课时过关检测（三十四） 等比数列及其前n项和

课时过关检测（三十四）  等比数列及其前n项和

A级——基础达标

1．(2021·云南昆明一模)在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，则其前3项的和S3＝(　　)

A．3 B．9

C．13 D．24

解析：选C　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，∵a1＝1，a3＝2a2＋3，∴q2＝2q＋3，解得q＝3(负值舍去)．则其前3项的和S3＝1＋3＋32＝13.故选C.

2．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)

A．4 B．6

C．8 D．－9

解析：选A　a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.

3．(2021·湖北宜昌模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且anan＋1＝，则＝(　　)

A． B．28

C． D．

解析：选A　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，

∵anan＋1＝，∴q2＝＝，解得q＝.

则＝＝1＋q3＝.故选A.

4．(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C　令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.

5．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　　)

A．2 B．4

C. D．

解析：选ABD　依题意，数列{an}是正项等比数列，

∴a3＞0，a7＞0，a5＞0，

∴＝＋≥2 ＝，

因为a5＞0，所以上式可化为a5≥2.故选A、B、D.

6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)

A．数列是公比为q2的等比数列

B．数列是公比为q的等比数列

C．数列是公比为q的等比数列

D．数列是公比为的等比数列

解析：选AD　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选A、D.

7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a4，则S5＝        .

解析：设等比数列{an}的公比为q.∵a1＝，a＝a4，∴2＝×q3，解得q＝2或q＝0(不合题意，舍去)．∴S5＝＝.

答案：

8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为        ．

解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.

答案：

9. (2021·郑州市高三第二次质量预测)已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝        .

解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，①

则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，②

①－②，得an＝3an－3an－1－2，∴2an＝3an－1＋2，

∴an＝an－1＋1，若{an＋λ}成等比数列，

∴an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝2.

答案：2

10．(2021·福建省高三模拟)已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为        ；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝        .

解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×.

答案：an＝4×n－1　×

11．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；

(2)求T2n.

解：(1)∵an·an＋1＝n，

∴an＋1·an＋2＝n＋1，

∴＝，即an＋2＝an.

∵bn＝a2n＋a2n－1，

∴＝＝＝，

∵a1＝1，a1·a2＝，

∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.

∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．

∴bn＝×n－1＝.

(2)由(1)可知，an＋2＝an，

∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列．

∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

＝＋＝3－.

12．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.

(1)求n年内旅游业的总收入；

(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元？

解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，

则a1＝400，an＋1＝an＝an，∴＝.

∴{an}是首项为400，公比为的等比数列．

∴Sn＝＝＝1 600，

即n年内旅游业总收入为1 600万元．

(2)由(1)知Sn＝1 600，

令Sn>8 000，即1 600>8 000，

∴n>6.∴lgn>lg 6.

∴n>≈8.029 6.

∴大约9年后，旅游业的总收入超过8 000万元．

B级——综合应用

13．(2021·河北唐山一中月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则数列{a}的前n项和为(　　)

A. B．

C. D．9n－1

解析：选A　设数列{a}的前n项和为Tn.因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋a(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1(n≥2)，且S1＝a1＝3＋a.又数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n－1且2＝3＋a，所以a＝－1.因为＝2＝9且a＝4，所以{a}是首项为4，公比为9的等比数列．所以{a}的前n项和Tn＝＝.故选A.

14．(多选)(2021·辽阳市高三模拟)在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列选项中正确的是(　　)

A．0＜q＜1

B．a99·a101－1＜0

C．T100的值是Tn中最大的

D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198

解析：选ABD　对于A，∵a99a100－1＞0，

∴a·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.

∵a1＞1，∴q＞0.

又∵＜0，

∴a99＞1，且a100＜1.

∴0＜q＜1，故A正确；

对于B，∵a＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，

即 a99·a101－1＜0，故B正确；

对于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，

故有 T100＜T99，故C错误；

对于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99＞1，

T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正确．故选A、B、D.

15．(2021·淄博市高考数学一模)等差数列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.

(1)请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{an}的通项公式；

(2)记(1)中您选择的{an}的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．

解：(1)由题意可知，有两种组合满足条件：

①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此时等差数列{an}，a1＝8，d＝4，所以其通项公式为an＝8＋(n－1)×4＝4n＋4；

②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此时等差数列{an}，a1＝2，d＝2，

所以其通项公式为an＝2n.

(2)若选择①，Sn＝＝2n2＋6n.

则Sk＋2＝2(k＋2)2＋6(k＋2)＝2k2＋14k＋20.

若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则a＝a1·Sk＋2，

即(4k＋4)2＝8(2k2＋14k＋20)，整理得5k＝－9，

此方程无正整数解，故不存在正整数k，使a1，ak，Sk＋2成等比数列．

若选择②，Sn＝＝n2＋n，

则Sk＋2＝(k＋2)2＋(k＋2)＝k2＋5k＋6，

若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则a＝a1·Sk＋2，

即(2k)2＝2(k2＋5k＋6)，整理得k2－5k－6＝0，

因为k为正整数，所以k＝6.

故存在正整数k＝6，使a1，ak，Sk＋2成等比数列．

C级——迁移创新

16．(2021·广东梅州质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)．若数列{bn}满足anbn＝－n2＋9n－20，且bn＋1<bn，则满足条件的n的取值集合为        ．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝λa1－1.又a1＝1，∴λ－1＝1，解得λ＝2.∴Sn＝2an－1，∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)．

∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.又anbn＝－n2＋9n－20，∴bn＝，∴bn＋1－bn＝－＝<0.又2n>0，∴n2－11n＋28＝(n－4)(n－7)<0，解得4<n<7.又n∈N*，∴满足条件的n的取值集合为{5,6}．

答案：{5,6}