人教版七年级数学上册第一章有理数（完整知识点）

这是一份人教版七年级数学上册第一章有理数（完整知识点），共13页。主要包含了正数和负数，有理数，有理数的运算等内容，欢迎下载使用。

一、正数和负数
（一）正数：大于0的数。
（二）0的意义
1、0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界。
2、“0”不仅表示没有，还可以表示某种量的基准。
（三）负数：在正数前面加上符号“﹣”（负）的数。
（四）用正数和负数表示具有相反意义的量
1、含义
①具有相反意义
②具有数量
2、通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与它具有相反意义的量就可以用负数表示。
二、有理数
（一）分类及有关概念
1、根据有理数的定义分
2、根据有理数的性质分
3、数集：把一类数放在一起，就组成了一个集合，简称数集；每个集合最后的省略符号“…”表示填入的数只是集合的一部分。
（二）数轴
1、概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点不都表示有理数。
3、一般的，设a是一个正数，表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数﹣a的点在原点的左侧，与原点的距离为a个单位长度。
（三）相反数
1、概念：只有符号不同的两个数叫做相反数。
2、几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
3、性质
（1）任何一个数都有相反数，而且只有一个；
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；
（3）0的相反数是0，即若a=﹣a，则a=0
4、求一个数相反数的方法
（1）求一个数相反数的方法，只需改变这个数前面的符号。
（2）求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号。
5、多重符号的化简：相反数的定义是多重符号化简的依据，当“﹣”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“﹣”号的个数是奇数时，化简的结果为负数。
（四）绝对值
1、概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，读作“a的绝对值”。
2、性质
（1）一个正数的绝对值是它本身，即如果a>0，那么a=a；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，那么a=﹣a；
（3）0的绝对值是0，即若a=0，那么a=0。
3、数轴上两点间距离公式：数轴上A、B两点代表的数分别为xa和xb，数轴上A、B两点的距离为xa﹣xb。
（五）有理数的大小比较
1、利用数轴：在数轴上表示有理数，左边的数小于右边的数。
2、利用法则
（1）同为正数，绝对值大的数大。
（2）同为负数，绝对值大的数反而小。
（3）正数大于负数和0，负数小于0。
三、有理数的运算
（一）有理数的加减法
1、有理数的加法
（1）加法法则
①同号两数相加，取相同加数的符号，并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的异号两数相加得0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
（2）加法运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
2、有理数减法
（1）减法法则
①减去一个数等于加上这个数的相反数；用字母表示为a﹣b=a+（﹣b）；
②0减去任何数都等于它的相反数。
3、有理数的减法是有理数加法的逆运算
4、有理数的加减混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数和负数和的形式。
5、省略和式中的括号和加号：为简化书写形式，在和式里可以把加号和加数的括号省略不写。
（二）有理数的乘除法
1、有理数的乘法
（1）乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
②任何数与0相乘，都等于0。
③1乘以任何数都等于任何数，﹣1乘以任何数都等于它的相反数。
（2）有理数乘法的推广
①几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，“奇负偶正”；
②几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积也等于0。
（3）运算定律
①乘法交换律：a×b=b×a；
②乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）；
③乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c；
2、有理数的除法
（1）倒数
①概念:乘积是1的两个数互为倒数。
②性质
a、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
b、0没有倒数。
c、倒数是它本身的数是±1。
③求一个数倒数的方法
a、非0 整数 a的倒数为1a。
b、分数nm（m≠0.n≠0）的倒数mn。
c、带分数化为假分数、小数化为分数后，再求倒数。
（2）除法法则
①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示a÷b=a×1b（b≠0）
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。
③特殊推导
3、乘除混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的乘除混合运算转化为乘法运算。
（三）有理数的乘方
1、概念
（1）乘方：求几个相同因数积的运算；
（2）乘方是一种运算，幂是乘方的结果
2、法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
3、科学计数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学计数法。
（四）有理数的混合运算顺序
1、先乘方，再乘除，最后加减。
2、同级运算，从左到右进行。
3、如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号一次进行。
（五）近似数
1、准确数：与实际完全相符的数，称为准确数。
2、近似数概念：把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数。
3、近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度。
4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位。
5、取近似数的方法
（1）四舍五入法；
（2）去尾法；
（3）进一法