数学必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱获奖作业ppt课件

11.1.3　多面体与棱柱

1．多面体

(1)定义

由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．

(2)相关概念(如图所示)

①多面体的面、棱与顶点

围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．

②多面体的面对角线与体对角线

一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．

③多面体的截面与表面积

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.

多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)．

(3)凸多面体

把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．

思考1：长方体、正方体是多面体吗？

[提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．

思考2：最简单的多面体由几个面所围成？

[提示]　四个．

2．棱柱

(1)定义

有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．

(2)图示及相关概念

棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．

(3)棱柱的表示方法

棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′.

(4)棱柱的高与侧面

过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．

(5)棱柱的分类

特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱．

(6)平行六面体与直平行六面体

底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．

1．一个多面体的面至少为(　　)

A．3个　　　　　　 B．4个

C．5个 D．6个

B　[由多面体的特征知，一个多面体至少有4个面，它是三棱锥．]

2．下列几何体中是棱柱的个数有(　　)

A．5个　　　B．4个　　　C．3个　　　D．2个

D　[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]

3．下面没有体对角线的一种几何体是(　　)

A．三棱柱　　　 B．四棱柱

C．五棱柱  D．六棱柱

A　[三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]

4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．

5　6　9　[面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]

【例1】　下列关于棱柱的说法正确的个数是(　　)

①四棱柱是平行六面体；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；

④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

A　[四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]

棱柱结构特征的辨析技巧

(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．

提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．

1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是(　　)

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直

D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形

D　[对于A，满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形；对于B，垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面；对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.]

【例2】　某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

A　[两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．]

多面体展开图问题的解题策略

1．绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

C　[将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]

【例3】　如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：

(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；

(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．

[解]　将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．

(1)∵矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，

∴三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.

(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，∴最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，

∴A1M＝AM，即＝1.

求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤

此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形；(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段；(3)计算此线段的长．

3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.

72　[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]

1．在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状．

2．能够绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．

3．几种常见四棱柱的关系

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形． (　　)

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． (　　)

(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　)

(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．下列说法中正确的是(　　)

A．直四棱柱是直平行六面体

B．直平行六面体是长方体

C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体

D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱

C　[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]

3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

D　[由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.

∴S侧＝1×2×4＝8.]

4．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．

O　[由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]

5．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

[解]　截面以上的几何体是三棱柱AEF­A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B1HGC1.