多维层次练34-等比数列及其前n项和学案

多维层次练34  等比数列及其前n项和

[巩固提升练]

1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）

A.－12   B.－10 

C.10  D .12

解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4得3S3＝S3－a3＋S3＋a4，即S3＝a4－a3＝d＝3a1＋3d，又a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝2＋4×（－3）＝－10.

答案：B

2.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.”其意思是：“现有一根金杖，长5尺，截头部1尺，重4斤，截尾部1尺，重2斤”.若该金杖从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，则该金杖共重（　　）

A.6斤   B.7斤

C.9斤   D.15斤

解析：设每一尺的重量构成等差数列{an}，则a1＝4，a5＝2，所以a1＋a5＝6，所以S5＝5×＝5×3＝15，故金杖共重15斤，故选D.

答案：D

3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝40，S9＝126，则S7＝（　　）

A.66  B.68 

C.77   D.84

解析：设等差数列{an}的公差为d，由题知S5＝5a3＝40，S9＝9a5＝126，则a3＝8，a5＝14，则a5－a3＝2d＝6，即d＝3，则a1＝a3－2d＝2，故S7＝7a4＝7（a1＋3d）＝7×（2＋3×3）＝77.故选C.

答案：C

4.已知两等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝（　　）

A.   B. 

C.   D.2

解析：因为＝＝＝，所以＝＝＝＝.故选C.

答案：C

5.已知数列{an}为等差数列，且满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，则S10＝（　　）

A.45   B.95 

C.110   D.55

解析：设数列{an}的公差为d，因为an＋an＋1＝2n＋1，所以2＋（2n－1）d＝2n＋1，解得d＝1，所以an＝n，则S10＝＝55.故选D.

答案：D

6.（2020·浙江卷）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（　　）

A.2a4＝a2＋a6   B.2b4＝b2＋b6

C.a＝a2a8   D.b＝b2b8

解析：根据{an}是等差数列，知2a4＝a2＋a6，所以A成立.因为bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋2＋a2n＋1，所以bn＋2＝a2n＋4＋a2n＋3，所以bn＋2－bn＋1＝a2n＋4＋a2n＋3－a2n＋2－a2n＋1＝4d≠0，所以{bn}为等差数列.所以2b4＝b2＋b6，所以B成立.当a1＝d，即＝1时，a＝（a1＋3d）2＝（4a1）2＝16a，a2a8＝（a1＋d）（a1＋7d）＝2a1·8a1＝16a，所以a＝a2a8，所以C成立.故选D.

答案：D

7.[2020·新高考卷Ⅰ（山东卷）]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为　　　　Ｗ.

解析：由题意知数列{2n－1}为1，3，5，7，9，11，13，…，{3n－2}为1，4，7，10，13，16，19，…，所以数列{an}为1，7，13，19，…，即an＝1＋6（n－1）＝6n－5，所以数列{an}的前n项和为＝3n2－2n.

答案：3n2－2n

8.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　　　　.

解析：因为a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以S1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以＝－n，即Sn＝－.

答案：－

9.（2019·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.

（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.

解：（1）设{an}的公差为d.

由S9＝－a5得a1＋4d＝0.

由a3＝4得a1＋2d＝4.

于是a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

（2）由（1）得a1＝－4d，故an＝（n－5）d，

Sn＝.

由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}.

10.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4（n∈N*）.

（1）求证：数列{an}为等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

（1）证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，

所以a1＝3（a1＝－1舍去）.

当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，

又2Sn＝a＋n－4，

所以两式相减得2an＝a－a＋1，

即a－2an＋1＝a，

即（an－1）2＝a，

因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.

若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，

所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，

所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，

因此数列{an}为等差数列.

（2）解：由（1）知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，

所以数列{an}的通项公式为an＝3＋（n－1）×1＝n＋2.

[综合应用练]

11.已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}的前12项和为（　　）

A.－144   B.80 

C.144   D.304

解析：由a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40，得d＝－8，所以an＝40－8n，所以|an|＝|40－8n|＝所以{|an|}的前12项和为＋＝80＋224＝304.

答案：D

12.已知数列{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6>S7>S5，则下列结论中不正确的是（　　）

A.d<0   B.S11>0

C.S12<0   D.S13<0

解析：由已知条件S6>S7>S5，可得S7－S6＝a7<0，S6－S5＝a6>0，且S7－S5＝a6＋a7>0.则d＝a7－a6<0，所以A中结论是正确的；又S11＝＝11a6>0，所以B中结论是正确的；S12＝＝>0，所以C中结论是不正确的；S13＝＝13a7<0，所以D中结论是正确的.故选C.

答案：C

13.（2019·北京卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝　　　　　，Sn的最小值为　　　　.

解析：因为a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，

所以a1＝－4，d＝1，

所以a5＝a1＋4d＝0，

所以an＝a1＋（n－1）d＝n－5.

令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正.

所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10.

答案：0　－10

14.（2020·福建龙岩期末改编）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1（n∈N*），则a20的值为　　　　，S21的值为　　　　.

解析：将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.

由an＋an＋1＝2n＋1，①

得an＋1＋an＋2＝2n＋3.②

②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，

则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，所以S21＝（a1＋a3＋a5＋…＋a21）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝＋＝231.

答案：20　231

15.在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝（2a2＋2）2.

（1）求d，an；

（2）若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

解：（1）由题意得5a3·a1＝（2a2＋2）2，

即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，

所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d<0，

由（1）得d＝－1，an＝－n＋11，

则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝＝－n2＋n，

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－an＝－Sn＋2S11＝－＋2×＝n2－n＋110.

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

[拔高创新练]

16.记m＝，若{dn}是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若{dn}是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”.已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围.

解：由题意得2＝，

所以a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，

所以a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2n－2（n≥2，n∈N*），

两式相减得an＝（n≥2，n∈N*）.

当n＝1时，a1＝2，符合上式，

所以an＝（n∈N*）.

又由题意得3＝，

所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，

所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3（n≥2，n∈N*），

两式相减得bn＝32－n（n≥2，n∈N*）.

当n＝1时，b1＝3，符合上式，

所以bn＝32－n（n∈N*）.

所以cn＝（2－k）n＋2k－1.

因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，

所以

解得≤k≤.