高中第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件随堂练习题

这是一份高中第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件随堂练习题，共14页。试卷主要包含了已知p，已知命题p等内容，欢迎下载使用。

2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《1.4充分条件与必要条件》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•5月份模拟）已知p：（a+1）2≤1；q：∀x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021•全国Ⅰ卷模拟）“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021春•广州月考）若p：f（x）是奇函数，q：y＝f（x）的图象经过坐标原点，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021•北仑区校级模拟）设a，b∈R，p：log2（a﹣1）+log2（b﹣1）＞0，q：＜1，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021•海淀区校级模拟）已知α，β∈R，则“α＝β+kπ，k∈Z”是“sin2α＝sin2β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•贵溪市校级月考）若是或的充要条件．　 　（判断对错）
7．（2021春•高安市校级期中）已知p：﹣1＜x＜3，q：﹣1＜x＜m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　．
8．（2021•蜀山区校级模拟）若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则a的取值范围是　 　．
9．（2021•临川区校级模拟）已知命题p：∃x∈R，x2+x+a≤0，命题，则￢p是q的　 　条件．
10．（2021•贵溪市校级三模）a＞b是ac2＞bc2充要条件．　 　（判断对错）
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•庐阳区校级期中）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式（x﹣m2）（x﹣2m+1）≤0的解集为B．
（Ⅰ）当m＝2时，求（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围．
12．（2020秋•湖北期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
13．（2021春•沙坪坝区校级期中）集合，B＝{x||x﹣a|＜2，x∈R}．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若x∈∁RA是x∈B的充分不必要条件，求a的范围．
14．（2021春•射洪市校级月考）设p：x＞a，q：x＞3．
（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
15．（2021春•江宁区校级期中）已知命题p：∀x∈R，（a+1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立：命题q：曲线＝1表示双曲线．使命题p为真的a的取值范围记为集合P，使命题q为真的a的取值范围记为集合Q．
（1）求集合P；
（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《1.4充分条件与必要条件》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•5月份模拟）已知p：（a+1）2≤1；q：∀x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据一元二次不等式的解法求出a的范围，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：p：∵（a+1）2≤1，∴﹣1≤a+1≤1，∴﹣2≤a≤0，
q：∵∀x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，
∴a＝0或，∴﹣4＜a≤0，
∵[﹣2，0]⊆（﹣4，0]，
∴p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，一元二次不等式的解法，属于中档题．
2．（2021•全国Ⅰ卷模拟）“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【分析】先求出方程表示圆的等价条件，再根据充分条件、必要条件定义判定即可．
【解答】解：∵方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆，
∴4+16﹣4a＞0，∴a＜5，
∵（﹣∞，5）⊆（﹣∞，8），
∴a＜8是方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件定义及判定，考查了表示圆的条件，属于基础题．
3．（2021春•广州月考）若p：f（x）是奇函数，q：y＝f（x）的图象经过坐标原点，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；直观想象．
【分析】通过举实例，结合函数的奇偶性以及充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：①当f（x）＝时，函数f（x）是奇函数，但f（x）＝的图象不经过坐标原点，∴充分性不成立，
②当f（x）＝x2 时，函数f（x）的图象经过坐标原点，但f（x）不是奇函数，∴必要性不成立，
∴p是q的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题．
4．（2021•北仑区校级模拟）设a，b∈R，p：log2（a﹣1）+log2（b﹣1）＞0，q：＜1，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学运算．
【分析】若log2（a﹣1）+log2（b﹣1）＞0，则a＞1,b＞1,ab＞a+b,从而可得＜1，再举反例说明不必要即可．
【解答】解：若log2（a﹣1）+log2（b﹣1）＞0，
则a﹣1＞0,b﹣1＞0,(a﹣1)(b﹣1)＞1，
则a＞1,b＞1,ab＞a+b,
则＜1，
若a＝b＝﹣1，则＜1成立，而log2（a﹣1）+log2（b﹣1）＞0不成立，
故p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分、必要条件的判断，同时考查了对数运算及不等式性质应用，属于基础题．
5．（2021•海淀区校级模拟）已知α，β∈R，则“α＝β+kπ，k∈Z”是“sin2α＝sin2β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】利用正弦函数的性质，结合充要条件的定义即可判断．
【解答】解：①当α＝β+kπ，k∈Z时，则2α＝2β+2kπ，k∈Z，
∴sin2α＝sin(2β+2kπ)＝sin2β,∴充分性成立，
②当sin2α＝sin2β时，则2α＝2β+2kπ,k∈Z或2α+2β＝π+2kπ,k∈Z，
∴α＝β+kπ或α+β＝+kπ,k∈Z，∴必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•贵溪市校级月考）若是或的充要条件．　错　（判断对错）
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【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】根据向量数量积的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由得|||cos＜，＞|＝0，
即或或＜，＞＝，
当或时，，
即是或必要不充分条件，不是充要条件，
故答案为：错
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的定义是解决本题的关键，是基础题．
7．（2021春•高安市校级期中）已知p：﹣1＜x＜3，q：﹣1＜x＜m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　（1，+∞）　．
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【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，
∴（﹣1，3）⫋（﹣1，m+2），
则m+2＞3，即m＞1，
即实数m的取值范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．
8．（2021•蜀山区校级模拟）若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则a的取值范围是　[，2]　．
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【专题】计算题；方程思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】求解绝对值的不等式可得﹣1+a＜x＜1+a，再由|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，得关于a的不等式组求解．
【解答】解：由|x﹣a|＜1，得﹣1+a＜x＜1+a，
根据题意知﹣1+a≤1＜≤1+a（等号不同时成立），
解得≤a≤2．
故答案为：[，2]．
【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查数学转化思想方法，是基础题．
9．（2021•临川区校级模拟）已知命题p：∃x∈R，x2+x+a≤0，命题，则￢p是q的　充分不必要　条件．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】先求出特称命题p的等价条件，再求出p的否定，最后结合充分必要条件的定义即可求解．
【解答】解：p：∵∃x∈R，x2+x+a≤0，∴△＝1﹣4a≥0，∴a≤，∴┐p：a＞，
∵（，+∞）⊊[，+∞），
∴┐p是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．
【点评】本题考查了特称命题的应用，考查充分必要条件的判断，属于基础题．
10．（2021•贵溪市校级三模）a＞b是ac2＞bc2充要条件．　错　（判断对错）
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【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】已知a，b，c∈R，由ac2＞bc2⇒a＞b，反之不成立，例如c＝0时，即可判断出真假．
【解答】解：由ac2＞bc2⇒a＞b，
反之不成立，例如c＝0时，
因此a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件，
因此不是真命题，
故答案为：错．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•庐阳区校级期中）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式（x﹣m2）（x﹣2m+1）≤0的解集为B．
（Ⅰ）当m＝2时，求（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】（Ⅰ）根据条件求出A和B的等价条件，利用集合的基本运算进行计算即可．
（Ⅱ）根据充分条件的定义转化为集合关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）有意义，则得得﹣＜x＜4，即函数的定义域A＝（﹣，4）．
当m＝2时，不等式等价为（x﹣4）（x﹣3）≤0得3≤x≤4，即B＝[3，4]，
则∁RA＝（﹣∞，﹣]∪[4，+∞），
则（∁RA）∪B＝（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）（x﹣m2）（x﹣2m+1）＝0得根为x＝m2，或x＝2m﹣1，
∵m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴m2≥2m﹣1，
∴（x﹣m2）（x﹣2m+1）≤0的解集为B＝[2m﹣1，m2]，
若x∈A是x∈B的充分条件，
则A⊆B，
即，得，得m≤﹣2，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义转化为集合关系是解决本题的关键，是基础题．
12．（2020秋•湖北期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．
【解答】解：（1）A＝{x|≤0}＝{x|2＜x≤5}，
B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．
当a＝2时，B＝（1，3），
则∁UA＝{x|x＞5或x≤2}，∁UB＝{x|x≥3或x≤1}，
则（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＞5或x≤1．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
则B⫋A，则，得，得3≤a≤4，
即实数a的取值范围是[3，4]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合关系转化为真子集关系是解决本题的关键，是基础题．
13．（2021春•沙坪坝区校级期中）集合，B＝{x||x﹣a|＜2，x∈R}．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若x∈∁RA是x∈B的充分不必要条件，求a的范围．
【考点】并集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（1）先解不等式求出集合A，B，再利用集合并集的定义求解即可．
（2）先求出∁RA＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，再根据题意得到∁RA⊊B，列出不等式组即可．
【解答】解：（1）由＜1得，即（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，所以A＝{x|x＜﹣2或x＞1}，
当a＝2时，B＝{x||x﹣2|＜2，x∈R}，由|x﹣2|＜2得﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，
所以B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞0}．
（2）∁RA＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，
∵x∈∁RA是x∈B的充分不必要条，∴∁RA⊊B，
∴，∴﹣1＜a＜0．
∴a的取值范围为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2021春•射洪市校级月考）设p：x＞a，q：x＞3．
（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}，
（1）若p是q的必要不充分条件，则B⫋A，进而可得a的范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B，进而可得a的范围．
【解答】解：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}，
（1）∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
∴a＜3．
（2）∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，
∴a＞3．
【点评】本题考查了充分条件，必要条件的应用，考查计算能力和推理能力，属于基础题．
15．（2021春•江宁区校级期中）已知命题p：∀x∈R，（a+1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立：命题q：曲线＝1表示双曲线．使命题p为真的a的取值范围记为集合P，使命题q为真的a的取值范围记为集合Q．
（1）求集合P；
（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
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【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】（1）根据不等式恒成立进行求解即可．
（2）求出集合P，Q，根据必要不充分条件与集合关系转化为Q⫋P，然后进行求解即可．
【解答】解：（1）当a+1＝0得a＝﹣1，此时不等式等价为1＞0，满足恒成立，
当a≠﹣1，要使不等式恒成立，
则，
得，得﹣1＜a＜3，
综上﹣1≤a＜3，即P＝[﹣1，3）．
（2）曲线＝1表示双曲线．
则（a﹣m+1）（a﹣m﹣1）＜0，得m﹣1＜a＜m+1，即Q＝（m﹣1，m+1）．
若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，
即Q⫋P，即，得，即0≤m≤2，
即实数m的取值范围是[0，2]．
【点评】本题主要考查充分不必要条件的应用，根据条件求出集合的等价条件，利用充分条件和必要条件与集合关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．

考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
3．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
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日期：2021/7/2 8:38:28；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867