人教版 (新课标)选修32 描述交变电流的物理量导学案及答案

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一、周期和频率
1．物理意义：描述交变电流变化快慢的物理量．
2．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位是秒(s)．
3．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，用f表示，单位是赫兹(Hz)．
4．ω、T、f的关系：ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T).
5．我国民用交变电流的周期和频率
(1)周期：T＝0.02 s.
(2)频率：f＝50 Hz.
ω＝100π rad/s，电流方向每秒钟改变100次．
二、峰值、有效值和相位
1．峰值
(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大数值．
(2)应用：电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值．
2．有效值
(1)定义：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫作这个交流的有效值．
(2)应用
①交流用电设备上所标的额定电压和额定电流；
②交流电压表测量的数值；
③无特别说明时提到的交变电流的数值．
3．正弦式交变电流峰值和有效值的关系：I＝eq \f(Im,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2)).
4．相位
(1)正弦式交变电流瞬时值表达式中正弦符号“sin”后面的量“ωt＋φ”叫作交变电流的相位，“φ”叫作初相位．
(2)两支交流的相位之差叫作它们的相位差；当它们的频率相同时，相位差是个常数．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)打点计时器所接交流电频率f＝50 Hz时，打点周期为T＝0.02 s．(√)
(2)我国电网中交流电的频率是100 Hz.(×)
(3)某段时间内的交流电的平均值等于这段时间初末时刻瞬时值的算术平均值．(×)
(4)我国民用交变电流的照明电压为220 V和动力电压为380 V都是指有效值．(√)
(5)交变电流的有效值即为一个周期内的平均值．(×)
2．关于交变电流的周期和频率，下列说法中正确的是( )
A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s
C [根据周期的定义知选项A、B错误；因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝eq \f(1,f)＝eq \f(1,50) s＝0.02 s，知选项D错误．]
3．电阻R1、R2与交流电源按照图甲方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则( )
甲 乙
A．通过R1的电流有效值是1.2 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流最大值是1.2eq \r(2) A
D．R2两端的电压最大值是6eq \r(2) V
B [从题图乙可以看出，该交变电流的电流最大值为0.6eq \r(2) A，正弦式交变电流有效值为I＝eq \f(Im,\r(2))＝0.6 A，R1两端电压有效值为U1＝IR1＝6 V，R2两端电压最大值为Um＝ImR2＝0.6eq \r(2)×20 V＝12eq \r(2) V，综上所述，正确选项为B.]
1.线圈转动一周，交变电流恰好完成一次周期性变化．
2．从线圈转动的角度来说，周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间；频率就是线圈在磁场中一秒钟内转动的圈数．
3．线圈在匀强磁场中转动一周，电动势、电流都按正(余)弦规律变化一次．
【例1】 小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速运动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路．不计电路的其他电阻，下列说法正确的是( )
A．交变电流的周期为0.125 s
B．交变电流的频率为8 Hz
C．交变电流的有效值为eq \r(2) A
D．交变电流的最大值为4 A
C [由题图象可以看出，此交变电流的周期为0.250 s，电压的最大值Um＝20 V，所以交变电流的频率为4 Hz，A、B项错误；交变电流的最大值Im＝eq \f(Um,R)＝2 A，有效值I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \r(2) A，C项正确，D项错误．]
1．(多选)某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)，对此电动势，下列表述正确的是( )
A．最大值是50eq \r(2) V B．频率是100 Hz
C．有效值是25eq \r(2) V D．周期是0.02 s
CD [由交变电动势的表达式可知，电动势的最大值Em＝50 V，有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝25eq \r(2) V，周期T＝eq \f(2π,ω)＝0.02 s，频率f＝eq \f(1,T)＝50 Hz，故C、D正确．]
1．正弦式交变电流：E＝eq \f(Em,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2))，I＝eq \f(Im,\r(2)).
2．对非正弦式交变电流，必须根据电流的热效应来求解有效值，且时间一般取一个周期．其具体做法是：假设让交变电流通过电阻R，计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)，其中热量Q用相应的物理量的有效值表示(如Q＝I2Rt，Q＝eq \f(U2t,R))，进而求出相应的有效值．
【例2】 通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流图象如图所示，其周期为1 s．电阻两端电压的有效值为( )
A．12 V B．4eq \r(10) V C．15 V D．8eq \r(5) V
B [由题意结合有效值的定义可得I2RT＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I\\al(2,1)R·\f(2,5)T＋I\\al(2,2)R·\f(1,10)T))，将I1＝0.1 A，I2＝0.2 A代入可得流过电阻的电流的有效值I＝eq \f(\r(10),25) A，故电阻两端电压的有效值为IR＝4eq \r(10) V，B正确．]
上例中，若在电路中串联一个二极管，其他条件不变，则电阻两端电压的有效值为多少？
提示：I′2RT＝Ieq \\al(2,1)R·eq \f(2,5)T＋Ieq \\al(2,2)R·eq \f(1,10)T
解得I′＝eq \f(\r(5),25) A
故U′＝I′R＝4eq \r(5) V
当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解．求解步骤如下：
2．如图所示是一交变电流的i­t图象，则该交变电流的有效值为( )
A．4 A B．2eq \r(2) A C.eq \f(8,3) A D.eq \f(2\r(30),3) A
D [根据交变电流有效值的定义可得：I2RT＝Ieq \\al(2,1)Rt1＋Ieq \\al(2,2)Rt2，I2R×3×10－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(2))))2R×10－2＋42R×2×10－2，解得I＝eq \f(2\r(30),3) A，D正确．]
【例3】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量．
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝314eq \r(2) V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，
即P外＝eq \f(E2,R)＝eq \f(314\r(2)2,10) W＝1.97×104 W.
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为
e＝Emsin 30°＝314 V
感应电流的瞬时值为i＝eq \f(e,R)＝eq \f(314,10) A＝31.4 A.
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为
eq \x\t(E)＝Neq \f(ΔΦ,Δt)
平均感应电流为eq \x\t(I)＝Neq \f(ΔΦ,RΔt)
故通过导线横截面的电荷量为
q＝eq \x\t(I)Δt＝Neq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(NBl21－cs 60°,R)＝0.1 C.
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A
(3)0.1 C
应用交变电流四值时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压．
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值．
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值．
3.交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机( )
A．电动势的峰值为10 V
B．电动势的有效值为9 V
C．交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10eq \r(2) V
D．交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为eq \f(20\r(2),π) V
D [因电压表示数为9 V，所以电路中的电流I＝eq \f(9,9) A＝1 A，故电动势的有效值E＝I(r＋R)＝10 V，其最大值Em＝eq \r(2)E＝10eq \r(2) V，故A、B错误；线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0，C错误；转过90°的过程中的平均感应电动势，应用公式eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)求解，eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(|Φ2－Φ1|,Δt)＝neq \f(|0－BS|,\f(π,2ω))＝eq \f(2nBSω,π)，又nBSω＝10eq \r(2) V，故eq \x\t(E)＝eq \f(20\r(2),π) V，D正确．]
1．(多选)一个矩形线圈在匀强磁场中转动，产生的感应电动势e＝220eq \r(2)sin 100πt(V)，则( )
A．交流电的频率是100π Hz
B．t＝0时，线圈位于中性面
C．交流电的周期是0.02 s
D．t＝0.05 s时，e有最大值
BC [由瞬时值表达式知：感应电动势按正弦规律变化，所以t＝0时，线圈位于中性面，角速度ω＝100π rad/s.因ω＝2πf，所以f＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(100π,2π) Hz＝50 Hz；由T＝eq \f(1,f)得T＝eq \f(1,50) s＝0.02 s；当t＝0.05 s时，e＝220eq \r(2)sin 5π(V)＝0，故B、C选项正确．]
2．在阻值为70 Ω的电阻中通以正弦交变电流，测得在10 min 内放出的热量为2.1×104 J，则此交变电流的最大值为( )
A．0.24 A B．0.5 A C．0.707 A D．1 A
D [根据Q＝I2Rt得I＝eq \f(1,\r(2)) A，所以Im＝eq \r(2)I＝1 A．]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比eq \f(Q甲,Q乙)等于( )
A.eq \f(1,\r(2)) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,1)
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，题图甲的有效值为I1＝eq \f(Im,\r(2))，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得eq \f(Q甲,Q乙)＝eq \f(1,2)，B正确．]
4．(多选)有两支交变电流表达式分别是：u1＝110eq \r(2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) V，u2＝220eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,4))) V．下列说法正确的是( )
A．它们的峰值相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的变化步调一致
BC [u1代表的交流电的电压峰值为110eq \r(2) V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为eq \f(π,3).u2代表的交流电的电压峰值为220eq \r(2) V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为eq \f(π,4).所以它们的峰值不同，A错误；由于频率相同f＝50 Hz，故T均为0.02 s，B正确；其相位差ΔΦ＝eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,12)为定值，C正确，D错误．]
描述交变电流的物理量
交变电流有效值的计算
交变电流的四值比较
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝nBSω，Im＝eq \f(Em,R＋r)
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值、电压值
E＝eq \f(Em,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2))，I＝eq \f(Im,\r(2))
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所围面积与时间的比值
eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过电路横截面的电荷量
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.周期和频率描述的是交变电流变化的快慢，我国日常生活用电的频率为50 Hz.
2．有效值是根据电流的热效应进行定义的，对于正弦交变电流来说，有效值和峰值的关系为：I＝eq \f(Im,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2)).
3．不同的交流发电机在向同一个电网供电时，它们的相位差必须为零.