初中数学华师大版九年级上册4. 相似三角形的应用课后练习题

这是一份初中数学华师大版九年级上册4. 相似三角形的应用课后练习题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中，正确的个数是（ ）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9
3.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为( )

A. B. C. D.
4.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A. B. ∠ADC＝∠ACB C. ∠ACD＝∠B D. AC2=AD·AB
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 1：3 B. 3：4 C. 1：9 D. 9：16
6.如图，小明在 时测得某树的影长为 ， 时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题
7.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为________米.
8.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，连接AC，BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为________.
三、解答题
9.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度.
10.如图，一位测量人员要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使 ，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距高吗?若能，请你帮他算出来：若不能，请你帮他设计一个可行方案。

11.如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒后,点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似?
四、综合题
12.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF;
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.

答案解析部分
一、单选题
1. B
分析：解：①∵等边三角形的各角都是60°，∴等边三角形都相似；①正确；
②∵直角三角形的直角相等，但两个锐角不一定相等，∴直角三角形不一定相似；②错误；
③∵等腰三角形的顶角不一定相等，则底角也不一定相等，∴等腰三角形不一定相似；③错误；
④锐角三角形不一定都相似，④错误；
⑤等腰三角形不一定都全等； ⑤错误；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似不一定相似：如30°，30°，120°的等腰三角形和30°，75°，75°的两个等腰三角形就不相似；⑥错误；
⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；因为钝角只能是顶角，所以底角也相等，所以相似，⑦正确；
⑧∵全等三角形是相似比等于1的情况，属于相似；∴全等三角形都相似．⑧正确．
综上，正确的结论有3个．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形对应边成比例，对应角相等，进行选项的判定。所以①⑦⑧满足判定条件，正确。
2. D
分析：解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．

【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ， 由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
3. C
分析：∵ ， ，
∴AB∥CD
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD,根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出， 根据比例式即可算出CD的长。
4. A
分析：解：根据两角对应相等的两三角形相似，可知B、C均可以判定两三角形相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可由AC2=AD·AB，∠A为公共角，可判定两三角形相似.
故答案为：A.
【分析】根据两个角相等的三角形相似，可推出B和C选项正确；根据三角形对应边成比例，且夹角相同，可证明D选项正确，所以A选项错误。
5. D
分析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16，
故答案为：D．
【分析】根据题意，易证△DFE∽△BFA，所以相似三角形对应边成比例，面积的比等于对应比的平方，即可求出正确答案。
6. B
分析：解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；
∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°
∴∠ECD=∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有 ；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：B．
【分析】根据“两角对应相等，两个三角形相似”判定Rt△EDC∽Rt△FDC，再根据相似三角形性质可得=,代入数据求得DC。
二、填空题
7. 10
分析：解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，
∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，
由题意可得：，
∴AE=8（米），
∴AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：10.
【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得， 从而求出AE的长，继而求出AB的长.
8. 144m
分析：解：∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴ ，
∵AM=3MC，MN=36m，
∴ ，
AB=144m，
故答案为：144m．
【分析】利用MN∥AB可判定△CMN∽△CAB，然后利用相似三角形的相似比即可求解。
三、解答题
9. 解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ，
同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得BD＝6，
∴ ＝ ，
解得AB＝5.1.
答：路灯杆AB高5.1m.
【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得CD∥AB， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△ABF， 利用相似三角形的对应边成比例可得＝ ，同理可得 ＝ ，利用等量代换求出＝ ，把已知条件代入求出BD＝6， 再根据 ＝ 即可求路灯杆AB的高度.
10. 解：∵， ∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∵ DE=37.2
∴,
∴AB=111.6.
答： A、B之间的距离为111.6米.
【解析】【分析】先根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证△DOE∽△BOA，利用相似三角形的对应边成比例可得， 从而求出AB的长，从而得出答案.
11. 解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,​​点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,
∴AP=t，BQ=2t，
∵AB=4，BC=8，
∴BP=AB-AP=4-t，
①当△PBQ∽△ABC时，
∴，
即，
解得：t=2；
②当△PBQ∽△CBA时，
∴，
即，
解得：t=；
综上所述：经过2秒或秒，△PBQ与△ABC相似.

【解析】【分析】根据题意可得AP=t，BQ=2t，BP=4-t，分情况讨论：①当△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别列出方程，解之即可得出答案.
四、综合题
12. （1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
=20
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：连接OP
∵PA=DF，AD=DC，∠PAD=∠ADC
∴ PAD≌ FDC
又∵EC= BE=ME= AB=1
∴MC= =FD
又∵PE=AP+AE= +1= =EC
∴∠EPC=∠ECP
又∵AB∥CD
∴∠EPC=∠DCF
∴∠PDA=∠ECP
∴ PFD∽ FMC（SAS）
∴MF=PF
（3）解：如图，在AD上取一点Q'，使AQ'=AQ，在BN上取一点B'，AB'=AB，连接B'Q'，做B'G⊥AD交EN于点K，交AD于点G
∵tan∠NBE=2，AB=AB'=2
∴BB'=
∴B'N=BN=BB'= "ANB'KOANBE
∵ NB'K~ NBE
∴B'K= ；KN= ；
∴B'G= ；DG=
∴Q'G=3- - =
在Rt B'GQ'中，∠B'GQ'=90°，有B'Q=
而（ -1）2≠
∴B'Q'≠（ -1）2
∴B'Q'≠BQ，点B'不在BN上
【解析】【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.（2）连结DP，根据全等三角形判定SAS得△PAD≌△FDC，由全等三角形性质得PA=FD= -1，在Rt△BEC中，由勾股定理求得EC长，从而可得MC=FD，由相似三角形判定得△PFD∽△FMC，根据相似三角形性质得 =1，由此可得PF=FM.（3）在AD上取一点Q´，使AQ´=AQ，在BN上取一点B´，AB´=AB，连结B´Q´，作B´G⊥AD交EN于点K，交AD于点G，根据锐角三角函数正切定义求得BB´=BN=B´N长，由相似三角形的性质求得B´K，KN,从而可得B´G，DG，Q´G长，在Rt△B´GQ´中,根据勾股定理求得B´Q´= ，而（ -1）2≠ ，即B´Q´≠（ -1）2 ， 从而可得点B´不在BN上.