必修 第四册9.1.1 正弦定理教学设计

这是一份必修 第四册9.1.1 正弦定理教学设计，共6页。教案主要包含了教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？
二、新知探究
1.已知两角及一边解三角形
【例1】（1）在中，已知，，，求a，b；
（2）在中，已知，，，求，b，c。
[解]（1）法一：，，。
由得。
，
。
法二：设外接圆的直径为2R，
则。
易知，
，
。
（2）。
由正弦定理，得。
由，得。
【教师小结】已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角。
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边。
2.已知两边及一边的对角解三角形
【例2】在中，分别根据下列条件解三角形：
（1），，；
（2），，。
[解]（1）根据正弦定理，。
，，或。
当时，，
；
当时，，。
（2）根据正弦定理，。
因为。所以A不存在，即无解。
【教师小结】已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值。
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论。
3.利用正弦定理判断三角形的形状
[探究问题]
（一）已知的外接圆O的直径长为2R，试借助的外接圆推导出正弦定理。
[提示]如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则，
，在中，，所以，
即，同理，，
所以。
（二）根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示]利用正弦定理，可以解决：（1）已知两边和其中一边的对角解三角形；
（2）已知两角和其中一角的对边解三角形。
（三）由可以得到，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
[提示]（1），，。
（2），，。
（3），，。
【例3】在中，若，且，试判断的形状。
[思路探究]①；
②边角转化，，，。
[解]法一：在中，根据正弦定理：（R为外接圆的半径）。
，
，
即，
，，
由，
得，
。
是锐角，，
，，
是等腰直角三角形。
法二：在中，根据正弦定理，得
，，（R为外接圆的半径）。
，
，
是直角三角形且、
，
，
。
，
即。，即。
是等腰直角三角形。
【教师小结】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
（1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论。在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
三、课堂总结
1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导。
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
（1）其中R为外接圆的半径）；
（2）；
（3）；
（4）在中，。
3．要掌握正弦定理的三个应用：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。
（3）判断三角形的形状。
4．本节课的易错点有两处：
（1）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况。
（2）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”。
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正弦定理不适用于钝角三角形。（ ）
（2）在中，等式总能成立。（ ）
（3）在中，若，则三角形是等腰三角形。（ ）
[解析]（1）×。正弦定理适用于任意三角形。
（2）√。由正弦定理知，即。
（3）√。由正弦定理可知，即，所以三角形为等腰三角形。
[答案]（1）×
（2）√
（3）√
2．在中，若，则与的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．，的大小关系不能确定
A[因为，所以
因为在中，，，，
所以，所以，
由知。]
3．已知a，b，c分别是的三个内角，，所对的边，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
C[由和正弦定理，可得，即，所以。
故为等边三角形。]
4．在中，已知，试判断的形状。
[解]在中，由正弦定理得，
，，
又，，
，
，
即。
或，
即或。
∴为等腰三角形或直角三角形。教学目标
核心素养
1.掌握正弦定理及基本应用。（重点）
2．会判断三角形的形状。（难点）
3．能根据正弦定理确定三角形解的个数。（难点、易混点）
1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养。
2．通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养。