数学2 定理与证明习题

13.1.2  定理与证明

知识点：定理、证明.

重  点：证明的含义和表达格式.

难  点：证明的表达格式.

基础巩固  

1.下列命题中真命题是(    ) 

A.两个锐角之和为钝角     B.两个锐角之和为锐角

C.钝角大于它的补角           D.锐角小于它的余角

2.命题.①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有(    )

A.1个    B.2个   C.3个   D.4个

3．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么基本事实可以说明这样做能缩短路程(　 　)

A．直线基本事实                  B．直线基本事实或线段最短基本事实

C．线段最短基本事实              D．平行基本事实

4．下列命题中，真命题有(　 　)

①三角形中的内角没有小于60°的；  ②三角形的外角都是钝角；

③三角形的内角大于它的外角；     ④三角形的三个外角的和是360°.

A．1个           B．2个        C．3个          D．4个

5．举出反例说明下列命题是假命题：

(1)大于90°的角是钝角；

(2)负数与负数的差是负数；

(3)有三个实数a、b、c，若ab＝ac，则b＝c；

(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；

(5)两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

6．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°，那么AB∥CD.

理由：∵BE平分∠ABC(________)，

∴∠ABC＝2∠1(________________)．

∵CE平分∠BCD(_______)，

∴∠BCD＝2∠2(______________________)．

又∵∠1＋∠2＝90°(_______)，

∴2(∠1＋∠2)＝2×90°，

即∠ABC＋∠BCD＝180°，

∴AB∥CD(__________________________)．

     6题图                     7题图                 8题图

7.  已知，如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2.求证：BE∥CF.

证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)

∴       =       =90°(        )

∵∠1=∠2(已知)

∴       =       (等式性质)

∴BE∥CF(                   )

8. 已知，如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.

求证：∠ACD=∠B.

证明：∵AC⊥BC(已知)

∴∠ACB=90°(                )

∴∠BCD是∠DCA的余角(              )

∵∠BCD是∠B的余角(已知)

∴∠ACD=∠B(              )

9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B.  求证：EF∥CD.

9题图   

强化提高

10.已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD∥BE.

10题图 

证明：∵AB∥CD(已知)    ∴∠4=∠     (              )

      ∵∠3=∠4(已知)    ∴∠3=∠     (              )

      ∵∠1=∠2(已知)

      ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(               ) 

      即∠        =∠        

      ∴∠3=∠     (               )

      ∴AD∥BE(          )

11．证明：四边形的内角和为360°.

解： 已知：如答图，四边形ABCD.

求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.

11题图

证明：连结BD.

在△ABD中，∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°(                               )，

在△BCD中，∠C＋∠CBD＋∠CDB＝180°(                               )，

∴∠A＋∠C＋(                 )＋(                    )＝360°，

即∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°.

12．如图，AD是∠BAC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG＝∠G.  求证：GE∥AD.

12题图

13.1.2  定理与证明答案

1. C.   2. B.   3. C.   4. A.

5．解： (1)如180°的角是平角．

(2)如－2与－5的差是3，不是负数．

(3)如当a＝0，b＝1，c＝2时，ab＝ac，但b≠c.

(4)如图，AB∥A′B′，AC∥A′C′，但∠BAC≠∠B′A′C′.

 (4)题图                            (5)题图

(5)如图，∠1≠∠2.

6．已知  角平分线的定义   已知  角平分线的定义  已知  同旁内角互补，两直线平行

7. ∠ABC  ∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行.

8. 垂直定义，余角定义，同角的余角相等.

9. 证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，

∴∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠ACD.

∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ACD，

∴EF ∥ CD .

10.∠BAE，两直线平行同位角相等.

∠BAE，等量代换，等式性质，

∠BAE，∠CAD，∠CAD等量代换.

内错角相等，两直线平行.

11. 三角形内角和等于180°，三角形内角和等于180°，∠ABD＋∠CBD，∠ADB＋∠CDB

12．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC＝2∠DAC.

∵∠G＋∠GFA＝∠BAC，∠AFG＝∠G.

∴∠BAC＝2∠G，∴∠DAC＝∠G，

∴GE∥AD.