2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷（四）相似三角形

这是一份2019年浙教版数学九年级上学期期末专项复习卷（四）相似三角形，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 3a=5b，则 ab 等于
A. 35B. 53C. 38D. 58

2. 如图所示，已知在 △ABC 中，点 P 是边 AB 上的一点．连接 CP，则以下条件中不能确定 △ACP 与 △ABC 相似的是
A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACB
C. AC2=AP⋅ABD. ACCP=ABBC

3. 如图所示，在 △ABC 中，DE∥BC，点 D，E 分别在 AB，AC 上．若 AD:DB=2:3，则
A. DE:BC=2:3B. S△ADE:S四边形DECB=4:9
C. EC:AC=3:5D. AE:AC=3:5

4. 已知 △ABC 如图所示，则下列三角形中，与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.

5. 已知两个相似多边形的面积比是 9:16，其中较小多边形的周长为 36 cm，则较大多边形的周长为
A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm

6. 如图所示，点 A，B，C，D 是边长相同的小正方形组成的网格的顶点，AB，CD 相交于点 P，则 AP:BP 的值是
A. 2:1B. 2:3C. 3:2D. 3:1

7. 如图所示，已知在 Rt△ABC 中，AB=5．BC=3，在线段 AB 上取一点 D，作 DE⊥AB 交 AC 于点 E，将 △ADE 沿 DE 折叠，设点 A 落在线段 BD 上的对应点为 A1，DA1 的中点为 F．若 △FEA1∽△FBE，则 AD 等于
A. 85B. 45C. 94D. 98

8. 如图所示，AC 是矩形 ABCD 的对角线，点 E 是边 BC 延长线上一点，AE 与 CD 相交于点 F，则图中的相似三角形有
A. 2 对B. 3 对C. 4 对D. 5 对

9. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点，EC:DE=4:3，连接 AE，BE，BD，AE 与 BD 交于点 F，则 S△ABF:S△EBF:S△DEF 为
A. 7:4:3B. 49:21:16C. 49:16:9D. 49:21:9

10. 如图所示，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，底边 BC=a，∠A=36∘，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，∠BCD 的平分线交 BD 于点 E．设 k=5−12，则 DE 等于
A. k2aB. k3aC. ak2D. ak3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 x 是 3 和 4 的比例中项，则 x 的值为 ．

12. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC．若 AB=4，则 BC= ．

13. 如图所示，D 是 △ABC 中 AB 边上一点，请添加一个条件 使得 △ACD∽△ABC 成立．

14. 如图所示，D 是 △ABC 的边 BC 上一点．已知 AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若 △ABC 的面积为 m，则 △ACD 的面积为 ．

15. 如图所示，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的：AH 与 BE，BF，DF，DG，CG 分别交于点 P，Q，K，M，N．设 △BPQ，△DKM，△CNH 的面积依次为 S1，S2，S3．若 S1+S3=40，则 S2 的值为 ．

16. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=10，AD=4，点 P 是边 AB 上一点．若 △APD 与 △BPC 相似，则 AP 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 如图所示，∠A=∠F=110∘，∠B=36∘，∠D=34∘，求证：△ABC∼△FED．

18. 如图所示，在 △ABC 中，AD 是角平分线，点 E 是 AD 上的一点，且 CE=CD．求证：ABAC=ADAE．

19. 如图所示，有一块三角形纸板 ABC，它的边 BC=40 cm，高 AD=30 cm．从这块三角形中剪下一个长是宽的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别 AC，AB 上，求这个矩形 EFGH 的周长．

20. 网格中每个小正方形的边长都是 1．
（1）在图甲中画一个格点三角形 DEF，使得 △DEF≌△ABC；
（2）在图乙中画一个格点三角形 MNL，使得 △MNL∽△ABC，且相似比为 2:1；
（3）在图丙中画一个格点三角形 OPQ，使得 △OPQ∽△ABC，且相似比为 2:1．

21. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，点 E 为 AB 的中点．
（1）求证：AC2=AB⋅AD．
（2）求证：CE∥AD．
（3）若 AD=4，AB=5，求 ACCF 的值．

22. 抛物线 y=−x−32 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，直线 y=33x+m 过点 A，且与 y 轴交于点 C，与抛物线交于点 D，连接 BD．
（1）①求 m 的值．
②求点 D 的坐标．
③过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，求 CE 的长．
（2）若有一动点 P 在抛物线上，有一动点 Q 在抛物线的对称轴上，当以点 P，Q，A 三点为顶点的三角形和 △BCD 相似时，求点 Q 的坐标．

23. 类比，转化，从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，以下是一个案例，请补充完整．
原题：如图甲所示，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G．若 AFEF=4，求 CDCG 的值．
（1）尝试探究．
在图甲中，过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是 ，CDCG 的值是 ．
（2）类比延伸．
如图乙所示，在原题的条件下，若 AEEF=mm>0，则 CDCG 的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移．
如图丙所示，梯形 ABCD 中，DC∥AB，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F，若 ABCD=a，BCBE=ba>0,b>0，则 EFAF 的值是 （用含 a，b 的代数式表示）．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】A，B 两项都是三个角相等；
C 选项 ACAB=APAC，还有 ∠A 公共角，可以确定；
D 选项 ACAB=CPBC，两边相似，∠A 不是夹角，不能确定．
3. C
4. C
5. A
【解析】相似多边形的面积比为 9:16，
则相似比为 3:4，
∴较大多边形的周长=36×43=48cm．
6. C【解析】如图所示，过点 P 作 PE⊥BO 于点 E，PF⊥AO 于点 F．
设 PE=x，则 DE=PE=x，PF=OE=1+x，AF=BE=2−x，
易证 △APF∽△PBE，
∴ AFPE=PFBE，即 2−xx=1+x2−x，解得 x=45．
∴ AP:BP=AF:PE=65:45=3:2．
7. A【解析】∵Rt△ABC 中，AC=AB2−BC2=4，
设 AD=2x，则 DA1=AD=2x．
∵DA1 的中点为 F，
∴DF=A1F=x．
∵∠ADE=∠C=90∘，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DEBC，即 2x4=DE3，
解得 DE=3x2．
∴EF=DF2+DE2=13x2，FB=AB−AF=5−3x．
∵△FEA1∽△FBE，
∴EFBF=FA1EF，即 EF2=FA1⋅FB．
∴13x22=x⋅5−3x，
解得 x=45，
∴AD=85．
8. C【解析】相似三角形有：△ABC∽△ADC，△ECF∽△EBA，△ECF∽△ADF，△ADF∽△EBA，共 4 对．
9. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 EC:DE=4:3，
∴ △DEF∽△BAF，DE:AB=3:7．
∴ S△DEF:S△ABF=DE2:AB2=9:49，
∵ △DEF 与 △EBF 同高，
∴ S△DEF:S△EBF=DF:BF=3:7．
∴ S△ABF:S△EBF:S△DEF=49:21:9．
10. A
【解析】在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=a，∠A=36∘，
∴ ∠ABC=∠ACB=72∘．
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=36∘．
同理，∠DCE=∠BCE=36∘．
∴ ∠DEC=36∘+36∘=72∘，∠BDC=72∘．
∴ △CED∽△BCD．
故 CD:DE=BD:CD．
设 ED=x，BD=BC=a，
∵ BC=BD，则 BE=CE=CD=a−x，
∴ BE2=BD⋅ED，即 a−x2=ax，
解得 x1=3−52a，x2=3+52a>BD（舍去）．
∵ k2=5−122=3−52，
∴ ED=k2a．
第二部分
11. ±23
12. 6−25
【解析】BC=4×3−52=6−25．
13. ∠ADC=∠ACB（答案不唯一）
14. m4
【解析】在 △ABC 中，∠DAC=∠B，∠C=∠C，则 △ABC∽△DAC，则 S△ABCS△DAC=ABAD2=422=41，而 S△ABC=m，则 S△ACD=m4．
15. 16
【解析】由题意易证 △ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
所以 ABAD=BQDM=12，QBCH=ABAC=13．
所以 △BPQ∽△DKM∽△CNH．
所以 S1S2=14，S1S3=19．
所以 S2=4S1，S3=9S1．
因为 S1+S3=40，
所以 S1=4，S2=16．
16. 2，5，8
【解析】设 AP 为 x，
因为 AB=10，所以 PB=10−x．
①当 AD 和 PB 是对应边时，ADPB=APBC．即 410−x=x4，整理得 x2−10x+16=0，解得 x=2 或 x=8．
②当 AD 和 BC 是对应边时，ADBC=APPB，即 44=x10−x，解得 x=5．
所以当 AP=2,5,8 时，△APD 与 △BPC 相似．
第三部分
17. ∵ ∠A=∠F=110∘，且 ∠B=36∘，
∴ ∠C=180∘−∠A−∠B=34∘，
∴ ∠D=∠C，
∴ △ABC∼△FED．
18. ∵ AD 是角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD．
∵ CE=CD，
∴ ∠CDE=∠CED，
∴ ∠ADB=∠AEC，
∴ △ABD∽△ACE，
∴ ABAC=ADAE．
19. ∵ 四边形 EFGH 为矩形，
∴EF∥HG，
∴△AHG∽△ABC．
∵AD⊥BC 于点 D，AD 交 HG 于点 M，
∴AD⊥HG 于点 M，
∴AMAD=HGBC．
设 HE=x，
则 HG=2x，AM=AD−DM=AD−HE=30−x，
可得 30−x30=2x40，解得 x=12，
∴ 矩形 EFGH 的周长为 2×12+24=72cm．
20. （1）
（2）
（3）
21. （1） ∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又 ∵∠ADC=∠ACB=90∘．
∴△DAC∽△CAB，则 ADAC=ACAB，AC2=AB⋅AD．
（2） 在 Rt△ABC 中，
∵E 为 AB 的中点，
∴CE=12AB=AE．
∴∠CAE=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，CE∥AD．
（3） ∵∠DAC=∠ACE，∠DFA=∠EFC，
∴△AFD∽△CFE，则 ADCE=AFCF，
∴412×5=AC−CFCF，85=ACCF−1，ACCF=135．
22. （1） ①抛物线顶点 A 为 3,0，把它代入 y=33x+m，解得 m=−1．
②联立方程组 y=−x−32,y=33x−1.
解得 x1=233,y1=−13, x2=3,y2=0.
即点 D 的坐标为 233,−13．
③求点 B，当 x=0 时，y=−3，则点 B0,−3；
求点 C，当 x=0 时，y=−1，则点 C0,−1．
所以直线 BD 为 y−−3=−13−−3233−0x−0，
化简得 4x−3y−33=0，
则点 C0,−1 与直线 BD 的距离为 d=∣4×0−3×−1−33∣42+32=21957．
（2） 若点 Q 在 x 轴下方，当 ∠QAP=∠CDB，∠APQ=∠BCD 时，Q13,−13327，
当 ∠QAP=∠CBD，∠APQ=∠BCD 时，Q23,−769，
当 ∠QAP=∠CDB，∠AQP=∠BCD 时，Q33,−2827，
当 ∠QAP=∠CBD，∠AQP=∠BCD 时，Q43,−4．
若点 Q 在 x 轴上方，当 ∠QAP=∠BCD，∠AQP=∠CDB 时，Q53,49，
当 ∠QAP=∠BCD，∠AQP=∠CBD 时，Q63,1．
23. （1） AB=4EH；CG=2EH；2
（2） m2；作 EH∥AB 交 BG 于点 H，则 △EFH∽△AFB，
∴ ABEH=AFEF=m，AB=mEH．
∵ AB=CD，
∴ CD=mEH，EH∥AB∥CD，
∴ △BEH∽△BCG．
∴ CGEH=BCBE=2，
∴ CG=2EH，
∴ CDCG=mEH2EH=m2．
（3） 1ab