函数的值域。
（1）y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；
（2）y＝1－2sin2x＋sin x。
[思路探究]（1）用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围。
（2）用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围。
三、学习小结
1．正弦函数的性质
（1）函数的周期性
①周期函数：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
②最小正周期：对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期。
（2）正弦函数的性质
2．正弦函数的图像
（1）利用正弦线可以做出y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，要想得到y＝sin x（x ∈R）的图像，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线。
（2）“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，所取的五点分别是（0，0），eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，（π，0），eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，－1))和（2π，0）。
四、精炼反馈
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是（ ）。
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k ∈ Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是（ ）。
3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________。
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0，2π]上的简图。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】∵f（－x）＝－x·sin（－x）＝－x（－sin x）＝x·sin x＝f（x），
∴y＝x·sin x为偶函数，不是奇函数。
2．【答案】D
【解析】把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图像，故选D。
3．【答案】C
【解析】由题意，知－m＝sin eq \f(π,2)，∴－m＝1，
∴m＝－1．
例1．【解】按五个关键点列表
描点连线得：
（1）由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈（－π，0）时，y>1，当x∈（0，π）时，y<1．
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1（3）由图像可知ymax＝3，此时x＝－eq \f(π,2)；ymin＝－1，此时x＝eq \f(π,2)。
例2．解：（1）sin 194°＝sin（180°＋14°）＝－sin 14°。
cs 160°＝cs（180°－20°）＝－cs 20°＝－sin 70°。
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cs 160°。
（2）∵cs eq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，
又eq \f(π,2)y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上是减函数，
∴sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，
即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3)。
（3）∵cs eq \f(3π,8)＝sin eq \f(π,8)，
∴0而y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内递增，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))例3．【答案】（1）∵－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
∴－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤2，
∴1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的值域为[1，5]。
（2）y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)。
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤eq \f(9,8)，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8)))。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．
2．【答案】D
【解析】可以用特殊点来验证。当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝eq \f(3π,2)时，y＝－sin eq \f(3π,2)＝1，排除B．
3．【答案】[－1，0]
【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.
4．解：列表：
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
学习目标
核心素养
1．能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图像。（难点）
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值。（重点）
1．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养。
2．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养。
函数
y＝sin x
定义域
（－∞，＋∞）
值域
[－1，1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))（k ∈ Z）上递增；
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))（k ∈ Z）上递减
最值
x＝2kπ＋eq \f(π,2)，（k ∈ Z）时，y最大值＝1；
x＝2kπ－eq \f(π,2)（k ∈ Z）时，y最小值＝－1
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0