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初中数学人教版九年级上册23.2.2 中心对称图形随堂练习题
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这是一份初中数学人教版九年级上册23.2.2 中心对称图形随堂练习题，共14页。
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
一、选择题
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图,△ABC和△AB'C'成中心对称,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为( )
A.4 B.33 C.233 D.433
3.如图,若甲、乙关于点O成中心对称,则乙图中不符合题意的一块是( )
4.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )
A．Q(3，240°) B.Q(3，－120°) C．Q(3，600°) D.Q(3，－500°)
5.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是 ( )
A.1或4 B.2或3 C.3或4 D.1或2
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( )
A.1 B.3 C.4 D.6
7.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,点F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2020·绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
10.(2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(－3，10)
C．(10，－3) D．(3，－10)
11.(2019·舟山)如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
二、填空题
12.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是 .
13.如图,AB＝3,AC＝1,∠D＝90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 .
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,且AD＝12BC＝2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是 .
三、解答题
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点.
(1)画图:连接AE并延长,交BC的延长线于点F,连接BE;
(2)填空:点A与点F关于点 成中心对称,若AB＝AD＋BC,则△ABF是 三角形,此时点A与点F关于直线 成轴对称;
(3)图中△ 的面积等于四边形ABCD的面积.
16.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
17.如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
18.如图，AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形；
(2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围．
19.(中考·枣庄)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF.
(1)若四边形ABFE的面积为24，求△ABC的面积．
(2)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由．
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－3,－1),B(－1,－4),C(－3,－4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
22.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB＝5,AC＝3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE＝AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE＋CF>EF;
(2)若∠A＝90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
参考答案
一、选择题
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 (C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图,△ABC和△AB'C'成中心对称,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为( A )
A.4 B.33 C.233 D.433
3.如图,若甲、乙关于点O成中心对称,则乙图中不符合题意的一块是( C )
4.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( D )
A．Q(3，240°) B.Q(3，－120°) C．Q(3，600°) D.Q(3，－500°)
5.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是 (D)
A.1或4 B.2或3
C.3或4 D.1或2
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( B )
A.1 B.3 C.4 D.6
7.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( C )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,点F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2020·绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( B )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
10.(2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(－3，10)
C．(10，－3) D．(3，－10)
【点拨】∵A(－3，4)，B(3，4)，∴AB＝3＋3＝6.
∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6.
∴D(－3，10)．
∵每4次一个循环，70＝4×17＋2，
∴第70次旋转结束时，相当于将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°.
∴所求点D的坐标为(3，－10)．
【答案】D
11.(2019·舟山)如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
二、填空题
12.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是 O1 .
13.如图,AB＝3,AC＝1,∠D＝90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 13 .
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,且AD＝12BC＝2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 2 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是 DE的中点 .
三、解答题
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点.
(1)画图:连接AE并延长,交BC的延长线于点F,连接BE;
(2)填空:点A与点F关于点 E 成中心对称,若AB＝AD＋BC,则△ABF是 等腰 三角形,此时点A与点F关于直线 BE 成轴对称;
(3)图中△ ABF 的面积等于四边形ABCD的面积.
解:(1)图略.
16.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
解:如图所示.(答案不唯一)
17.如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
解:如图所示,BB',CC'的交点即为O,△A'B'C'即为所求.
18.如图，AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形；
解：延长AD至E，使DE＝AD，
连接CE，则△ECD即为所求，如图所示．
(2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围．
解：由(1)知AD＝DE，EC＝AB＝10.
在△ACE中，由AC－EC
∴1
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
解：如图①，△DEC为所求作的三角形．(答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
解：如图②，△ADC为所求作的三角形．
(答案不唯一)
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
如图③，△DEC为所求作的三角形．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF.
(1)若四边形ABFE的面积为24，求△ABC的面积．
【思路点拨】利用特殊四边形与三角形面积关系求解；
解：∵△ABC与△FEC关于点C成中心对称，
∴点A，C，F共线，点B，C，E共线，AC＝FC，BC＝EC.
∴四边形ABFE是平行四边形．
∴S△ABC＝S▱ABFE＝6.
(2)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由．
【思路点拨】用逆向思维法探求条件．
解：当∠ACB＝60°时，四边形ABFE是矩形．理由如下：
∵AC＝AB，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝BC.
又∵AC＝CF＝AF，BC＝EC＝BE，∴AF＝BE.
又∵四边形ABFE是平行四边形，∴▱ABFE是矩形．
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－3,－1),B(－1,－4),C(－3,－4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略,S△A2B2C2＝12×3×2＝3.
22.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB＝5,AC＝3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE＝AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE＋CF>EF;
(2)若∠A＝90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解:(1)延长FD到点G,使得DG＝DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF＝BG,DF＝DG.
又∵DE⊥DF,∴EF＝EG.
在△BEG中,BE＋BG>EG,即BE＋CF>EF.
(2)若∠A＝90°,则∠EBC＋∠FCB＝90°.
由(1)知∠FCB＝∠DBG,EF＝EG,
∴∠EBC＋∠DBG＝90°,即∠EBG＝90°,
∴在Rt△EBG中,BE2＋BG2＝EG2,
∴BE2＋CF2＝EF2.
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
一、选择题
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图,△ABC和△AB'C'成中心对称,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为( )
A.4 B.33 C.233 D.433
3.如图,若甲、乙关于点O成中心对称,则乙图中不符合题意的一块是( )
4.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )
A．Q(3，240°) B.Q(3，－120°) C．Q(3，600°) D.Q(3，－500°)
5.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是 ( )
A.1或4 B.2或3 C.3或4 D.1或2
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( )
A.1 B.3 C.4 D.6
7.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,点F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2020·绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
10.(2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(－3，10)
C．(10，－3) D．(3，－10)
11.(2019·舟山)如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
二、填空题
12.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是 .
13.如图,AB＝3,AC＝1,∠D＝90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 .
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,且AD＝12BC＝2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是 .
三、解答题
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点.
(1)画图:连接AE并延长,交BC的延长线于点F,连接BE;
(2)填空:点A与点F关于点 成中心对称,若AB＝AD＋BC,则△ABF是 三角形,此时点A与点F关于直线 成轴对称;
(3)图中△ 的面积等于四边形ABCD的面积.
16.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
17.如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
18.如图，AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形；
(2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围．
19.(中考·枣庄)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF.
(1)若四边形ABFE的面积为24，求△ABC的面积．
(2)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由．
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－3,－1),B(－1,－4),C(－3,－4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
22.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB＝5,AC＝3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE＝AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE＋CF>EF;
(2)若∠A＝90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
参考答案
一、选择题
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有 (C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图,△ABC和△AB'C'成中心对称,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为( A )
A.4 B.33 C.233 D.433
3.如图,若甲、乙关于点O成中心对称,则乙图中不符合题意的一块是( C )
4.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( D )
A．Q(3，240°) B.Q(3，－120°) C．Q(3，600°) D.Q(3，－500°)
5.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是 (D)
A.1或4 B.2或3
C.3或4 D.1或2
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( B )
A.1 B.3 C.4 D.6
7.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( C )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,点F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2020·绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( B )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
10.(2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(－3，10)
C．(10，－3) D．(3，－10)
【点拨】∵A(－3，4)，B(3，4)，∴AB＝3＋3＝6.
∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6.
∴D(－3，10)．
∵每4次一个循环，70＝4×17＋2，
∴第70次旋转结束时，相当于将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°.
∴所求点D的坐标为(3，－10)．
【答案】D
11.(2019·舟山)如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
二、填空题
12.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是 O1 .
13.如图,AB＝3,AC＝1,∠D＝90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 13 .
14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,且AD＝12BC＝2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 2 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是 DE的中点 .
三、解答题
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点.
(1)画图:连接AE并延长,交BC的延长线于点F,连接BE;
(2)填空:点A与点F关于点 E 成中心对称,若AB＝AD＋BC,则△ABF是 等腰 三角形,此时点A与点F关于直线 BE 成轴对称;
(3)图中△ ABF 的面积等于四边形ABCD的面积.
解:(1)图略.
16.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
解:如图所示.(答案不唯一)
17.如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
解:如图所示,BB',CC'的交点即为O,△A'B'C'即为所求.
18.如图，AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形；
解：延长AD至E，使DE＝AD，
连接CE，则△ECD即为所求，如图所示．
(2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围．
解：由(1)知AD＝DE，EC＝AB＝10.
在△ACE中，由AC－EC
∴1
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
解：如图①，△DEC为所求作的三角形．(答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
解：如图②，△ADC为所求作的三角形．
(答案不唯一)
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
如图③，△DEC为所求作的三角形．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF.
(1)若四边形ABFE的面积为24，求△ABC的面积．
【思路点拨】利用特殊四边形与三角形面积关系求解；
解：∵△ABC与△FEC关于点C成中心对称，
∴点A，C，F共线，点B，C，E共线，AC＝FC，BC＝EC.
∴四边形ABFE是平行四边形．
∴S△ABC＝S▱ABFE＝6.
(2)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由．
【思路点拨】用逆向思维法探求条件．
解：当∠ACB＝60°时，四边形ABFE是矩形．理由如下：
∵AC＝AB，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝BC.
又∵AC＝CF＝AF，BC＝EC＝BE，∴AF＝BE.
又∵四边形ABFE是平行四边形，∴▱ABFE是矩形．
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(－3,－1),B(－1,－4),C(－3,－4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略,S△A2B2C2＝12×3×2＝3.
22.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB＝5,AC＝3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE＝AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE＋CF>EF;
(2)若∠A＝90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解:(1)延长FD到点G,使得DG＝DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF＝BG,DF＝DG.
又∵DE⊥DF,∴EF＝EG.
在△BEG中,BE＋BG>EG,即BE＋CF>EF.
(2)若∠A＝90°,则∠EBC＋∠FCB＝90°.
由(1)知∠FCB＝∠DBG,EF＝EG,
∴∠EBC＋∠DBG＝90°,即∠EBG＝90°,
∴在Rt△EBG中,BE2＋BG2＝EG2,
∴BE2＋CF2＝EF2.
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