八年级上册第十三章 轴对称综合与测试教案

课题

画轴对称图形

教学

目标

（一）〔知识与技能〕

    1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．

    2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．

    （二）〔过程与方法〕

    经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．

    （三）〔情感、态度与价值观〕

    1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．

    2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．

    3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学

重难点

教学重点：

 轴对称图形对称轴的作法．

教学难点：

    探索轴对称图形对称轴的作法

教学

方法

启发引导、尝试研讨、动手操作

教           学               过          程

Ⅰ．提出问题，创设情境

    [师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．下面同学们来仔细观察一个图案．(小黑板展示)

 以虚线为对称轴画出图的另一半：

    [生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．

    [生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．

    [师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？

    [师]我们利用方格纸来试着画一画．

    ……

    [师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

    Ⅱ．导入新课

[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：

    （1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；

    （2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．

    点A′就是点A关于直线L的对应点．

    好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．

    ……

    [师]画好了没有？

    [生]画好了．

    [师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？

[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

    [师]同学们讨论一下．

    ……

    [生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．

    [师]说说看，找几个什么样的点就行呢？

    [生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了．

    [师]好，下面大家一起动手做．

    作法：如图（2）．

    （1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；

    （2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；

    （3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．

    [师]大家做完后，我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

    归纳：

    几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．

[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．

    [师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．

[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：

    [师]现在我们来做练习．

    Ⅲ．随堂练习

    （一）课本P41练习 1、2．

    1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．

    提示：找特殊点．

    答案：图（略）

    2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．

    答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．

    （二）阅读课本P127～P130，然后小结．

    Ⅳ．课时小结

    本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．

    求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

    Ⅴ．课后作业

    （一）课本P45习题12.2的1、5、8、9题．

    （二）预习内容P42～P44．

    Ⅵ．活动与探究

    [探究1]

    如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？

    过程：把管道L近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求．

    结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．

    [探究2]

    为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？

    过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．

结果：

    如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB<AC′+C′B．由于C′点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短

     备课资料

    参考练习

    1．已知△ABC，过点A作直线L．

求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．

    作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；

    （2）作点B关于直线L的对称点B′；

    （3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；

    （4）连结A′B′、B′C′、C′A′．

    则△A′B′C′就是所求作的三角形．

    2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．

求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．

    作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．

    （2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．

    则点M、N就是点P关于a、b的对称点．

    证明：∵点P与点M关于直线a对称，

    ∴直线a是线段PM的中垂线．

    ∴OP=OM．

    同理可证：OP=ON．

    ∴OM=ON．

    3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．

 Ⅰ．提出问题，创设情境

 Ⅱ．导入新课

Ⅲ．随堂练习

Ⅳ．课时小结